Teoria Alberi Binari

(1)

Alberi binari

Definizione

Sottoalberi

Padre, figli

Foglie, nodi interni e percorsi

Profondità e altezza

Albero binario pieno e completo

(2)

Albero binario

• Un albero binario è un albero dove ogni nodo ha al massimo due figli.

• Tutti i nodi tranne la radice ha un nodo padre.

• Le foglie dell’albero non hanno figli.

(3)

Sottoalberi

radice

Sottoalbero sinistro Sottoalbero destro

(4)

Sottoalberi

radice

Sottoalbero sinistro

Sottoalbero destro

Sottoalbero sinistro

Sottoalbero destro Radice del

sottoalbero sinistro

Radice del sottoalbero

destro

(5)

Padre e figli

radice

i

k j

Arco tra i e j

• i è padre di k e j

• j e k sono i due figli di i

• (i,j) è l’arco che unisce i e j

Figli di i

(6)

Foglie, nodi interni e percorsi

• In nodo di un albero binario si dice nodo foglia (o solo foglia) se non ha figli (cioè se entrambi i

sottoalberi di cui è radice sono vuoti).

• Un nodo si dice nodo interno se ha almeno un figlio.

• Un percorso dal nodo i al nodo j è la sequenza di archi che devono essere attraversati per

raggiungere il nodo j dal nodo i.

(7)

Foglie, nodi interni e percorsi

radice

i

j Percorso tra i e j

Nodi interni

Foglie

(8)

Profondità e altezza

• In un albero binario la profondità di un nodo è la lunghezza del percorso dalla radice al nodo (cioè il numero di archi tra la radice e il nodo).

• L’altezza dell’albero è la profondità massima che può avere un nodo

dell’albero.

(9)

Profondità e altezza

radice

profondità 1

profondità 0

profondità 2

profondità 3

altezza 3

(10)

Albero binaro pieno

• Un albero binario si dice pieno se:

1. tutte le foglie hanno la stessa profondità h 2. tutti i nodi interni hanno grado 2

• Un albero pieno di n nodi ha altezza esattamente .

• Un albero pieno di altezza h ha esattamente 2

^h+1

-1 nodi (2

^h

-1 nodi interni + 2

^h

foglie).



^log²ⁿ



1 1 2

2 2 ¹

1  



 





^h ⁱ ^h^ ^h^

n

(11)

Albero binaro pieno

radice

2

4 5

• Nodi totali n = 2^h+1-1

=

²⁴^{-1 = 15}

• Nodi interni 2^h-1 = 7

• Foglie 2^h = 8

altezza h=3 3

6 7

1

8 9 10 11 12 13 14 15

 ^log ⁿ 

(12)

Albero binaro completo

• Un albero binario si dice completo se

1. tutte le foglie hanno profondità h o h-1, dove h è l’altezza dell’albero

2. tutti i nodi interni hanno 2 figli, eccetto al più

uno.

(13)

Albero binaro completo

radice

2

4 5

altezza h=3 3

6 7

1

8 9 10 11 12

Unico nodo interno con profondità h

profondità h-1

Teoria Alberi Binari

Alberi binari

Definizione

Sottoalberi

Padre, figli

Foglie, nodi interni e percorsi

Profondità e altezza

Albero binario pieno e completo

Albero binario

• Un albero binario è un albero dove ogni nodo ha al massimo due figli.

• Tutti i nodi tranne la radice ha un nodo padre.

• Le foglie dell’albero non hanno figli.

Sottoalberi

Sottoalberi

Padre e figli

Foglie, nodi interni e percorsi

• In nodo di un albero binario si dice nodo foglia (o solo foglia) se non ha figli (cioè se entrambi i

sottoalberi di cui è radice sono vuoti).

• Un nodo si dice nodo interno se ha almeno un figlio.

• Un percorso dal nodo i al nodo j è la sequenza di archi che devono essere attraversati per

raggiungere il nodo j dal nodo i.

Foglie, nodi interni e percorsi

Profondità e altezza

• In un albero binario la profondità di un nodo è la lunghezza del percorso dalla radice al nodo (cioè il numero di archi tra la radice e il nodo).

• L’altezza dell’albero è la profondità massima che può avere un nodo

dell’albero.

Profondità e altezza

Albero binaro pieno

• Un albero binario si dice pieno se:

• Un albero pieno di n nodi ha altezza esattamente .

• Un albero pieno di altezza h ha esattamente 2

-1 nodi (2

-1 nodi interni + 2

foglie).







Albero binaro pieno

=

 log n 

Albero binaro completo

• Un albero binario si dice completo se

1. tutte le foglie hanno profondità h o h-1, dove h è l’altezza dell’albero

2. tutti i nodi interni hanno 2 figli, eccetto al più

uno.

Albero binaro completo

 ^log ⁿ 