69
3. Analisi termica del serbatoio a due strati
3.1 Introduzione
In questo capitolo verrà illustrato il modello matematico che è stato sviluppato per studiare come variano nel tempo le proprietà termodinamiche del liquido criogenico contenuto all’interno di un serbatoio posizionato nella camera a vuoto.
Sono stati sviluppati due modelli termici: il primo è relativo ad un serbatoio cilindrico chiuso a ciascuna delle due estremità con un fondo torosferico; il secondo è relativo ad un serbatoio sferico. L’isolamento termico del serbatoio è ottenuto mediante un materiale isolante applicato sulla superficie esterna del serbatoio stesso. Pertanto il serbatoio risulta costituito da due strati: il rivestimento interno, che costituisce il serbatoio vero e proprio, e lo strato di materiale isolante esterno.
L’intero serbatoio è posizionato all’interno della camera a vuoto ed è ad essa collegato mediante una struttura di collegamento. Oltre ai carichi termici dovuti alla temperatura dalle pareti interne della camera a vuoto, il modello prevede anche l’applicazione di carichi termici forzanti ottenuti per mezzo di lampade.
All’interno del serbatoio è stoccato il liquido criogenico con cui verrà eseguito l’esperimento.
Entrambi i modelli termici sono stati concepiti per essere parametrici, ovvero i materiali in gioco, le geometrie, i carichi termici e la natura del liquido criogenico stoccato (nonché le condizioni iniziali di stoccaggio) sono considerati dei parametri, che possono essere variati in modo da poter studiare come ciascuno di essi influisce sulla variazione nel tempo delle proprietà termodinamiche del liquido contenuto nel serbatoio.
3.2 Il modello termico per il serbatoio cilindrico a due strati
3.2.1 Geometria del serbatoio
Il serbatoio descritto in questo paragrafo è un serbatoio cilindrico chiuso a ciascuna delle due estremità da un fondo torosferico. Il fondo torosferico è costituito da due membrane, una sferica centrale, raccordata ad una torica generata dalla rotazione di un arco di circonferenza (figura 3.1).
Figura 3.1: geometria di un fondo torosferico.
Il serbatoio è costituito da due strati: il rivestimento interno, che rappresenta il serbatoio vero e proprio, e lo strato di isolante termico applicato sul rivestimento interno. La geometria del serbatoio, insieme con le principali grandezze geometriche, è descritta in figura 3.2.
70
Figura 3.2: geometria del serbatoio cilindrico.
Al fine di semplificare l’analisi termica, i fondi torosferici sono approssimati a calotte sferiche, come è descritto nella figura 3.3.
Figura 3.3: approssimazione del fondo torosferico ad un fondo a calotta sferica.
L’elenco seguente riporta i simboli utilizzati per indicare le varie grandezze che saranno utilizzate per fare l’analisi termica del serbatoio.
L: lunghezza della parte cilindrica del serbatoio. r1: raggio interno del serbatoio.
h1: altezza interna del fondo sferico
71 Sp1: spessore del rivestimento interno.
Sp2: spessore dell’isolante termico.
: spessore totale del serbatoio.
: raggio esterno del rivestimento interno. : raggio esterno del serbatoio.
: raggio esterno del fondo sferico del rivestimento interno.
: raggio esterno del fondo sferico del serbatoio.
: altezza esterna del fondo sferico del rivestimento interno. : altezza esterna del fondo sferico del serbatoio.
: distanza della base delle calotte sferiche dal centro delle sfere.
(
): angolo di semi apertura (vedere figura 3.3). : superficie esterna della parte cilindrica del serbatoio. : superficie esterna del fondo sferico.
: superficie esterna del serbatoio.
: volume interno della parte cilindrica di serbatoio. ( ): volume interno del fondo sferico.
: volume interno del serbatoio.
ε2: emissività emisferica, nel campo dell’infrarosso, della superficie esterna del rivestimento
isolante.
ε : coefficiente di assorbimento emisferico, nel campo dell’infrarosso, della superficie esterna del rivestimento isolante
S: coefficiente di assorbimento emisferico, della superficie esterna del rivestimento isolante,
alla radiazione solare.
: coefficiente di assorbimento emisferico, della superficie esterna del rivestimento isolante, alla radiazione solare riflessa dal pianeta (albedo).
ε : coefficiente di assorbimento emisferico, della superficie esterna del rivestimento isolante, alla radiazione termica planetaria (infrarossa).
λ1: coefficiente di conducibilità termica del materiale costituente il rivestimento interno del
serbatoio.
λ2: coefficiente di conducibilità termica del materiale costituente il rivestimento isolante (nel
caso in cui il rivestimento isolante sia un MLI, λ2 rappresenta la conducibilità termica
apparente).
W: coefficiente di dilatazione termica lineare del materiale costituente il rivestimento interno
del serbatoio.
E: modulo di elasticità del materiale costituente il rivestimento interno del serbatoio. ν: modulo di Poisson del materiale costituente il rivestimento interno del serbatoio. PMAX: pressione massima ammissibile all’interno del serbatoio.
: lunghezza interna totale del serbatoio. : lunghezza esterna totale del serbatoio.
72
3.2.2 La camera a vuoto
La camera a vuoto è schematizzata come un cilindro avente le caratteristiche di seguito indicate. LC: lunghezza interna della camera a vuoto.
rC: raggio interno della camera a vuoto.
: superficie interna della camera a vuoto.
TC: temperatura della superficie interna della camera a vuoto (si ipotizza che TC sia uniforme e
stazionaria).
εC: emissività emisferica, nel campo dell’infrarosso, della superficie interna della camera a
vuoto.
ε : coefficiente di assorbimento emisferico, della superficie interna della camera a vuoto, alla radiazione infrarossa.
3.2.3 La struttura di collegamento serbatoio-camera a vuoto
Il serbatoio è collegato alla superficie interna della camera a vuoto per mezzo di un’adeguata struttura di collegamento. Nel presente modello termico si assume una struttura di collegamento costituita da k travi uguali che collegano la superficie interna della camera a vuoto con il rivestimento interno del serbatoio. Al fine di semplificare il modello, si assume che ciascuna trave sia ad asse rettilineo e a sezione costante.
La figura 3.4 riporta la rappresentazione schematica di una delle k travi, indicandone anche le principali grandezze geometriche.
Figura 3.4: rappresentazione schematica della struttura di collegamento serbatoio-camera a vuoto. Di seguito sono elencati i simboli con cui verranno indicate le diverse grandezze relative alla struttura di collegamento serbatoio-camera a vuoto.
k: numero di travi (tutte uguali tra loro) che collegano il serbatoio alla camera a vuoto secondo lo schema riportato in figura 3.4.
dV: lunghezza di ciascuna trave.
SV: area della sezione trasversale di ciascuna trave.
λV: coefficiente di conducibilità termica del materiale costituente le travi.
Dal punto di vista dell’analisi termica, lo schema di figura 3.4 può essere ricondotto al seguente schema:
73
Figura 3.5: modello termico della struttura di collegamento serbatoio-camera a vuoto.
