Appendice G Equazioni del modello energetico rielaborato
Appendice G Equazioni del modello energetico
rielaborato
In questa appendice vengono riportati tutti i passaggi analitici che permettono di ottenere le equazioni e le relazioni utilizzate nella riformulazione del modello eseguita nel capitolo 4, nonché alcuni commenti di supporto.
G.1 Frenata non stazionaria su tamburo rotante con coppia
aggiuntiva applicata al tamburo
Il sistema analizzato è quello di figura G.1, identico a quello analizzato nel paragrafo 2.5. Al fine di non rendere ripetitiva l’analisi, si riportano di seguito i risultati fondamentali raggiunti nel paragrafo A.5, almeno fino alla scomposizione della forza longitudinale nelle sue componenti. D
T
F
N
V
x hF
N
T
w DR
D wAppendice G Equazioni del modello energetico rielaborato Equazioni del moto
− − − = − − = ω D D D D w w w R T R x N F V m T Nx Fh I & & (G.1.1) con 2 D D D R I m = , V=RDωD e TD =FDRD.
Le equazioni (G.1.1) possono essere manipolate e riscritte in una forma tale da poterle utilizzare per calcolare forza e braccio dalle misure sperimentali. Moltiplicando la seconda delle (G.1.1) per RD e sottraendo la seconda dalla prima si ottiene:
(
)
+ + ω + + − = D D w w w D D D R h 1 R T I R T V m F & & (G.1.2)Moltiplicandola ora per h e sommandola seconda alla prima si ottiene invece:
(
)
+ + ω − + − = D w w w D D D R h 1 N T I R T V m h x & & (G.1.3) Energia dissipata(
I T)
0 V R T V m P w w w w D D D + ω + ω = + + & & (G.1.4) Relazioni cinematicheAppendice G Equazioni del modello energetico rielaborato da esse derivate: ω = V R b e (G.1.5) b e e e e x R R 1 V R 1 V R V s = −ω = −ω = − (G.1.6) e roll R 1 V = ω (G.1.7) V R V dt dRe e ∂ ∂ = & (G.1.8)
(
)
(
)
− + ε − = x x x b e b e s 1 s V V s 1 R dt dR & & (G.1.9)( )
x e b e s R V 1 R V & & & = −ε − ω (G.1.10)Inoltre anche in questo caso il gruppo
(
Iwω&w +Tw)
può essere scritto come:( )
D w(
f)
b e 2 D w w w m V T 1 u R R 1 T I ω& + =ς −ε & + + (G.1.11)in cui ζ e uf sono definiti come da (G.1.12) e da (G.1.13):
2 D D w R m I = ς (G.1.12) V I − =
Appendice G Equazioni del modello energetico rielaborato Utilizzando poi la (G.1.14):
(
)
b e D R R 1−ε ς = η (G.1.14)la (G.1.11) può essere riscritta come:
(
f)
w D D w w w T R m V T 1 u I ω& + =η & + + (G.1.15)Riformulazione dell’equazione dell’energia
Sostituendo la (G.1.15) nelle equazioni (G.1.2) (G.1.3) e (G.1.4) si ottiene:
(
)
(
)
(
)
(
)
− + − η + − = + − + − η + − = + − + + η − − = D D f b e w D b e D D D D f w D D D D D D f w D R T u 1 R T V m R R 1 V P R h 1 N h R T h h u 1 T h V m h R 1 x R h 1 R T R u 1 T V m 1 F & & & (G.1.16)Eliminando ora mDV& tra la prima e la terza delle (G.1.16) e rielaborando l’equazione si ottiene:
(
)
(
)
(
)
(
)
D D b e D w D f b e D b e D D T R 1 R R 1 T R 1 u 1 R R 1 F 1 R R 1 R h 1 V P η − + η + η − + + − η − η + + = (G.1.17)A questo punto si può scomporre la forza longitudinale F in due componenti una, Froll, responsabile della dissipazione dell’energia,,,e l’altra, Fx, responsabile assieme al
Appendice G Equazioni del modello energetico rielaborato contributo dovuto al momento applicato al tamburo dell’equilibrio del momento frenante. In questo modo l’equazione (G.1.17) può essere riscritta come segue:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
D D b e D w D f b e D x b e D D roll b e D D T R 1 R R 1 T R 1 u 1 R R 1 F 1 R R 1 R h 1 F 1 R R 1 R h 1 V P η − + η + η − + + − η − η + + + η − η + + = (G.1.18)Applicando la scomposizione si ottengono le espressioni della Froll,e Fx.
