4. Theoretische Grundlagen

4.

Theoretische Grundlagen

4.1. Der Pitotdruck

Es wird ein Fluidelement an einem bestimmten Punkt der Strömung betrachtet, an dem der lokale Druck, die Temperatur, die Dichte, die Machzahl und die Geschwindigkeit p, T, ρ, M und v sind. Hier sind p, T und ρ statische Größen das bedeutet, der Druck, die Temperatur und die Dichte, mit dem sich das Gas mit der Strömungsgeschwindigkeit bewegt. Wenn man sich vorstellt, dass die Geschwindigkeit dieses Elements bis auf Null adiabat verringert wird, dann ändern sich p, T und ρ.

Die Gleichung T0=T+v²/2 beschreibt die totale Temperatur, das ist die Temperatur, die in einem Punkt der Strömung existiert, falls das Fluidelement, das durch diesen Punkt hindurchgeht, adiabat zur Ruhe gebracht wird. Auf die gleiche Art wird auch der Enthalpie der Wert h0=h+v²/2 zugewiesen, als die Enthalpie, die ein kalorisch perfektes Gas hätte, wenn die Geschwindigkeit dieses Elements bis auf Null adiabat verringert würde. Um den Totaldruck und die Dichte zu definieren wird nicht nur ein adiabater Prozess betrachtet, sondern ein adiabater und reversibler, d.h. ein isentroper Prozess. Deshalb ist es möglich, einem bestimmten Punkt, in dem der statische Druck und die statische Dichte p bzw. ρ sind, die Totalbedingungen p0 und ρ0 zuzuweisen. Dieses Konzept der Total-Bedingungen kann generell für jedes Strömungsfeld angewendet werden. Im Fall eines isentropen Feldes ist p0 und ρ0 entlang einer Stromlinie konstant, genauso wie T0 und h0 im Fall eines adiabaten Feldes konstant sind. Diese Totalbedingungen werden auch Staupunktsbedingungen genannt. Eine Pitotsonde in einem Strömungsfeld schafft ein Staupunktsgebiet, oder noch präziser, ein Staupunkt an der Rohröffnung, genau an dem Punkt wo der Totaldruck gemessen wird

4.1.1. Theorie der Pitotsonde

Eine Pitotsonde ist ein, normalerweise in L-Form, gebogenes Rohr. Ein Ende ist offen und ist direkt zur Strömung ausgerichtet. Wenn das Rohr der Strömung ausgesetzt wird, wird das Gas in das geöffnete Ende strömen und das Rohr schnell ausfüllen. Da das andere Ende geschlossen ist, kann dort kein Gas herauskommen. Das bedeutet, das sich seine Geschwindigkeit in dem ganzen Rohr bis auf Null verringert, d.h. das Gas steht überall im Rohr, auch in der Rohröffnung, die zum Staupunkt wird. Hier wird der Totaldruck gemessen. Wenn die freie Strömung Überschallgeschwindigkeit hat und die Pitotsonde ein Strömungshindernis darstellt, ergibt sich vor dem Rohr eine Stoßwelle. Der gemessene Druck am Ende des Rohr ist der Totaldruck hinter dem senkrechten Stoß, d.h. der Pitotdruck, im Gegensatz zum in einer Unterschallströmung gemessenen Totaldruck. Das heißt, dass man um den Totaldruckwert zu bestimmen, die Gleichungen die das Strömungsfeld vor und nach der Stoßwelle beschreiben, betrachten muss.