E’ da notare che la semplificazione proposta dal modello di figura 3.5 si basa sull’ipotesi semplificativa che la temperatura non vari attraverso lo spessore del rivestimento interno, ovvero che la superficie esterna e la superficie interna del rivestimento interno abbiano la stessa temperatura TW. Tale ipotesi è accettabile considerando che la resistenza termica del rivestimento
interno è sufficientemente piccola e pertanto il gradiente di temperatura attraverso la parete del rivestimento interno è trascurabile.
3.2.4 Carichi termici forzanti
Il serbatoio è soggetto ai seguenti carichi termici. ̇ : flusso termico solare.
̇ ̇ : flusso termico dovuto alla radiazione solare riflessa dal pianeta (albedo planetario); rappresenta il coefficiente di albedo planetario.
̇ : flusso termico dovuto alla radiazione termica planetaria.
Al fine di semplificare il modello termico e al fine di studiare il problema nella condizione più gravosa dal punto di vista dei carichi termici, si ipotizza che i tre flussi termici abbiano la stessa direzione; si ipotizza inoltre che tale direzione sia perpendicolare all’asse del serbatoio.
Nel test in camera a vuoto questi carichi termici saranno simulati da opportune lampade. Le lampade riprodurranno i flussi termici sia in termini di intensità sia in termini di contenuto in frequenza della radiazione; pertanto la radiazione termica solare sarà riprodotta da una lampada che emette nel campo della radiazione solare (7% nella banda dell’ultravioletto, 46% banda della luce visibile e 47% nella banda della radiazione infrarossa a bassa lunghezza d’onda) mentre la radiazione termica planetaria sarà riprodotta da una lampada che emette nella banda dell’infrarosso. L’albedo planetario, dal punto di vista spettrale, può essere considerato come la radiazione solare diretta.
Per analizzare il caso più generale, si può supporre che ̇ non rimanga costante ma vari in funzione del tempo t. Questa circostanza potrebbe verificarsi, ad esempio, nel caso in cui il serbatoio non sia fermo bensì segua una traiettoria che lo porti ad avvicinarsi o ad allontanarsi dal Sole. Per non rendere il problema troppo complesso, si suppone che ̇ vari linearmente in funzione del tempo. Si indichi con t0 l’istante iniziale della simulazione e con tf quello finale; sia ̇ il valore di ̇
all’istante iniziale t = t0 e ̇ il valore di ̇ all’istante finale t = tf.
Ebbene si ha: ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ( ̇ ̇ ) ( ̇ ̇ ) ̇ In particolare ̇ ( ̇ ̇ )
74
3.2.5 Analisi termica della superficie esterna del serbatoio
E’ lecito aspettarsi che la temperatura della superficie esterna del serbatoio non sia uniforme bensì vari localmente; in particolare questa variazione è rilevante se si confronta la temperatura della porzione di superficie esterna rivolta verso i carichi termici forzanti con la temperatura della superficie esterna del serbatoio in ombra. Pertanto il modello matematico, che descrive come varia la temperatura della superficie esterna del serbatoio, deve tener conto anche di questa variazione spaziale della temperatura stessa.
Per far ciò si suddivide la superficie esterna del serbatoio in “zone”, che saranno chiamate nodi, in ciascuna delle quali la temperatura sarà assunta uniforme.
Si inizia dividendo la superficie esterna del serbatoio in due parti mediante il piano passante per l’asse del serbatoio e perpendicolare ai flussi termici forzanti: la porzione di superficie rivolta verso le sorgenti termiche sarà chiamata superficie illuminata e l’altra superficie in ombra.
La superficie in ombra sarà suddivisa in due nodi: il semi-mantello cilindrico (nodo 11) e le due semi-calotte sferiche; poiché le due semi-calotte sferiche sono simmetriche esse costituiscono un unico nodo (nodo 13).
La superficie illuminata sarà suddivisa in tre parti: i due semi-fondi sferici e il semi-mantello cilindrico. I due semi-fondi sferici sono simmetrici e pertanto costituiscono un unico nodo (nodo 12). A sua volta il semi-mantello cilindrico è suddiviso in due parti, simmetriche, dal piano passante per l’asse del serbatoio e parallelo ai flussi termici forzanti; ciascuna di queste due parti sarà suddivisa in dieci spicchi cilindrici aventi ciascuno un angolo di apertura β pari a 9 deg (ovvero 0.157 rad). Ciascuno dei dieci spicchi costituisce un ulteriore nodo (nodi da 1 a 10).
In conclusione questo modello termico prevede la discretizzazione della superficie esterna del serbatoio in 13 nodi.
Le figure 3.6, 3.7 e 3.8 descrivono la discretizzazione della superficie esterna del serbatoio. Di seguito sono elencate alcune grandezze relative all’i-esimo nodo.
Ti: è la temperatura della superficie esterna del serbatoio in corrispondenza dell’i-esimo nodo.
Si: è l’area della superficie esterna dell’i-esimo nodo.
Ai: è l’area d’ombra (shadow area) dell’i-esimo nodo, ovvero l’area della superficie ottenuta
proiettando Si su un piano perpendicolare alla direzione dei flussi termici forzanti. Ovviamente
per i nodi 11 e 13 non esiste l’area d’ombra.
̇: è la potenza termica conduttiva attraverso la parete del serbatoio in corrispondenza dell’i-esimo nodo.
75
Figura 3.6: discretizzazione della superficie esterna del serbatoio. Ciascun nodo è individuato da un numero
da 1 a 13.
76
Figura 3.8: vista isometrica della superficie esterna del serbatoio. Ciascun colore identifica un nodo. Qui di seguito sono esposte le relazioni che forniscono le Si e le Ai per ciascun nodo.
NODI DA 1 A 10
Questi nodi hanno tutti la stessa area della superficie esterna. Quindi: S1 = S2 =S3 = S4 = S5 = S6 = S7 = S8 = S9 = S10
Con riferimento alla figura 3.9 si ha:
Figura 3.9: spicchio cilindrico che rappresenta uno dei nodi da 1 a 10. Per quanto riguarda le Ai si faccia riferimento alle figure qui di seguito.
77 ( ) ( ) ( ) Generalizzando si ha: [ ( ) (( ) )] NODO 11
Avendo indicato con SC l’area della superficie esterna della porzione cilindrica di serbatoio, si ha:
NODO 12
Avendo indicato con SS l’area della superficie esterna di ciascun fondo sferico, si ha:
78
Figura 3.10: rappresentazione dell’area d’ombra del nodo 12. Essendo A12 un segmento circolare, è facile verificare che:
( ) ( ) NODO 13 Come per il nodo 12 si ha:
3.2.6 Calcolo delle potenze termiche conduttive attraverso le pareti del serbatoio
In questo paragrafo saranno calcolate le espressioni per determinare le potenze termiche conduttive attraverso le pareti del serbatoio in corrispondenza di ciascun nodo. Per il calcolo di queste potenze termiche conduttive si fanno le seguenti assunzioni: il valore positivo attribuito alle potenze termiche conduttive è quello che va dalla superficie esterna del serbatoio verso quella interna;
la superficie interna del serbatoio ha una temperatura uniforme pari a TW;
la temperatura T della parete varia solo in funzione del raggio r (conduzione monodimensionale).