(
)
+ η + η − = D eb D roll R h 1 R R 1 1 V P F (G.1.19)(
f)
w D D D eb eb D D eb x F R T 1 u R R 1 R R 1 R h 1 R F + η = + + η + + ⋅ (G.1.20)(
)
+ η + + + + + η + + η − = D eb D D eb f eb w D eb D D eb eb D x R h 1 R R 1 R R 1 u 1 R T R h 1 R R 1 R R 1 R T F (G.1.21)La componente Fx è dunque ottenuta come somma di due contributi, uno dovuto alla presenza del momento applicato sul tamburo, e uno dovuto al momento frenante. Il termine dipendente dal momento frenante, può essere definito come segue:
(
)
+ η + + + = D eb D D eb f eb w b R h 1 R R 1 R R 1 u 1 R T F (G.1.22)Appendice G Equazioni del modello energetico rielaborato La differenza con il modello QSTM_08 è relativa al contributo del momento applicato sul tamburo, infatti prima veniva considerato come dissipante e dunque responsabile assieme alla forza Froll della potenza dissipata ora va ad aggiungersi alla forza F per b equilibrare il momento frenante.
Determinazione del braccio
Si procede ora al calcolo della x a partire dalla seconda delle equazioni (G.1.1) moltiplicando ambo i membri per h e sostituendo il valore ottenuto per Fh dalla seconda di queste, ossia :
(
)
F h R h 1 Nx T I h V m D D w w w D − + − + ω − = & &(
)
F h R h 1 Nx u 1 T R V m h V m D D f w D D D − + − + − η − = ⇒ & &(
)
(
(
) (
)
) (
)
(
)
F h R h 1 Nx u 1 T R h 1 F 1 u 1 R T 1 R h 1 F D D f w D D f D w D − + − + − = η + η − − η − + + η − + − ⇒(
) (
)
(
(
) (
)
) ( )(
h R)
T(
1 u)
F h 1 F R h 1 u 1 R T R h 1 R h 1 F R h 1 Nx D w f D D D f D w D D D − + − η + η − + η + η − + − η + η − + = + ⇒(
) (
)
(
) (
(
)
)
(
)
− η − η + + + η − η + + − η + η − + = + ⇒ h 1 R h F 1 1 R R h u 1 T R h 1 R h 1 F R h 1 Nx D D D D f w D D D(
) (
)
(
)
(
)
(
)
η − η + − η + + η − η − + η + + − η + η − + = + ⇒ 1 h h R h F 1 R R R R h u 1 T R h 1 R h 1 F R h 1 Nx D D D D D D f w D D DAppendice G Equazioni del modello energetico rielaborato
(
)
(
)
(
)
(
)
+ η − + η + + η − + + − η − η + = ⇒ D D D D D D f w D R h 1 1 h R 1 h N F R h 1 1 R h R 1 h u 1 N T 1 h R 1 h N F x ricavando Tw dalla (G.1.21):(
)
(
)
+ + + η + + + η + + = D eb f eb D eb D D eb f eb D D eb x w R R 1 u 1 R R 1 R F R R 1 u 1 R R 1 R h 1 R F T e sostituendo:(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
+ η − + η + + + η − + + η − + + + η − + η + + − η − η + + η − η + = ⇒ D D D D eb D D D eb D eb D D eb D D D eb D D eb x D x D roll R h 1 1 h R 1 h N F R R 1 R h 1 1 R h R 1 R R 1 h R N F R R 1 R h 1 1 R h R 1 R R 1 R h 1 h R N F 1 h R 1 h N F 1 h R 1 h N F x(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