4.1.2. Strömung über einen senkrechten Stoß

In jeder Überschallströmung können Stoßwellen auftreten. Eine Stoßwelle ist eine sehr dünne Region, über die sich die Strömungseigenschaften drastisch ändern. Im Allgemeinen liegt die Stoßwelle schräg zur Strömungsrichtung, hier soll jedoch nur der Fall der senkrechten Stoßwelle untersucht werden. Da die Stoßwelle ein extrem schneller Kompressionsprozess ist, verändert sich der Druck in ihr diskontinuierlich. Druck, Temperatur, Dichte und Entropie

erhöhen sich durch die Stoßwelle, während der Totaldruck, die Geschwindigkeit und die Machzahl abnehmen (hinter dem senkrechten Stoß hat die Strömung immer Unterschallgeschwindigkeit), und die Total-Enthalpie ist konstant. Diese Änderungen folgen den adiabaten Strömungsgesetzen, da es über den Stoß keinen Wärmeaustausch in der Strömung gibt. Wenn man mit 1 die Bedingungen vor der Stoßwelle und mit 2 diese nach der Stoßwelle bezeichnet, folgt:

(

1

)

1 2 1 2 1 1 2 _{⋅ −} + ⋅ + = M p p γ γ (4.1)

(

)

[

]

(

)

2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 M M v v ⋅ − + ⋅ + = = γ γ ρ ρ (4.2)

(

)

(

)

[

(

)

]

(

)

2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 M M M h h T T ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅       − ⋅ + ⋅ + = = γ γ γ γ (4.3)

wobei γ das Verhältnis der spezifischen Wärmekapazitäten bei konstantem Druck bzw.

Volumen ist. Die Veränderungen über der Stoßwelle sind nur eine Funktion von γ und von der Machzahl vor dem Stoß. Um die Machzahl nach dem Stoß zu errechnen gilt:

(

)

(

)

2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 2 ₋ − ⋅ ⋅ − + = _γ γ γ M M M (4.4)

Da für ein kalorisch perfektes Gas

RT

a= γ (4.5)

ist,

und für eine stationäre, adiabate und reibungsfreie Strömung die Energie-Gleichung

2 2 2 2 2 2 1 1 v T c v T c_p⋅ + = _p⋅ + (4.6)

gilt, kann man aus der Gleichung:

0 2 2 c T v T c_p⋅ + = _p⋅ (4.7)

(

)

2 0 2 1 1 M T T ⋅ − + = γ (4.8)

(

)

₂ ( 1) 0 2 1 1 _ −   − _⋅ + = γ γ γ M p p (4.9)

(

)

( 1) 1 2 0 2 1 1 _ −   − _⋅ + = γ γ ρ ρ M (4.10)

Substitution von M2 in (4.9) und Multiplikation des Verhältnisses p0/p2 mit (4.1) ergibt:

(

)

(

)

( )       + ⋅ + − ⋅       − ⋅ − ⋅ ⋅ + = − 1 2 1 1 2 4 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 0 γ γ γ γ γ γ γ γ M M M p p (4.11)

Das ist die Rayleigh- Pitot Formel.

Auf diese Weile kann man das Verhältnis des Pitotdrucks zum statischen Druck nur als Funktion von γ und der Machzahl vor dem Stoß ausdrücken. Das Gleiche gilt für die anderen Zustände.

4.2. Stationäre Wärmeflussdichtemessung

Eine Wärmeflussdichtemessung ist stationär wenn, nach einer gewissen Einstellzeit, die gemessenen Parameter einen konstanten Wert erreichen und sich auch bei beliebig langer Verweilzeit der Wärmeflusssonde im Plasma nicht mehr ändern. Das ist selbstverständlich nur so wenn die äußeren Bedingungen sich nicht ändern. Es gibt zwei Methoden um q zu messen, die dieses Kriterium erfüllen:

- Die Bestimmung der Temperaturerhöhung eines mit einem definierten Massenstrom fließenden Kühlmediums.

- Die Ermittlung des Temperaturgradienten über eine kreisförmigen Folie, die am Rand mit einer auf konstanter Temperatur gehaltenen Wärmesenke verbunden ist.

Im Rahmen dieser Arbeit ist eine Sonde benutzt worden, die sich auf die zweite Methode stützt.

Eine Wärmeflussdichtesonde dieses Prinzips ist, wie vorhergehend in Kapitel 3.6 beschrieben, ein Gardon Gage, und es sieht wie in Bild 4.1 aus.

Bild 4.1. Aufbau des Gardon Gage

4.2.1. Bestimmung der Wärmeflussdichte aus dem Temperaturgradienten

Für die zeitliche Temperaturänderung des Folienelements δr ergibt sich unter der Annahme dass über der Dicke der Folie kein Temperaturgradient vorhanden ist die Beziehung:

(

)

_      + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ r r T r T s r r r T s r q r r t T c s r r δ δ δ δ δ λ δ π δ δ λ π δ π δ δ δ π 2 2 2 2₂ 2  (4.12)

wo, mit Bezug auf Bild 4.2, die charakteristischen Größen sind:

s = die Dicke der Konstantanfolie

λ = die Wärmeleitfähigkeit des Folienmaterials

c = die spezifische Wärmekapazität des Folienmaterials

T = die Temperatur der Folie am Radius r zur Zeit t

Bild 4.2. Geometrische Beziehungen

Im stationären Fall wird =0 t T

δ δ

Als Lösung dieser Differentialgleichung ergibt sich: s r R q T T_{stat stat} 0 2 2 4 2 1 λ α ₌ −       +  (4.14)

gemäß der Beziehung:

(

)

(

0

)

0 1+ T−T =λ α

λ (4.15)

die die lineare Abhängigkeit der Wärmeleitfähigkeit von der Temperatur berücksichtig.

Damit erhält man für die Temperaturdifferenz ∆ zwischen Mittelpunkt und Rand der Folie T den Ausdruck: s R q T T 0 2 4 2 1 λ α  =       _{+ ∆} ∆ (4.16)

Mit den Werten für λ₀und α für Konstantan ergibt sich:

] / [ ) 00115 . 0 1 ( 25 . 2026 1 2 2 T T W m R s q= ∆ + ∆ (4.17)

Wie man erkennt, ist die Temperaturdifferenz nichtlinear abhängig vom Wärmefluss.

Dieser Nachteil wird jedoch durch folgenden Umstand ausgeglichen: Man kann an den beiden Kontaktstellen zwischen denen die oben berechnete Temperaturdifferenz besteht, eine Thermospannung abgreifen, die für eine Kupfer-Konstantan-Kombination ist:

] [ 10 7 . 28 10 444 . 0 0381 . 0 _T 4 _T2 9 _T3 _mV E= ∆ + ⋅ − ∆ − ⋅ − ∆ _(4.18)

und, unter Vernachlässigung des letzten Gliedes wird: ] [ ) 00117 . 0 1 ( 0381 . 0 T T mV E= ∆ + ∆

Da die Klammerausdrücke in Gl. (4.17) Und Gl. (4.19) praktisch identisch sind, wird die gemessene Thermospannung direkt proportional zu q :

q s R

E=77.2 2  (4.19)

Die Annahmen, die getroffen wurden, sind in der Realität allerdings nicht vollständig erfüllt. Deshalb muss man ein Gardon Gage in aller Regel kalibrieren.

4.3. Die Plasmageschwindigkeit und die Ionentemperatur

Die Bestimmung der Ladungsträgergeschwindigkeit kann mit zwei unterschiedlichen Sondenmethoden durchgeführt werden, mit der elektrostatische Flugzeitsonde und mit gekreuzten elektrostatischen Einzelsonden. Die Letzteren eignen sich ferner bei bekannter Driftgeschwindigkeit vi der Ionen zur Bestimmung der Ionentemperatur Ti.

Eine einfache Methode zur Bestimmung der Geschwindigkeit ist die Flugzeitmessung von natürlichen Ladungsträgerfluktuationen im Plasma. Eine Flugzeitsonde wie die im Kapitel 2 beschriebene ist dafür benutzt worden. An beiden Doppelsonden, die in einem definierten Abstand hintereinander angeordnet sind, wird eine Potentialdifferenz angelegt, die einen Betrieb im Sättigungsbereich des Ionenstroms gewährleistet. Schwankungen in der lokalen Ladungsträgerkonzentration an einer Sonde sind als Schwankungen im gemessenen Ionenstrom nachweisbar. Bewegt sich eine solche Fluktuation der Ionenstromdichte mit der Plasmaströmung fort, so ist sie zuerst an der vorderen und, entsprechend der Strömungsgeschwindigkeit mit einer entsprechenden Zeitverzögerung an der hinteren Sonde nachweisbar. Die Zeitverzögerung lässt sich aus einer Kreuzkorrelation der beiden Ionenstromverläufe bestimmen. Mit dem bekannten Abstand der beiden Doppelsonden kann dann die mittlere Geschwindigkeit des Plasmas berechnet werden.

Die Geschwindigkeitsmessung mit gekreuzten elektrostatischen Sonden basiert auf der Abhängigkeit des Ionenstroms von Anströmwinkel und von der Anströmgeschwindigkeit der Sonde, beschrieben durch Gleichung (4.20) [15] :

(

)

∑

∞ = + Γ ⋅                                   − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = 0 2 3 2 2 2 ! sin sin exp 2 2 n n n th i th i e i e i n n v v v v A e n m kT I ϑ ϑ π π (4.20)

wobei vi die Ionendriftgeschwindigkeit im Plasma, ist vm die wahrscheinlichste oder häufigste thermische Geschwindigkeit der Ionen, ϑ der Winkel zwischen Geschwindigkeitsvektor vi

und Sondenlängsachse und Γ steht für die Gammafunktion [15] .

Für eine zur Plasmaströmung senkrecht ausgerichtete Einzelsonde folgt:

(

)

∑

∞ = ⊥ ⋅Γ +                                   − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = 0 2 3 2 2 ! exp 2 2 n n th th e i e i n n v v v v A e n m kT I π π (4.21)

Der Ionenstrom zu einer parallel mit der Plasmaströmung ausgerichteten Einzelsonde wird durch i e e i m kT A e n I π 2 ⋅ ⋅ ⋅ = ΙΙ (4.22) beschrieben.

(

)

∑

∞ = ΙΙ ⊥ _{⋅Γ +}                                   − = 0 2 3 2 2 ! exp 2 n n th i th i i i _n n v v v v I I π (4.23)

und ist nur noch vom Geschwindigkeitsverhältnis vi/vm abhängig. Da Gleichung (4.23) transzendent ist, kann sie nur iterativ gelöst werden.

Die wahrscheinlichste Geschwindigkeit vm der Ionen ist gegeben durch

i i th m kT V = 2 (4.24)

Kann man vm berechnen, so ergibt sich aus dem gemessenen Ionenstromverhältnis (4.23) und dem Wert des Geschwindigkeitsverhältnis es vi/vm, die Driftgeschwindigkeit vi der Ionen. Diese Methode erfordert aber die Kenntnis der Ionentemperatur Ti oder des Verhältnises der Elektronen- und Ionentemperatur Te/Ti.

Mit der Flugzeitsonde wird in diesem Fall die Ionendriftgeschwindigkeit v bestimmt. Kennt man die Driftgeschwindigkeit vi der Ionen, so ergibt sich aus dem mit gekreuzten Einzelsonden gemessenen Ionenstromverhältnis und dem zugeordneten Wert des Geschwindigkeitsverhältnisses vi/vm die wahrscheinlichste Geschwindigkeit vm der Ionen und damit die Ionentemperatur Ti nach Gleichung (4.24) .

Diese Methode ist jedoch fehlerbehaftet. Ein Grund ist die Annahme dass die beider der Plasmaströmung ausgesetzten Sondenelektroden die gleiche Oberfläche haben. Nur unter dieser Annahme ist die Gleichung (4.23) gültig. In Wirklichkeit wurde bei Untersuchungen in Sauerstoffplasmen eine stärkere Erosion der senkrechten Elektrode beobachtet, so dass sich das Flächenverhältnis zwischen den zwei Elektroden ändert [15]. Die relativen Messfehler betragen deshalb bei dieser Meßmethode in Sauerstoffplasma in der Regel mehr als 20 %. In Wasserstoffplasma jedoch sollte keine starke Erosion auftreten. Tatsächlich wurde die Sonde nach dem Versuch untersucht und keine sichtbare Erosion festgestellt.