NODI DA 1 A 10 Con riferimento alla figura 3.11 si ha:
̇ ̇ Integrando quest’ultima equazione si ha:
79 ∫
∫
̇ Risolvendo separatamente i due integrali di cui sopra si ha:
∫ ∫ ∫ ( ⁄ ) ( ⁄ ) ∫ ̇ ̇ ( )
Sostituendo questi risultati nella [3.9] si ottiene:
( ⁄ ) ( ⁄ ) ̇ ( ) ̇ ( ⁄ ) ( ⁄ )( ) ̇ ( )
Figura 3.11: rappresentazione dell’i-esimo nodo con indicazione della potenza termica conduttiva attraverso
80 NODO 11
Il valore di ̇ può essere calcolato usando la stessa relazione usata per calcolare ̇ con la differenza che in questo caso si ha β = π.
Quindi: ̇ ( ⁄ ) ( ⁄ )( ) ̇ ( ) NODO 12
Si indichi con ( ) la resistenza termica conduttiva del semi-fondo sferico appartenente al rivestimento interno, e con ( ) la resistenza termica conduttiva del semi-fondo sferico appartenente al rivestimento isolante.
In appendice A è riportato il calcolo della resistenza termica conduttiva di una parete a calotta sferica, dalla quale è possibile ricavare le relazioni per il calcolo di ( ) ed ( ) .
( ) [ ( )] ⁄ ( ) [ ( )] ⁄ ̇ ( ) ( ) ( ) NODO 13 Ripetendo lo stesso ragionamento fatto per il nodo 12, si ha:
( ) [ ( )] ⁄ ( ) [ ( )] ⁄ ̇ ( ) ( ) ( )
81
3.2.7 Bilanci termici
NODI DA 1 A 10
Le potenze termiche entranti sulla superficie esterna dell’i-esimo nodo sono: la potenza termica dovuta al flusso termico solare;
la potenza termica dovuta al flusso termico prodotto dalla radiazione solare riflessa dal pianeta (albedo);
la potenza termica dovuta al flusso termico prodotto dalla radiazione termica planetaria; la potenza termica dovuta allo scambio termico per irraggiamento con le pareti interne della
camera a vuoto.
La potenza termica uscente dalla superficie esterna dell’i-esimo nodo è:
la potenza termica dovuta allo scambio termico conduttivo tra la superficie esterna e la superficie interna della parete del serbatoio in corrispondenza dell’i-esimo nodo.
Di seguito sarà analizzato ciascuno dei precedenti punti.
Si indichi con ̇ la potenza termica, dovuta alla radiazione termica solare, che viene assorbita dalla superficie esterna dell’i-esimo nodo:
̇ ̇
Si indichi con ̇ la potenza termica, dovuta alla radiazione termica solare riflessa dal pianeta (albedo planetario), che viene assorbita dalla superficie esterna dell’i-esimo nodo:
̇ ̇ ̇
Si indichi con ̇ la potenza termica, dovuta alla radiazione termica planetaria, che viene assorbita
dalla superficie esterna dell’i-esimo nodo:
̇ ̇
La figura 3.12 schematizza lo scambio termico radiativo tra superficie interna della camera a vuoto e superficie esterna del serbatoio:
Figura 3.12: potenza termica scambiata per irraggiamento tra superficie interna della camera a vuoto e
superficie esterna dell’i-esimo nodo.
dove:
: resistenza superficiale all’irraggiamento della superficie interna della camera a vuoto.
: resistenza spaziale all’irraggiamento tra la superficie interna della camera a vuoto e la superficie esterna dell’i-esimo nodo.
82
Il valore FiV è il fattore di vista della superficie esterna dell’i-esimo nodo rispetto alla superficie
interna della camera a vuoto; poiché il serbatoio è interamente circondato dalla pareti interne della camera a vuoto allora tutta la radiazione termica emessa dalla superficie esterna dell’i-esimo nodo viene intercettata direttamente dalle pareti interne della camera a vuoto, pertanto si ha:
Indicando con ̇ la potenza termica radiativa scambiata tra le pareti interne della camera a vuoto e la superficie esterna dell’i-esimo nodo, e assumendo come positivo il verso indicato in figura 3.12, si ha:
̇ ( )
( )
A questo punto è possibile effettuare il bilancio termico per l’i-esimo nodo. ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ( ̇ ) ( ̇ ) ( ̇ ) ( ) ( ) dove: ( ̇ ) ( ̇ ) ( ̇ )
Derivando rispetto al tempo la [3.14] si ha: ( ) ( ) ( ) ̇ ̇ ( ̇ ̇ ) ( ) ( ) [ ] [ ( ̇ ̇ ) ( )] ( )
83 NODO 11 Il nodo 11 è soggetto ai seguenti scambi di calore:
allo scambio termico per irraggiamento con le pareti interne della camera a vuoto. Si indichi con ̇ la potenza termica radiativa scambiata tra la superficie interna della camera a vuoto e la superficie esterna del nodo 11, e il verso assunto positivo è quello che va dalla superficie interna della camera a vuoto verso la superficie esterna del nodo 11;
allo scambio termico conduttivo tra la superficie esterna e la superficie interna del serbatoio in corrispondenza del nodo 11.
Quindi in questo caso si ha:
̇ ̇ ( ) ( ) dove:
Derivando rispetto al tempo la [3.16] si ha: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) NODO 12
Per il bilancio termico del nodo 12 è possibile ripetere esattamente lo stesso ragionamento fatto per i nodi da 1 a 10. ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ( ̇ ) ( ̇ ) ( ̇ ) ( ) ( )
84 dove: ( ̇ ) ( ̇ ) ( ̇ )
Derivando rispetto al tempo la [3.18] si ha: ( ) ( ) ( ) ̇ ̇ ( ̇ ̇ ) ( ) ( ) [ ] [ ( ̇ ̇ ) ( )] ( ) NODO 13
Per il bilancio termico del nodo 13 è possibile ripetere lo stesso ragionamento fatto per il nodo 11. ̇ ̇ ( ) ( ) dove:
Derivando rispetto al tempo la [3.20] si ha: ( ) ( ) ( )
85 ( ) ( )
3.2.8 Analisi termica del fluido contenuto nel serbatoio
L’analisi termica del fluido contenuto nel serbatoio sarà eseguita utilizzando le seguenti ipotesi semplificative.
Nel serbatoio è contenuto il liquido criogenico insieme al suo vapore; quest’ultimo occupa il volume libero del serbatoio (ullage).
Il liquido ed il suo vapore si trovano in ogni istante in condizioni di equilibrio termodinamico alle condizioni di saturazione.
Il liquido ed il vapore hanno in ogni istante la stessa temperatura T.
Il liquido nel serbatoio è in equilibrio termico con la parete interna del serbatoio stesso, pertanto in ogni istante si ha T = TW.