+ + η − + + − + η − + η − + + η − + η + + − η − η + + η − η + = ⇒ D eb D D D eb D eb D D D D eb D D D eb D D eb D x D roll R R 1 R h 1 1 R h R 1 R R 1 R R h 1 1 h R 1 h N F R R 1 R h 1 1 R h R 1 R R 1 R h 1 R 1 h R 1 h N F 1 h R 1 h N F xAppendice G Equazioni del modello energetico rielaborato
(
)
(
)
(
) (
)
η − − η − η − + η − + η + − + η + + η − η + = ⇒ 1 h R 1 h R h N F R R 1 1 R h R 1 R R 1 R R R 1 h R 1 R h N F 1 h R 1 h N F x D D D D eb D D eb D eb D eb D D x D roll(
)
(
)(
(
) (
)
)(
)
(
) (
)
η − − η − η − + η − + η + − + η + + η − η + = ⇒ 1 h R 1 h R h N F R R 1 1 R R h R R R R R h N F 1 h R 1 h N F x D D D D eb D D D eb eb D D x D roll(
)
(
)
+ η − η − η − − − η + η + + + η − η + = ⇒ D eb D D 2 D D eb eb eb D D 2 eb D x D roll R R 1 1 R R h R R R hR R R R hR hR N F 1 h R 1 h N F x(
)
(
)
+ η − η − − η + + η − η + = ⇒ D eb D D D eb eb D D x D roll R R 1 1 R h R R R R R hR N F 1 h R 1 h N F x(
)
(
(
)
)
(
)
+ η − − η − − + η − η + = ⇒ D eb D eb D eb D x D roll R R 1 1 R R h R R h R N F 1 h R 1 h N F x(
)
+ − + η − η + = D eb eb x D roll R R 1 h R 1 h N F 1 h R 1 h N F x (G.1.23)Appendice G Equazioni del modello energetico rielaborato Equazioni del moto nelle variabili indipendenti V e sx
Le equazioni del moto (G.1.1) sono in funzione delle variabili indipendenti V e ωw ma è possibile riscriverle in funzione delle variabili indipendenti V e sx. Attraverso la (G.1.19) e
la:
( )
x e b e s R V 1 R V & & & = −ε − ω (G.1.10) e ricordando che: x roll F F F= + (G.1.23)( )
[
]
(
)
x b e D s , V R R V 1−ε ς = η (G.1.24)le equazioni del moto possono essere riscritte come segue:
− − − = − − = ω D D D D w w w R T R x N F V m T Nx Fh I & & (G.1.1) Equazione (G.1.1 I)
(
)
(
)
+ = − − − = − − = − ε − ⇒ + = − − − = − ε − = ω − − = ω x roll D D D D D D w x e b e w x roll D D D D D D x e b e w w w F F F R m T R m x N m F V T Nx Fh s R V 1 R V I F F F R m T R m x N m F V s R V 1 R V T Nx Fh I & & & & & & & &Appendice G Equazioni del modello energetico rielaborato
(
)
+ = − − = − ε − − − − ⇒ x roll w x e w b e D D D D D D w F F F T Nx Fh s R V I 1 R R m T R m x N m F I &(
)
(
)
(
)
+ = ε − + ε − + ε − + − − = − ⇒ x roll D b e D D w b e D D w b e D w w x e w F F F T R R m 1 I Nx R R m 1 I F R m 1 I T Nx Fh s R V I &( )
( )
( )
+ = ε − − + −ε − + −ε + − = ⇒ x roll D b e D D w w b e D D w b e D w x e w F F F T R R m 1 I T Nx R R m 1 I 1 Fh hR m 1 I 1 s R V I &moltiplicando e dividendo per R i termini 2D
( )
b e D D w R R m 1 I −ε al secondo membro:
(
)
(
)
(
)
+ = ε − − + −ε − + −ε + − = ⇒ x roll D b e D 2 D D 2 D w w b e D 2 D D 2 D w b e 2 D D 2 D w x e w F F F T R R R m R 1 I T Nx R R R m R 1 I 1 Fh hR R m R 1 I 1 s R V I &( )
