Metodo di integrazione Appendice C

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Appendice C – Metodo di integrazione

111

Appendice C

Metodo di integrazione

Nei metodi di Ruge-Kutta la soluzione in ti+₁è calcolata come combinazione lineare

della f valutata in un certo numero di punti interni all’intervallo di integrazione

[

ti,ti+1

]

. Si consideri la forma integrale della (5.5) particolarizzata ad un intervallo di

integrazione:

(

)

( )

∫

[

]

+ + = + 1 ) ( , 1 i i t t i i xt f x d t x τ τ τ (c.1)

Se si approssima l’integrale come prodotto della lunghezza dell’intervallo di integrazione per il valore che la funzione assume al centro dell’intervallo astesso si ha:

(

)

( )

_            + + + ≈ + 2 , 2 1 h t x h t hf t x t x _i _i _i _i (c.2)

La (c.2) non è direttamente utilizzabile dato che la quantità       + 2 h t x _i è ignota.

Approssimando tale quantità con la formula di Eulero:

(

_i _i

)

i i f t x h x h t x , 2 2≈ +     +

si ha che la soluzione della (c.1) può essere calcolata come:

2 1 x hk

(2)

Appendice C – Metodo di integrazione 112

(

)

      + + = = 2 , 2 , 1 2 1 k h x h t f k x t f k _n _n _n _n

Nella loro formulazione più generale i metodi di Runge-Kutta sono descritti da un insieme di equazioni del tipo:

(

)

(

)

(

)

                       + + = = = ∆ ∆ + =

∑

− = = + 1 1 1 1 1 , , , , , , , , q j i qj i q i q i i m i qk i i i i i i k b h x ha t f k x t f k c f h x t f h x t h x x q

dove l’indice m rappresenta l’ordine del metodo ed indica il numero di valutazioni della funzione f necessarie ad ogni passo, mentre i parametri cq, aq, e bjq ne

specificano il tipo, e sono scelti in modo da avere una precisione desiderata, cioè imponendo x

(

t_i₊₁

)

−x

( )

t_i =O

( )

hp . Esiste, comunque il legame descritto nella Tabella C.1 fra l’ordine del metodo e il massimo grado di accuratezza possibile.

m 1 2 3 4 5 6 ≥7

p 1 2 3 4 4 5 6