La temperatura del fluido non varia da punto a punto nel fluido ma varia solo in funzione del tempo, pertanto T = T(t). Questo vuol dire che l’analisi termica del fluido sarà fatta usando un modello a parametri concentrati.
Il calore di vaporizzazione specifico del liquido (qvap) è assunto costante (pari ad un opportuno
valore medio).
Il calore specifico a pressione costante del liquido (cpL) e quello del vapore (cpV) sono assunti
costanti (pari ad opportuni valori medi).
Il volume interno V del serbatoio è un sistema termodinamico aperto. Scriviamo per esso l’equazione di bilancio della massa (equazione di continuità) e l’equazione di bilancio dell’energia (primo principio della termodinamica):
{ ∫ ∮ ⃗ ̂ ̇ ∫ ∮ ⃗ ̂ ∫ ∮ ̇ ̂ dove:
con VL volume del liquido e VV volume del vapore.
è la superficie interna del serbatoio.
̇ è la massa di fluido che nell’unità di tempo esce dal serbatoio. E’ da notare che ̇ ̇ ̇ ; ipotizzando che ̇ allora ̇ ̇ .
Dunque ̇ è la massa di vapore che nell’unità di tempo esce dal serbatoio; tale massa esce attraverso la valvola di sfiato onde evitare che la pressione nel serbatoio raggiunga un valore ritenuto critico per la resistenza strutturale del serbatoio stesso.
⃗ , dove ⃗ è la velocità del fluido, hT è l’entalpia totale e h è l’entalpia statica.
h = hL + hV con hL entalpia statica del liquido e hV entalpia statica del vapore.
∫
∫
86
∮ ̇⃗ ̂ ̇ ̇ dove ̇⃗ è il flusso termico uscente dal serbatoio, QENT è la
potenza termica entrante nel serbatoio e QUSC è la potenza termica uscente dal serbatoio.
Sostituendo queste relazioni nella [3.22] e nella [3.23] e applicando l’ipotesi che le varie grandezze varino solo in funzione del tempo (modello a parametri concentrati), si ha:
{ ( ) ̇ ( ) ̇ ̇ ̇ All’equilibrio termodinamico in condizioni di saturazione alla temperatura T si ha:
{
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
dove pV è la tensione di vapore del liquido criogenico e pG è l’eventuale pressione applicata al
liquido mediante un sistema di pressurizzazione (pressione di pressurizzazione). E’ da notare che .
Sostituendo queste ultime espressioni nella [3.24] e nella [3.25], sviluppando le varie derivate e inserendo la [3.24] nella [3.25] si ottiene:
{ ( ) ̇ ( ) ( ) ( ) ̇ ̇ { ( ) ̇ ( ) ̇ ̇ In generale si ha: ( ) ( ) dove da cui segue che:
[( ) ( ) ] [( ) ( ) ] Sostituendo quest’ultima espressione nella [3.26] e nella [3.27] si ottiene:
87 { ( ) ̇ { ( ) [( ) ( ) ]} { ( ) ( ) [( ) ( ) ]} ̇ ̇ Dalla [3.28] si ha: ̇ { ( ) [( ) ( ) ]} Sostituendo quest’ultima equazione nell’equazione [3.29] si ha:
{ ( ) ( ) [( ) ( ) ]} ̇ ̇ ̇ { ( ) [( ) ( ) ]} ( )( ̇ ̇ ̇ ) dove ( ) ( ) [ ( ) ] [ ( )] [( ) ( ) ] Sostituendo la [3.31] nella [3.30] si ha:
̇ ( ) ( )( ̇ ̇ ̇ ) dove ( ) { ( ) [( ) ( ) ]} In conclusione, l’analisi termica del fluido contenuto nel serbatoio è governata dal seguente sistema di equazioni differenziali ordinarie:
{ ( )( ̇ ̇ ̇ ) ̇ ( ) ( )( ̇ ̇ ̇ )
Di seguito saranno calcolati i vari termini che compaiono nelle equazioni [3.31], [3.32], [3.33] e [3.34].
Sulla curva di saturazione, usando le classiche ipotesi previste per l’equazione di Clausius Clapeyron (gas perfetto e qvap ≈ costante) si ha:
88 [ ( )] [ ( )] Quindi: [ ( )] ( ) [ ( )]
dove T0 è la temperatura del fluido all’istante iniziale della simulazione (T0 = T(t = t0)), pV0 è la
tensione di vapore del liquido criogenico alla temperatura T0 ed R è la costante del vapore del
liquido:
Si introducano ora altri due dati:
(
)
(
)
Generalmente questi due valori, per un dato liquido, si trovano tabulati in funzione della temperatura. In questo modello βS e αF sono assunti costanti, pertanto una volta trovati i loro valori
tabulati è possibile calcolare un loro valore medio nell’intervallo di temperatura di interesse.
Alcune volte, per un dato liquido, non si trova tabulato il valore di βS bensì il valore della velocità di
propagazione del suono nel liquido; indicando con ( ) la velocità di propagazione del suono nel liquido, si ha:
Utilizzando questi due dati è possibile calcolare il coefficiente di comprimibilità isoterma del liquido criogenico:
(
) Infine, avendo calcolato il valore βT è possibile calcolare :
( ) ( ) Ma ricordando che si ha:
89 ( ) ( )
Si calcolino adesso le relazioni che forniscono la variazione del volume interno del serbatoio.
Approssimando il rivestimento interno ad una membrana, è facile verificare che le tensioni principali nelle estremità emisferiche del rivestimento interno sono:
e le corrispondenti deformazioni sono:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Quindi, le relative dilatazioni radiali di ciascuna calotta emisferica appartenente al rivestimento interno valgono: ( ) e la corrispondente variazione di volume vale
( )
Le tensioni principali nel mantello cilindrico del rivestimento interno valgono:
90 e le corrispondenti deformazioni sono:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Quindi le relative dilatazioni radiali e assiali del mantello cilindrico del rivestimento interno valgono: ( ) ( ) e la corrispondente variazione di volume vale
( ) ( ) ( ) Quindi la variazione del volume interno del serbatoio dovuta alla pressurizzazione è:
( ) ( ) [ ( ) ( ) ] e infine ( ) [ ( ) ( ) ]
In maniera analoga è possibile calcolare la variazione di volume interno del serbatoio dovuta alla variazione della temperatura.
Le deformazioni principali del rivestimento interno, dovute alla variazione di temperatura, sono:
( )
La corrispondente variazione del volume interno del serbatoio, dovuta alle dilatazioni termiche, è:
e quindi
(
91
3.2.9 Calcolo della portata di boil-off
La portata di boil-off ( ̇ ) rappresenta la massa di vapore del liquido criogenico che, nell’unità di tempo, fuoriesce dal serbatoio. Questo vapore viene scaricato all’esterno del serbatoio attraverso la valvola di sfiato quando la pressione interna al serbatoio raggiunge un valore PMAX ritenuto critico
per la resistenza strutturale del serbatoio stesso.
Il valore di PMAX dipende dalla resistenza strutturale del serbatoio oppure dalla pressione massima
imposta dal funzionamento del motore a razzo a cui il serbatoio è collegato.
Quindi è chiaro che la valvola di sfiato è comandata dalla pressione p esistente all’interno del serbatoio. Se p<PMAX la valvola di sfiato rimane chiusa e pertanto sia ha ̇ .
Se p ≥ PMAX la valvola di sfiato si apre lasciando fuoriuscire una certa quantità di vapore in modo da
ridurre la pressione nel serbatoio ad un valore inferiore a PMAX, dopodiché si richiude
automaticamente.
La funzione che lega ̇ alla pressione interna del serbatoio (p) dipende dalla particolare valvola in questione; la legge ̇ ̇ ( ) costituisce la caratteristica dinamica della valvola. In questo modello, in maniera approssimativa, si assume che la caratteristica dinamica della valvola di sfiato segua la legge a gradino rappresentata in figura 3.13.
mBO
p PMAX
Figura 3.13: caratteristica dinamica della valvola di sfiato. A questo punto resta da stimare quanto vale ̇ quando la valvola si apre.
A tal proposito il flusso di vapore attraverso la valvola può essere approssimato ad un flusso unidimensionale attraverso un condotto.
i
u
î
SEZIONE DI INGRESSO DEL FLUSSO DI VAPORE
SEZIONE DI USCITA DEL FLUSSO DI VAPORE VALVOLA
Figura 3.14: rappresentazione approssimata della valvola di sfiato. Con riferimento alla figura 3.14, si considerino le seguenti ipotesi:
flusso unidimensionale: tutte le grandezze termofluidodinamiche variano in funzione della sola coordinata x;
92
flusso unidirezionale: indicando con ⃗ la velocità del vapore in un generico punto del condotto, si ha ⃗ ̂;
fluido non viscoso ̿ ;
flusso adiabatico: questa ipotesi è accettabile non solo in virtù dell’isolamento termico del condotto, ma anche per il fatto che il condotto è sufficientemente corto e la velocità del flusso è sufficientemente alta;
le ultime due ipotesi insieme implicano che il flusso è isoentropico; fluido comprimibile;
l’area AV della sezione trasversale del condotto è costante;
Sulla sezione di ingresso i si ha: Ti = T temperatura
pi = p pressione
ρi = ρV densità
⃗⃗⃗ ( ) ( ) Sulla sezione di uscita u si ha:
Inoltre poiché il flusso è isoentropico, si ha:
Dal momento che , sicuramente il flusso nel condotto è in condizioni di bloccaggio della portata, pertanto si ha:
Usando i risultati forniti dalla fluidodinamica (flussi unidimensionali isoentropici), si ha:
̇ √ ( ) √ ( )
dove AV è l’area della sezione trasversale della valvola di sfiato e è il rapporto tra i calori specifici
(cp e cv) del vapore del liquido criogenico.
E’ da notare che se l’area della sezione trasversale della valvola varia lungo l’asse del condotto, allora AV è l’area della sezione trasversale più piccola del condotto (sezione critica).
In conclusione si ha: { ̇ ̇ √ ( )
3.2.10 Potenze termiche entranti e uscenti dal serbatoio
Si indichi con ̇ la potenza termica entrante nel serbatoio. Si ha:̇ ( ∑ ̇
) ̇ ( ̇ ) ( ̇ ) ̇
93
̇ è la potenza termica conduttiva tra superficie esterna ed interna del serbatoio in corrispondenza dell’i-esimo nodo.
̇ è la potenza termica conduttiva tra superficie esterna ed interna del serbatoio in corrispondenza del nodo 11.
̇ è la potenza termica conduttiva tra superficie esterna ed interna del serbatoio in
corrispondenza del nodo 12.
̇ è la potenza termica conduttiva tra superficie esterna ed interna del serbatoio in corrispondenza del nodo 13.
̇ [ ( )] : è la potenza termica conduttiva attraverso la struttura di collegamento serbatoio-camera a vuoto.
La potenza termica ̇ uscente dal serbatoio dipende dalla potenza refrigerante del cryocooler.
Indicando con ̇ la potenza refrigerante del cryocooler, si ha: ̇ ̇
In particolare, se il raffreddamento è ottenuto mediante n cryocoolers tutti uguali tra loro, si ha: ̇ ̇
La potenza refrigerante del cryocooler dipende dal particolare tipo di cryocooler e dalla temperatura del fluido a contatto con l’estremità fredda del cryocooler. Indicando con Tp la
temperatura del fluido a contatto con l’estremità fredda del cryocooler, si ha: ̇ ̇ ( )
Questa funzione è nota come caratteristica dinamica del cryocooler ed è fornita, sotto forma di grafico o sotto forma di tabella, dal costruttore del cryocooler.
Poiché in questo modello è stata assunta l’ipotesi che la temperatura T del fluido è uniforme, allora Tp = T e pertanto:
94
3.2.11 Il sistema di equazioni differenziali
Le equazioni ricavate fino ad ora consentono di scrivere il sistema di equazioni differenziali con il quale è possibile studiare come variano nel tempo le diverse grandezze termofluidodinamiche del liquido criogenico stoccato nel serbatoio.
Di seguito è riportato il sistema di equazioni differenziali:
{ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ̇ ̇ ̇ ) ̇ ( ) ( )( ̇ ̇ ̇ )
La penultima equazione fornisce la variazione, nel tempo, della massa di liquido criogenico contenuto nel serbatoio; l’equazione deriva dalle seguenti relazioni:
( ) Sostituendo l’ultima equazione del sistema nelle precedenti 16 equazioni si ottiene:
95 { ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ̇ ̇ ̇ ) ̇ ( ) ( )( ̇ ̇ ̇ )
Si tratta di un sistema di equazioni differenziali ordinarie costituito da 16 equazioni e 16 incognite. La soluzione del sistema fornisce le seguenti soluzioni:
T1(t), T2(t), T3(t), T4(t), T5(t), T6(t), T7(t), T8(t), T9(t), T10(t), T11(t), T12(t), T13(t), T(t), VL(t), mL(t).
Il sistema di equazioni differenziali di cui sopra è completato dalle 16 condizioni iniziali necessarie per poter risolvere il sistema stesso.
3.2.12 Le condizioni iniziali
Le condizioni iniziali per le funzioni Ti(t) (con 1 ≤ i ≤ 10) si ricavano utilizzando l’equazione [3.14].
All’istante iniziale t = t0 si ha:
̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ( ̇ ) ( ̇ ) ( ̇ ) ( ) ( )
96 dove: ( ̇ ) ( ̇ ) ( ̇ )
Il valore di Ti_0 si ottiene trovando la radice reale positiva dell’equazione [3.35].
La condizione iniziale per la funzione T11(t) si ricava usando l’equazione [3.16]. All’istante iniziale t0
si ha: ̇ ̇ ( ) ( ) dove:
Il valore di T11_0 si ottiene trovando la radice reale positiva dell’equazione [3.36].
La condizione iniziale per la funzione T12(t) si ricava usando l’equazione [3.18]. All’istante iniziale t0
si ha: ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ( ̇ ) ( ̇ ) ( ̇ ) ( ) ( ) dove: ( ̇ ) ( ̇ ) ( ̇ )
Il valore di T12_0 si ottiene trovando la radice reale positiva dell’equazione [3.37].
La condizione iniziale per la funzione T13(t) si ricava usando l’equazione [3.20]. All’istante iniziale t0
si ha:
̇ ̇
97 ( ) ( ) dove:
Il valore di T13_0 si ottiene trovando la radice reale positiva dell’equazione [3.38].
I valori T0 e mL0 sono dati iniziali che possono essere scelti arbitrariamente; T0 rappresenta la
temperatura di stoccaggio del liquido criogenico, mentre mL0 rappresenta la massa di liquido
criogenico inizialmente stoccata all’interno del serbatoio. Infine è possibile calcolare l’ultimo dato iniziale, ovvero il volume del liquido criogenico all’istante iniziale:
dove è la densità del liquido criogenico all’istante iniziale (ovvero la densità in corrispondenza della temperatura T0).
98
3.3 Il modello termico per il serbatoio sferico a due strati
3.3.1 Generalità
Per l’analisi termica del serbatoio sferico si possono utilizzare le stesse relazioni calcolate per il serbatoio cilindrico. In questo caso cambia solo la geometria e di conseguenza cambiano le relazioni che forniscono le potenze termiche conduttive attraverso le pareti del serbatoio, poiché cambiando la geometria cambiano anche le resistenze termiche conduttive delle pareti del serbatoio stesso.
3.3.2 Geometria del serbatoio
Il serbatoio descritto in questo paragrafo è un serbatoio sferico costituito da due strati: il rivestimento interno, che rappresenta il serbatoio vero e proprio, e l’isolante termico esterno. In figura 3.15 è riportata la geometria del serbatoio insieme con le principali grandezze geometriche.
Figura 3.15: geometria del serbatoio sferico.
L’elenco seguente riporta i simboli utilizzati per indicare le varie grandezze utilizzate nel modello termico del serbatoio sferico.
r1: raggio interno del serbatoio.
Sp1: spessore del rivestimento interno.
Sp2: spessore dell’isolante termico.
: spessore totale del serbatoio.
: raggio esterno del rivestimento interno. : raggio esterno del serbatoio.
: superficie esterna del serbatoio. : volume interno del serbatoio.
ε2: emissività emisferica, nel campo dell’infrarosso, della superficie esterna del rivestimento
isolante.
ε : coefficiente di assorbimento emisferico, nel campo dell’infrarosso, della superficie esterna del rivestimento isolante .
S: coefficiente di assorbimento emisferico, della superficie esterna del rivestimento isolante,
alla radiazione solare.
: coefficiente di assorbimento emisferico, della superficie esterna del rivestimento isolante, alla radiazione solare riflessa dal pianeta (albedo).
99
ε : coefficiente di assorbimento emisferico, della superficie esterna del rivestimento isolante, alla radiazione termica planetaria (infrarossa).
λ1: coefficiente di conducibilità termica del materiale costituente il rivestimento interno del
serbatoio.
λ2: coefficiente di conducibilità termica del materiale costituente il rivestimento isolante (nel
caso in cui il rivestimento isolante sia un MLI, λ2 rappresenta la conducibilità termica
apparente).
W: coefficiente di dilatazione termica lineare del materiale costituente il rivestimento interno
del serbatoio.
E: modulo di elasticità del materiale costituente il rivestimento interno del serbatoio. ν: modulo di Poisson del materiale costituente il rivestimento interno del serbatoio. PMAX: pressione massima ammissibile all’interno del serbatoio.
Per quanto riguarda la camera a vuoto, la struttura di collegamento serbatoio-camera a vuoto e i carichi termici forzanti, vale quanto già esposto nei paragrafi 3.2.2, 3.2.3 e 3.2.4.
3.3.3 Analisi termica della superficie esterna del serbatoio
Come è stato già fatto per il serbatoio cilindrico, anche in questo caso si suddivide la superficie esterna del serbatoio in nodi. Si inizia dividendo la superficie esterna in due calotte sferiche mediante un piano passante per il centro del serbatoio e perpendicolare alla direzione dei flussi termici forzanti; la calotta rivolta verso i carichi termici forzanti è detta superficie illuminata, la calotta restante è detta superficie in ombra. La superficie in ombra è assunta a temperatura uniforme e quindi costituisce un nodo (nodo 11).
La superficie illuminata sarà invece divisa in dieci parti, di cui la prima è una calotta sferica (nodo 1) e le restanti nove sono zone sferiche, come indicato nelle figure 3.16, 3.17 e 3.18. Su ciascuna di queste dieci parti la temperatura sarà assunta uniforme, quindi ciascuna delle dieci parti costituisce un nodo (nodi da 1 a 10).
In conclusione il modello termico per il serbatoio sferico a due strati è un modello termico a 11 nodi.
Di seguito sono elencate alcune grandezze relative all’i-esimo nodo.
Ti: è la temperatura della superficie esterna del serbatoio in corrispondenza dell’i-esimo nodo.
Si: è l’area della superficie esterna dell’i-esimo nodo.
Ai: è l’area d’ombra (shadow area) dell’i-esimo nodo, ovvero l’area della superficie ottenuta
proiettando Si su un piano perpendicolare alla direzione dei flussi termici forzanti. Ovviamente
per il nodo 11 non esiste l’area d’ombra.
̇: è la potenza termica conduttiva attraverso la parete del serbatoio in corrispondenza dell’i-esimo nodo.
100
Figura 3.16: discretizzazione della superficie esterna del serbatoio. Ciascun nodo è individuato da un numero
da 1 a 11.
101
Figura 3.18: vista isometrica della superficie esterna del serbatoio. Ciascun colore identifica un nodo. Di seguito sono esposte le relazioni che ci forniscono le Si e le Ai per ciascun nodo.
NODI DA 1 A 10 Il nodo 1 è una calotta sferica. Pertanto sarà facile verificare che:
( )
I nodi da 2 a 10 sono invece delle zone sferiche. E’ facile verificare che per il nodo 2 si ha: ( ) ( )
e per il nodo 3 si ha:
( ) ( ) Quindi generalizzando, per i nodi da 1 a 10, si ha:
{ ( ) ( )} Per quanto riguarda il calcolo delle Ai si faccia riferimento alle figure seguenti.
A1 è l’area di un cerchio e pertanto si ha:
102
Invece le A2, A3, …., A10 sono delle corone circolari. Con riferimento alla seguente figura, si ha:
( ) Generalizzando si ha: ( ) [ (( ) )] { ( ) (( ) ) } NODO 11
Il nodo 11 è una semisfera, pertanto:
3.3.4 Calcolo delle potenze termiche conduttive
In questo paragrafo saranno calcolate le espressioni per determinare le potenze termiche conduttive attraverso le pareti del serbatoio in corrispondenza di ciascun nodo. Per il calcolo di queste potenze termiche conduttive si fanno le seguenti assunzioni:
il valore positivo attribuito alle potenze termiche conduttive è quello che va dalla superficie esterna del serbatoio verso quella interna;
la superficie interna del serbatoio ha una temperatura uniforme pari a TW;
la temperatura T della parete varia solo in funzione del raggio r (conduzione monodimensionale).
NODI DA 1 A 10
Come si evince dalla figura 3.19, la conduzione termica attraverso il nodo 1 è assimilabile alla conduzione termica attraverso una parete avente la forma di una calotta sferica. Pertanto si ha:
̇ ( ) ( ) ( ) ̇ ( ) ( ) ̇
103
Si faccia l’integrale dei due membri dell’equazione di cui sopra:
∫
∫
( )
̇ Risolvendo separatamente i due integrali si ha:
∫ ∫ ∫ [ ] [ ] ∫ ( ) ̇ ( ) ̇ ( )
Inserendo questi risultati nella [3.42] si ottiene:
( )
̇ ( )
̇ ( ) ( ) ( )
Figura 3.19: conduzione termica attraverso la parete del serbatoio in corrispondenza del nodo 1. Dalla figura 3.20 si evince che la conduzione termica attraverso la parete del nodo 2 è assimilabile alla conduzione termica attraverso una parete avente la forma di una zona sferica.
104
Figura 3.20: conduzione termica attraverso la parete del serbatoio in corrispondenza del nodo 2. Con riferimento alla figura 3.20, si ha:
̇ ( ) ( ( )) ( ( )) ( ( )) ̇
Si faccia l’integrale dei due membri dell’equazione di cui sopra:
∫
∫
( ( ))
̇ Risolvendo separatamente i due integrali si ha:
∫ ∫ ∫ [ ] [ ] ∫ ( ( )) ̇ ( ( )) ̇ ( )
Inserendo questi risultati nella [3.44] si ottiene:
( ( ))
̇ ( )
105
Generalizzando la [3.43] e la [3.45] si ottiene il seguente risultato:
̇ { ( ) ( )} ( ) ( )
NODO 11
La conduzione termica attraverso la parete del nodo 11 è assimilabile ad un problema di conduzione termica attraverso una parete avente la forma di una semisfera. Pertanto si ha:
̇ ( ) ̇
Si faccia l’integrale dei due membri dell’equazione di cui sopra:
∫ ∫ ̇
Risolvendo separatamente i due integrali si ha:
∫ ∫ ∫ [ ] [ ] ∫ ̇ ̇ ( )
Inserendo questi risultati nella [3.47] si ottiene:
̇
( ) ( )
3.3.5 Bilanci termici
NODI DA 1 A 10
Le potenze termiche entranti sulla superficie esterna dell’i-esimo nodo sono: la potenza termica dovuta al flusso termico solare;
la potenza termica dovuta al flusso termico prodotto dalla radiazione solare riflessa dal pianeta (albedo);
la potenza termica dovuta al flusso termico prodotto dalla radiazione termica planetaria; la potenza termica dovuta allo scambio termico per irraggiamento con le pareti interne della
camera a vuoto.
La potenza termica uscente dalla superficie esterna dell’i-esimo nodo è:
la potenza termica dovuta allo scambio termico conduttivo tra la superficie esterna e la superficie interna della parete del serbatoio in corrispondenza dell’i-esimo nodo.
106 Di seguito verrà analizzato ciascuno dei precedenti punti.
Si indichi con ̇ la potenza termica, dovuta alla radiazione termica solare, che viene assorbita dalla superficie esterna dell’i-esimo nodo:
̇ ̇
Si indichi con ̇ la potenza termica, dovuta alla radiazione termica solare riflessa dal pianeta (albedo planetario), che viene assorbita dalla superficie esterna dell’i-esimo nodo:
̇ ̇ ̇
Si indichi con ̇ la potenza termica, dovuta alla radiazione termica planetaria, che viene assorbita dalla superficie esterna dell’i-esimo nodo:
̇ ̇
La figura 3.12 schematizza lo scambio termico radiativo tra superficie interna della camera a vuoto e superficie esterna del serbatoio:
: resistenza superficiale all’irraggiamento della superficie interna della camera a vuoto.
: resistenza spaziale all’irraggiamento tra la superficie interna della camera a vuoto e la superficie esterna dell’i-esimo nodo.
: resistenza superficiale all’irraggiamento della superficie esterna dell’i-esimo nodo.
Il valore FiV è il fattore di vista della superficie esterna dell’i-esimo nodo rispetto alla superficie
interna della camera a vuoto; poiché il serbatoio è interamente circondato dalla pareti interne della camera a vuoto allora tutta la radiazione termica emessa dalla superficie esterna dell’i-esimo nodo viene intercettata direttamente dalle pareti interne della camera a vuoto, pertanto si ha:
Indicando con ̇ la potenza termica radiativa scambiata tra le pareti interne della camera a vuoto
e la superficie esterna dell’i-esimo nodo, e assumendo come positivo il verso indicato in figura 3.12, si ha: ̇ ( ) ( )
A questo punto è possibile effettuare il bilancio termico per l’i-esimo nodo. ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ( ̇ ) ( ̇ ) ( ̇ ) ( ) ( )
107 dove: ( ̇ ) ( ̇ ) ( ̇ )
Derivando rispetto al tempo la [3.49] si ha: ( ) ( ) ( ) ̇ ̇ ( ̇ ̇ ) ( ) ( ) [ ] [ ( ̇ ̇ ) ( )] ( ) NODO 11
Il nodo 11 è soggetto ai seguenti scambi di calore:
allo scambio termico per irraggiamento con le pareti interne della camera a vuoto. Si indichi con ̇ la potenza termica radiativa scambiata tra la superficie interna della camera a vuoto e la superficie esterna del nodo 11, e il verso assunto positivo è quello che va dalla superficie interna della camera a vuoto verso la superficie esterna del nodo 11;
allo scambio termico conduttivo tra la superficie esterna e la superficie interna della parete del serbatoio in corrispondenza del nodo 11.
Quindi in questo caso si ha:
̇ ̇ ( ) ( ) dove:
108 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3.3.6 Analisi termica del fluido contenuto nel serbatoio
Per quanto riguarda l’analisi termica del fluido contenuto nel serbatoio, si possono utilizzare gli stessi risultati ricavati nel paragrafo 3.2.8.
In questo caso cambiano solo le espressioni che forniscono la variazione del volume interno del serbatoio causata dalla variazione di pressione.
Approssimando il rivestimento interno ad una membrana, è facile verificare che le tensioni principali nel rivestimento interno sono:
e le corrispondenti deformazioni sono:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Quindi la variazione relativa del raggio interno del serbatoio vale:
( )
109 ( ) ( ) ( ) ( )
3.3.7 Potenze termiche entranti e uscenti dal serbatoio
Si indichi con ̇ la potenza termica entrante nel serbatoio. Si ha:̇ ∑ ̇
̇ ̇
dove
̇ è la potenza termica conduttiva tra superficie esterna ed interna del serbatoio in corrispondenza dell’i-esimo nodo.
̇ è la potenza termica conduttiva tra superficie esterna ed interna del serbatoio in corrispondenza del nodo 11.
̇ [ ( )] : è la potenza termica conduttiva attraverso la struttura di collegamento serbatoio-camera a vuoto.
La potenza termica ̇ uscente dal serbatoio dipende dalla potenza refrigerante del cryocooler. Indicando con ̇ la potenza refrigerante del cryocooler, si ha:
̇ ̇
In particolare, se il raffreddamento è ottenuto mediante n cryocoolers tutti uguali tra loro, si ha: ̇ ̇
La potenza refrigerante del cryocooler dipende dal particolare tipo di cryocooler e dalla temperatura del fluido a contatto con l’estremità fredda del cryocooler. Indicando con Tp la
temperatura del fluido a contatto con l’estremità fredda del cryocooler, si ha: ̇ ̇ ( )
Questa funzione è nota come caratteristica dinamica del cryocooler ed è fornita, sotto forma di grafico o sotto forma di tabella, dal costruttore del cryocooler. Poiché in questo modello è stata assunta l’ipotesi che la temperatura T del fluido è uniforme, allora Tp = T e pertanto:
110
3.3.8 Il sistema di equazioni differenziali
Le equazioni ricavate fino ad ora consentono di scrivere il sistema di equazioni differenziali con il quale è possibile studiare come variano nel tempo le diverse grandezze termofluidodinamiche del liquido criogenico stoccato nel serbatoio.
Di seguito è riportato il sistema di equazioni differenziali:
{ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ̇ ̇ ̇ ) ̇ ( ) ( )( ̇ ̇ ̇ )
La penultima equazione ci fornisce la variazione, nel tempo, della massa di liquido criogenico contenuto nel serbatoio; l’equazione deriva dalle seguenti relazioni:
( ) Sostituendo l’ultima equazione del sistema nelle precedenti 14 equazioni si ottiene:
111 { ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ̇ ̇ ̇ ) ̇ ( ) ( )( ̇ ̇ ̇ )
Si tratta di un sistema di equazioni differenziali ordinarie costituito da 14 equazioni e 14 incognite. La soluzione del sistema ci fornisce le seguenti soluzioni:
T1(t), T2(t), T3(t), T4(t), T5(t), T6(t), T7(t), T8(t), T9(t), T10(t), T11(t), T(t), VL(t), mL(t).
Il sistema di equazioni differenziali di cui sopra è completato dalle 14 condizioni iniziali necessarie per poter risolvere il sistema stesso.
3.3.9 Le condizioni iniziali
Le condizioni iniziali per le funzioni Ti(t) (con 1 ≤ i ≤ 10) si ricavano utilizzando l’equazione [3.49].
All’istante iniziale t = t0 si ha:
̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ( ̇ ) ( ̇ ) ( ̇ ) ( ) ( ) dove: ( ̇ ) ( ̇ ) ( ̇ )
112
Il valore di Ti_0 si ottiene trovando la radice reale positiva dell’equazione [3.53].
La condizione iniziale per la funzione T11(t) si ricava usando l’equazione [3.51]. All’istante iniziale
t0 si ha: ̇ ̇ ( ) ( ) dove:
Il valore di T11_0 si ottiene trovando la radice reale positiva dell’equazione [3.54].
I valori T0 e mL0 sono dati iniziali che possono essere scelti arbitrariamente; T0 rappresenta la
temperatura di stoccaggio del liquido criogenico, mentre mL0 rappresenta la massa di liquido
criogenico inizialmente stoccata all’interno del serbatoio. Infine è possibile calcolare l’ultimo dato iniziale, ovvero il volume del liquido criogenico all’istante iniziale:
dove è la densità del liquido criogenico all’istante iniziale (ovvero la densità in corrispondenza della temperatura T0).
3.4 Implementazione dei modelli termici: i simulatori VCCT e VCST
I modelli termici ricavati nei paragrafi 3.2 e 3.3 sono stati implementati mediante due simulatori realizzati in ambiente Matlab.
Il simulatore VCCT (Vacuum Chamber Cylindrical Tank) implementa il modello termico ricavato per il serbatoio cilindrico a due strati. Questo simulatore consta di un file script (VCCT) e due file di funzione (sistema e sistemaIC).
Il file script “VCCT” è il simulatore vero e proprio nel quale è riportato l’intero algoritmo che implementa il modello termico per il serbatoio cilindrico ricavato nel paragrafo 3.2. Il file di funzione “sistema” riporta il sistema di equazioni differenziali descritto nel paragrafo 3.2.11 mentre il file di funzione “sistemaIC” riporta il sistema di equazioni la cui soluzione fornisce le condizioni iniziali descritte nel paragrafo 3.2.12. Entrambi i file di funzione vengono richiamati dal file script al fine di risolvere il sistema di equazioni differenziali e lineari rispettivamente; pertanto tutti e tre i file devono essere salvati in una stessa cartella di lavoro.
Per utilizzare il simulatore occorre aprire il file “VCCT” e, scorrendo le varie righe, inserire i dati richiesti; in particolare alla riga 252 è richiesto di inserire l’istante iniziale della simulazione (solitamente 0) e alla riga 253 di inserire l’istante finale della simulazione (in secondi). Dopo aver
113
inserito tutti i dati richiesti è possibile lanciare la simulazione (tasto RUN nella barra degli strumenti oppure dalla barra dei menu cliccare Debug e nella finestra del Debug cliccare RUN). Il simulatore VCST (Vacuum Chamber Spherical Tank) implementa il modello termico ricavato per il serbatoio sferico a due strati. Questo simulatore consta di un file script (VCST) e due file di funzione (sistema e sistemaIC).
Il file script “VCST” è il simulatore vero e proprio nel quale è riportato l’intero algoritmo che implementa il modello termico per il serbatoio sferico ricavato nel paragrafo 3.3. Il file di funzione “sistema” riporta il sistema di equazioni differenziali descritto nel paragrafo 3.3.8 mentre il file di funzione “sistemaIC” riporta il sistema di equazioni la cui soluzione fornisce le condizioni iniziali descritte nel paragrafo 3.3.9. Entrambi i file di funzione vengono richiamati dal file script al fine di risolvere il sistema di equazioni differenziali e lineari rispettivamente; pertanto tutti e tre i file devono essere salvati in una stessa cartella di lavoro.
Per utilizzare il simulatore occorre aprire il file “VCST” e, scorrendo le varie righe, inserire i dati richiesti; in particolare alla riga 217 è richiesto di inserire l’istante iniziale della simulazione (solitamente 0) e alla riga 218 di inserire l’istante finale della simulazione (in secondi). Dopo aver inserito tutti i dati richiesti è possibile lanciare la simulazione (tasto RUN nella barra degli strumenti oppure dalla barra dei menu cliccare Debug e nella finestra del Debug cliccare RUN).