( )
( )
+ = ε − ς − + ς −ε − + ς −ε + − = ⇒ x roll D b e D 2 D w b e D 2 D b e 2 D x e w F F F T R R R 1 T Nx R R R 1 1 Fh hR R 1 1 s R V I &(
)
(
)
+ = + − + η − η + = η − + η − + η + − = ⇒ x roll D eb eb x D roll D w D x e w F F F R R 1 h R 1 h F 1 h R 1 h F Nx T T Nx 1 Fh h R 1 s R V I &Appendice G Equazioni del modello energetico rielaborato
(
)
D w x D b e b e roll D x D roll D x e w F T T R R 1 h 1 h R 1 h F h R 1 h F h R 1 h F h R 1 s R V I + −η + η − − + η + + η + − η + − = ⇒ &(
)
D w x D b e b e D x e w Fh T T R R 1 1 h R 1 h R 1 s R V I + −η + η − − + η + − = ⇒ &(
)
D w x D b e b e D b e D x e w Fh T T R R 1 1 h R 1 R R 1 h R 1 s R V I + −η + η − − + + η + − = ⇒ & D w x D b e b e b e D b e D D D b e x e w Fh T T R R 1 h R h R 1 R R h R h R R R 1 s R V I + −η + η + η − − + η − η − − − = ⇒ & D w x D b e b e D D b e x e w Fh T T R R 1 h R h R R R s R V I + −η + η + + η + − = ⇒ & D w x D b e D b e D x e w Fh T T R R 1 h R h R R h 1 s R V I + −η + η + + − = ⇒ & D w x e b e D D b e x e w F h T T R R R 1 R h 1 h R s R V I + −η + η + + − = &Appendice G Equazioni del modello energetico rielaborato ed infine: D w x D b e D b e D b e x e w F T T R R 1 R h 1 R R 1 R s R V I + −η + + η + − = & (G.1.25) Equazione (G.1.1 II)
(
)
+ = ⇒ + − + η − η + = − − − = b roll D eb eb x D roll D D D D F F F R R 1 h R 1 h F 1 h R 1 h F Nx R T R x N F V m &(
)
D D x D D b e b e roll D D b roll D R T F R R R 1 h h R 1 F R 1 h h R 1 F F V m − + − − η − η + − − − = ⇒ &(
)
D D D D b e b e x D D roll D R T R R R 1 h h R 1 1 F R 1 h h R 1 1 F V m − + − + − η − η + + − = ⇒ &(
)
(
)
(
)
D D D D b e b e b e D x D D D D roll D R T R R R 1 R h R R F R 1 R h R R F V m − + − + + − η − η + + η − − = ⇒ & ed infine:(
)
D D D x D b e D D roll D D R m T F R R 1 m R h 1 F 1 m R h 1 V − + + − η − + − = & (G.1.26)Appendice G Equazioni del modello energetico rielaborato In definitiva il sistema delle equazioni del moto nelle variabili indipendenti V e sx è dato
da:
(
)
− + + − η − + − = η − + + + η + − = D D x D b e D roll D D D w x D b e D b e D b e x e w R T F R R 1 R h 1 F 1 R h 1 V m T T F R R 1 R h 1 R R 1 R s R V I & &(
)
(
G.1.26)
25 . 1 . GSe il sistema si ipotizza in equilibrio con momento frenante nullo le equazioni (G.1.25) e (G.1.26) si riducono a:
(
)
= η η + + η − + η − + − + η + η + − = 0 F R R R R 1 R F 1 R R 1 R F R R 1 R R h 1 R R 1 F e x D b e b e D D roll D b e b e x D b e D D b e D e D(
)
(
G.1.26')
' 25 . 1 . G(
)
(
)
