SERIE STORICHE, TREND, MEDIE MOBILI, REGRESSIONE
Andrea Prevete
Una serie storica o temporale è un insieme di dati costituiti da una sequenza di osservazioni su un fenomeno d’interesse X, effettuate in istanti (per le variabili di stock) o intervalli (per le variabili di flusso) di tempo consecutivi e solitamente, anche se non necessariamente, equispaziati o della stessa lunghezza.
NOTA: variabili di stock e variabili di flusso
Concettualmente, le variabili di stock sono grandezze economiche che sono riferite ad un preciso istante temporale. Il capitale d'impresa, la popolazione di un paese, l'ammontare del debito pubblico fanno, per definizione, riferimento ad un determinato istante temporale.
Le variabili di flusso, invece, hanno senso se riferite non ad un dato momento ma ad un certo intervallo di tempo: casi tipici sono il reddito o il volume d'affari, i quali sono misurati in relazione ad un certo lasso temporale (un mese, un anno ecc.) ma rappresenta un flusso anche la variazione dello stock di capitale nell'arco di un anno.
Denotando con t = 1, 2, . . . , n il tempo, che è il criterio ordinatore delle osservazioni, e con {x1, x2, . . . , xn} la sequenza dei dati, l’analisi della serie temporale si propone di interpretare il meccanismo dinamico che ha generato la serie e/o di prevedere l’evoluzione futura del fenomeno, sulla base delle informazioni fornite dai dati.
In particolare, un efficacissimo strumento esplorativo è la cosiddetta analisi grafica.
I punti di coordinate (t, x(t)) per t = 1, 2, . . . , n vengono rappresentati su un diagramma cartesiano ed uniti con segmenti di retta, come se il fenomeno fosse stato rilevato nel tempo con continuità.
Dall’analisi grafica della maggior parte delle serie economiche si rileva la presenza di andamenti regolari nella dinamica temporale del fenomeno, alcuni di lungo periodo, altri di minore durata.
In particolare si evidenza di solito la presenza di una tendenza di fondo o trend, legata
all’andamento di lungo periodo del fenomeno, ed una componente di natura ciclica e di periodo fisso, detta stagionalità.
MEDIE MOBILI
Un criterio estremamente semplice e nel contempo efficace per evidenziare il trend di una serie storica è il cosiddetto metodo delle medie mobili, basato sulla sostituzione di ogni componente della serie con la media aritmetica ottenuta con il succitato termine ed un certo numero q di suoi predecessori e successori nella serie stessa . Il valore q è detto ordine della media mobile.
Esempio: Consideriamo la seguente serie storica
Se poniamo q = 1, le medie mobili centrate a tre termini si calcolano come:
Il seguente grafico mostra l’andamento della serie (linea continua) e delle medie mobili (linea tratteggiata):
Una media mobile ha un’azione per così dire spianante, perchè tende a ridurre le irregolarità di tipo casuale presenti in una serie storica (riducendone la variabilità). In questo senso restituisce la tendenza di fondo o trend.
E’ possibile utilizzare medie più complesse della semplice media aritmetica appena citata, che comunque risulta estremamente efficace nella maggior parte delle applicazioni.
E’ abbastanza ovvio notare che un valore basso dell’ordine della media mobile, e quindi di q, accentua la fedeltà del risultato ai dati osservati, ma rende meno evidente l’osservazione delle regolarità di lungo periodo e quindi del trend. D’altro canto all’aumentare del valore di q la media mobile restituisce una serie dal comportamento sempre più regolare.
Esempio: Ricostruzione del trend per le variazioni percentuali trimestrali del PIL con una media mobile centrata con q = 1, 2, 3, 4 (da sinistra a destra e dall’alto in basso).
REGRESSIONE LINEARE
In talune situazioni è opportuno o comodo assumere che il TREND abbia certe caratteristiche, per esempio la forma di una retta.
Il problema della sua determinazione diventa allora quello di individuare la retta che “approssima meglio”, “si avvicina di più” ai dati sperimentali.
Si può dimostrare che questo problema, conosciuto in statistica come regressione lineare, ha la sua soluzione più convincente nella cosiddetta retta dei minimi quadrati. Si individua, cioè, fra tutte le rette che passano fra i dati sperimentali quella per cui è minima la somma dei quadrati degli scostamenti fra i dati sperimentali e la retta stessa.
Riprendiamo l’esempio usato per le medie mobili:
Se facciamo le medie aritmetiche per entrambe le righe otteniamo:
5 8 8
11 15 13 8 9 7 2 3
5 8 4
8 7 6 5 4 3 2 1
. .
_ _
x t
Il punto (4.5 ; 8.5) - il baricentro dei dati sperimentali - riveste un ruolo cruciale nella
determinazione della succitata retta dei minimi quadrati. Si può, infatti, dimostrare che la retta passa proprio per questo punto. Resta da calcolare la sua pendenza, ovvero il suo coefficiente angolare.
Utilizzando le opportune strategie di ottimizzazione si ottiene, per m, la formula:
2
_ _ _
t t
t t x x m
i i i
Quindi, facendo ancora riferimento all’esempio precedente, si può procedere costruendo una tabella come quella che segue:
t 1 2 3 4 5 6 7 8 _t 4.5
x 3 2 7 9 8 13 15 11 x_ 8.5
t_
t -3.5 -2.5 -1.5 -0.5 0.5 1.5 2.5 3.5
x_
x -5.5 -6.5 -1.5 0.5 -0.5 4.5 6.5 2.5
2
t _t 12.25 6.25 2.25 0.25 0.25 2.25 6.25 12.25 42
t _t x x_ 19.25 16.25 2.25 -0.25 -0.25 6.75 16.25 8.75 69
m=1.64
La retta cercata ha, quindi, equazione: x = 1.64(t-4.5) + 8.5
Serie 1
f(x)=1.64(x-4.5)+8.5 Serie 2
-2 2 4 6 8 10 12 14 16 18
5 10 15
t x
questo è il grafico risultante!
baricentro!
APPROFONDIMENTI
In realtà per comprendere la caratteristiche di una serie storica, soprattutto quando questa esprime valori economici, occorre pensare ad ogni singolo dato x(t) come somma di almeno tre componenti:
x(t) = T(t) + S(t) + A(t)
dove T è la parte di valore esprimente il trend della serie, S la cosiddetta stagionalità, A la componente casuale.
Per evidenziare solo T(t), ossia solo il trend) occorre e basta procedere con medie mobili di ordine elevato, quindi con q sufficientemente grande.
Se, invece, è importante rilevare il movimento ciclico che chiamiamo stagionalità si può procedere così:
• Ricostruiamo (in forma preliminare) in ogni istante t il trend T(t) con una opportuna media mobile.
La differenza tra la serie osservata e la media mobile (che rappresenta la ricostruzione del trend) ci fornisce le componenti “stagionale” ed “accidentale”:
x(t) − T(t) = S(t) + A(t) per ogni t = 1, . . . , n
• Isoliamo, quindi, la stagionalità ricostruendo la componente S(i) riferita a ciascuno dei sottoperiodi (i = 1, 2, . . . , s) del periodo stagionale s attraverso una media aritmetica, poi
“aggiustata” (che elimina A(t)).