η − + η = η − + η + − = roll b e D b e D e x roll D b e D e D F 1 R R R 1 R F F 1 R h 1 R R 1 F (G.1.27)Appendice G Equazioni del modello energetico rielaborato
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
ε − − ε − = ε − − ε − + − = ⇒ ε − − ε − = ε − − ε − + − = roll b e D D w 2 b e D w e x roll b e D D w 2 b e D w e D roll b e D 2 D D w b e D b e D 2 D D w e x roll b e D 2 D D w b e D b e D 2 D D w e D F 1 R R m I 1 R 1 m I F F 1 R R m I 1 1 R m I 1 F F R R 1 R m I 1 R R R R 1 R m I F F R R 1 R m I 1 R R R R 1 R m I 1 F ed infine:( )
( )
ε − = ε − + − = roll 2 b e D w e x roll 2 b e D w e D F 1 R m I F F 1 R m I 1 F (G.1.28)Quindi, una volta nota la forza Froll è possibile conoscere, attraverso le (G.1.27) e (G.1.28) i valori assunti dalla
e D
F e
e x
F in condizioni di moto stazionario non frenato; è da notare come i valori assunti non siano molto discosti dal valore Froll.
Nel caso di moto stazionario frenato le forze risultano:
(
)
η + + + η + η − − + + − η − + − = η + + + η + η − = D w 0 x D b e D b e D D b e 0 x D b e D roll D D w 0 x D b e D b e D D b e 0 D R T F R R 1 R h 1 R R 1 R R F R R 1 R h 1 F 1 R h 1 0 R T F R R 1 R h 1 R R 1 R R FAppendice G Equazioni del modello energetico rielaborato
(
)
+ + η η + η − + η = η + + + η + η − = D b e D b e D D w roll b e D b e D 0 x D w 0 x D b e D b e D D b e 0 D R h 1 R R R 1 R R T F 1 R R R 1 R F R T F R R 1 R h 1 R R 1 R R F(
)
(
)
+ + η η + η − + η = η + + + η η + η − + η + + η + η − = D b e D b e D D w roll b e D b e D 0 x D w D b e D b e D D w roll b e D b e D D b e D b e D D b e 0 D R h 1 R R R 1 R R T F 1 R R R 1 R F R T R h 1 R R R 1 R R T F 1 R R R 1 R R R 1 R h 1 R R 1 R R F(
)
(
)
+ + η η + η − + η = η + η + η − η − + η + − = D b e D b e D D w roll b e D b e D 0 x b e D D w D w roll D b e D 0 D R h 1 R R R 1 R R T F 1 R R R 1 R F R R 1 R T R T F 1 R h 1 R R 1 F(
)
(
)
+ + + η − + η = + η − + η + − = b e w D D b e roll b e D b e D 0 x b e w roll D b e D 0 D R T R h 1 R R 1 F R 1 R R 1 R F R T F 1 R h 1 R R 1 F (G.1.29)Appendice G Equazioni del modello energetico rielaborato
( )
( )
+ ε − = + ε − + − = b e w roll 2 b e D w 0 x b e w roll 2 b e D w 0 D R T F 1 R m I F R T F 1 R m I 1 F (G.1.30)Equazioni del moto indipendenti da x
A questo punto le equazioni del moto nelle variabili indipendenti V e ωw possono essere
riscritte in funzione delle sole componenti Froll, Fx e T , sostituendo nelle (G.1.1) w l’equazione del braccio (G.1.23). Effettivamente la seconda delle (G.1.1) è già stata resa indipendente da x, come evidente nell’equazione (G.1.26). Manipolando la prima delle (G.1.1), si ottiene:
