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Capitolo 3 Analisi del problema dinamico

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Academic year: 2021

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Capitolo 3

Analisi del problema dinamico

3.1 Cenni sulla dinamica di strutture aeronautiche

Il campo della dinamica strutturale tratta il comportamento deformativo dinamico di una struttura continua. In generale, le relazioni fra i carichi e gli spostamenti non sono lineari e gli spostamenti non sono necessariamente piccoli.

Ci soffermiamo in questa tesi sulle problematiche relative ai sistemi elastici lineari soggetti a piccoli spostamenti che caratterizzano molti problemi riguardanti la dinamica di strutture aeronautiche.

La dinamica strutturale è un’ampia disciplina che studia questioni come la determinazione dei modi propri di vibrare che possiede una struttura e le relative frequenze proprie di tali modi. Ci sono vari metodi di studiare la dinamica strutturale di un componete e fra questi l’analisi modale è uno dei più gettonati se rimaniamo in campo elastico-lineare, piccoli spostamenti e piccole deformazioni.

I metodi sotto sviluppati sono simili a quelli adottati nello studio della dinamica strutturale di velivoli reali. Tuttavia, per mantenere una semplicità analitica del problema sono presentati i problemi di dinamica per modelli unidimensionali elastici lineari. Bisogna evidenziare che le proprietà di dinamica strutturale che emergono da questi problemi sono le stesse che stanno alla base della dinamica di velivoli “full-scale”.

Per più facilmente comprendere dal punto di vista matematico la dinamica strutturale di un solido elastico-lineare consideriamo il problema dell’asta vibrante [7]. Per asta si intende una trave soggetta solo a sforzo normale. Benché tale problema può essere descritto da un’equazione alle derivate parziali del secondo ordine, è tipicamente descrittivo di problemi di sistemi aeronautici lineari-elastici molto più complessi.

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L’equazione che definisce la dinamica dell’asta vibrante soggetta solo a sforzo nomale T è la seguente [7]:

Con v si intende lo spostamento trasversale dell’asta e con m la massa per unità di lunghezza. La precedente equazione d’onda (eq. 3.1), che governa il comportamento dinamico dell’asta vibrante, può essere trasformata da un’equazione alle derivate parziali con due variabili indipendenti (x,t) a due equazioni differenziali ordinarie nelle variabili rispettive x e t, facendo una separazione di variabili e ponendo:

Sostituiamo l’eq. 3.2 nell’equazione d’onda eq. 3.1 e otteniamo il seguente risultato:

La parte sinistra dell’equazione è funzione della sola variabile x e la parte destra della sola variabile t. Affinché l’equazione sia soddisfatta entrambi i lati dell’equazione devono essere uguali ad una sola costante che chiamiamo –α2.

Questo produce due equazioni differenziali ordinarie di secondo ordine, nelle rispettive variabili x e t, che riportiamo qui di seguito:

(eq.3.4)

Le soluzioni per questo tipo di equazioni sono note e le riportiamo qui di sotto [7]:

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Per arrivare alla soluzione bisogna imporre le condizioni al contorno ad entrambi i lati dell’asta. Imponiamo che lo spostamento trasversale v dell’asta sia uguale a zero ad entrambe le estremità dell’asta.

La prima equazione del set di equazioni (eq. 3.5) ci conduce alla seguente relazione:

Se A=0 otteniamo la soluzione banale che corrisponde a spostamento uguale a zero per tutti i punti della trave. Le soluzioni non banali del problema si ottengono quando A≠0.

L’equazione seguente è definita “equazione caratteristica” del moto dell’asta vibrante:

Le soluzioni dell’equazione caratteristica del moto (eq. 3.7) sono note come “autovalori ” αi

del problema dinamico, sono in numero infinito e assumono la seguente forma:

Ad ogni autovalore αi (i numero finito, numeri naturali) corrisponde una soluzione Xi del

problema agli auto-valori auto-vettori, che prende il nome di auto-vettore i-esimo relativo all’auto-valore i-esimo.

Arriviamo così alla scrittura delle seguente soluzione:

(eq.3.9)

Lo spostamento trasversale associato all’i-esimo auto-valore αi assume la seguente forma:

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La soluzione globale per lo spostamento trasversale dell’asta vibrante è data dalla relazione di seguito riportata:

Ad ogni istante t del moto lo spostamento trasversale v dell’asta vibrante è rappresentato da un numero infinito di modi di vibrare (mode shape), costanti nel tempo, così chiamati nel campo della dinamica strutturale. Ogni modo è rappresentato dal simbolo φ(x)i ed è definito

dalla seguente relazione:

Nella soluzione del problema dinamico (eq. 3.11) si nota che ogni modo φ(x)i è moltiplicato

per una funzione armonica del tempo che è chiamata, nella dinamica strutturale, “coordinata generalizzata” ξ(t)i associata modo di vibrare φ(x)i che l’asta possiede.

La “coordinata generalizzata” ξ(t)i per il problema in questione è espressa dalla seguente

relazione:

Dato che non ci sono carichi esterni applicati all’asta tale soluzione (eq. 3.13) può essere vista come soluzione del problema omogeneo. Lo smorzamento strutturale che qui non è stato considerato può essere visto come carico esterno. Infatti, la dipendenza dal tempo in presenza di smorzamento non sarà puramente armonica ma smorzata.

Lo spostamento trasversale v(x,t) dell’asta vibrante può essere espresso in termini di contributi “modali” come sotto espresso:

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La precedente espressione (eq. 3.14) può essere pensata come una somma pesata dei modi di vibrare della struttura φ(x)i ,ognuno dei quali ha un’ampiezza modale definita dalla relativa

“coordinata generalizzata” ξ(t)i che è funzione del tempo.

Per la soluzione omogenea sopra ottenuta (eq. 3.13) la dipendenza dal tempo è semplicemente armonica alla frequenza propria che è unica per ogni auto-valore αi e di conseguenza per ogni

modo di vibrare φ(x)i della struttura.

La frequenza propria di ogni modo o “frequenza modale” si indica con il simbolo ωi ed è

definita dalla relazione di seguito riportata:

Le frequenze crescono al crescere del modo proprio di vibrare che ha l’asta.

Consideriamo, ora, la relazione (eq. 3.12) che esprime il modo proprio di vibrare dell’asta. Riportiamo nel grafico seguente (fig. 3.1) i primi 3 modi propri cha l’asta vibrante ha [7].

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Si osserva che, più è alto il numero del modo di vibrare φ(x)i , più volte viene attraversato

l’asse x per 0<x<L. Ogni punto di attraversamento è chiamato “nodo”. Il trend dell’aumento del numero di nodi con l’aumento del modo di vibrare è , in generale, vero nella dinamica delle strutture.

L’unità della frequenza modale ωi è [rad/s] se le altre unità sono espresse nel SI. Se dividiamo

per 2π otteniamo il numero di cicli per secondo o “Hertz”o “hz”. L’inverso della frequenza naturale del modo ωi in “Hertz” è il periodo dell’oscillazione T [s].

Ricapitolando quanto è stato esposto, si può dire che lo spostamento trasversale dell’asta vibrante, funzione sia di x sia di t, può essere espresso come somma di “contributi modali”. La dinamica strutturale dell’asta vibrante può, dunque, essere descritta dal “modo di vibrare” φ(x)i e dalla “frequenza modale” ωi entrambe associate all’auto-valore αi, soluzione

dell’equazione caratteristica.

Tale metodologia può essere direttamente applicata per ogni carico conservativo applicato ad una struttura che ha un comportamento lineare elastico.

La restrizione sul fatto che il sistema deve essere conservativo va in crisi nel caso ci sia dissipazione o aggiunta di energia durante la risposta dinamica del sistema. Una tipica violazione di questa ipotesi si presenta quando si considera uno smorzamento puramente strutturale o derivante dall’interazione aerodinamica nelle equazioni del moto della struttura. Quando lo smorzamento si presenta , si tratta come carico esterno.

Bisogna notare che i contributi che i vari modi danno alla soluzione generale diventano sempre più piccoli mano a mano che il modo aumenta il suo indice.

Questa è una caratteristica propria della risposta dinamica di strutture di impiego aerospaziale. La soluzione può, così, essere ottenuta troncando la sommatoria ai primi termini, ad esempio ai prime cinque modi di vibrare della struttura.

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3.2 Tecniche di soluzione approssimata

Ci sono varie teorie che propongono soluzioni approssimate della dinamica strutturale di un sistema [7]. I due approcci che sono da evidenziare sono:

- Il metodo di Galrenkin - Elementi finiti

Tutti i metodi in generale conducono alla stessa soluzione che approssima bene la situazione reale di risposta dinamica della struttura.

Il metodo di Ritz [7] si rifà all’equazione di Lagrange espressa dalla relazione seguente:

= (i=1,2,...,n) (eq. 3.15)

Dove L≡K-P, con K si rappresenta l’energia cinetica totale del sistema e con P l’energia potenziale e con n il numero delle coordinate generalizzate considerate.

La forza generalizzata è utile per includere gli effetti di qualunque carico esterno o effetto dissipativo che non sia già stato considerato nell’energia potenziale del sistema.

Consideriamo il semplice problema di una trave soggetta a flessione pura. L’energia cinetica totale della trave Kbeam è espressa dalla relazione seguente, che tiene di conto anche degli

eventuali corpi esterni attaccati alla struttura;

(eq. 3.16)

L’energia potenziale P=U+V comprende l’energia di deformazione interna della trave (U), più un contributo addizionale di energia (V), legata alla gravità, a componenti elastiche di vincolo per la trave e a carchi statici applicati ad essa.

Tutti gli altri tipi di carico, come carichi legati all’aerodinamica, allo smorzamento strutturale, devono essere considerate nelle forze generalizzate .

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La variazione di energia interna della trave U è espressa dalla seguente relazione:

(eq. 3.17)

Il lavoro virtuale δW può essere legato alle forze generalizzate con la seguente relazione:

(eq. 3.18)

E l’espressione del lavoro virtuale è la seguente:

(eq. 3.19)

Per applicare il metodo di Ritz bisogna esprimere P,K e δW in termini di serie di funzioni. Per la trave soggetta al carico di flessione pura usiamo la relazione prima vista (eq.3.14) però troncando la serie ad un numero n finito di termini;

(i=1,2,...,n) (eq. 3.20)

Stiamo realizzando un passaggio da un modello continuo con infiniti gradi di libertà, identificati dagli infiniti modi di vibrare φ(x)i ad un modello discretizzato descritto da un

numero finito di gradi di libertà e di conseguenza da un numero finito di modi di vibrare φ(x)i.

Ipotizziamo che φ(x)i sia un set di funzioni p volte differenziabili, linearmente indipendenti

che soddisfano tutte le condizioni al contorno del problema considerato per quanto riguarda spostamenti e rotazioni.

Riscriviamo K,U e il lavoro virtuale δW in funzione dei modi propri di vibrare. Nel computo dell’energia potenziale totale deve essere inserito anche il termine V relativo a vincoli elastici a cui la trave è connessa.

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L’equazione del moto generale può essere scritta nella seguente forma:

Dove è un vettore colonna che racchiude le n coordinate generalizzate considerate per rappresentare la dinamica della struttura.

Il vettore colonna rappresenta il termine legato alle forze generalizzate che non dipendono dalla coordinata generalizzata .

La matrice di massa è rappresentata dal termine ed è simmetrica. La matrice dei termini giroscopici o di smorzamento è rappresentato dal termine e la matrice di rigidezza dal termine .

Il più importante contributo a deriva dall’energia cinetica del sistema. Il più importante contributo a deriva dall’energia di deformazione elastica interna alla trave e da ogni vincolo elastico che connette la trave. Sia l’energia cinetica del sistema, sia il lavoro virtuale prima espresso, in generale, contribuiscono a tutti e tre i termini in parentesi quadra. Lo smorzamento strutturale viene rappresentato nella matrice attraverso il lavoro virtuale. In fine dato che i carichi aerodinamici dipendono in generale dagli spostamento della struttura e dalla velocità di spostamento di essa, l’analisi aeroelastica della struttura fa si che i termini contenuti nelle varie matrici siano legati ai carichi aerodinamici applicati alla struttura.

Un importante teorema dimostra che le frequenze naturali ottenute con il metodo di Ritz sono sempre sovrastimate e di conseguenza i risultati sono conservativi.

Oltre al metodo di “Ritz” per la soluzione di problemi di dinamica strutturale possiamo trovare il metodo agli “elementi finiti”[7].Quest’ultimo rappresenta una delle maniere più usate nell’industria aeronautica di risolvere i problemi di dinamica strutturale e di aeroelasticità.

L’equazione risolutiva usata in quest’ultimo metodo ha la stessa forma dell’eq. 3.23 ma l’ordine n delle matrice è dell’ordine delle migliaia.

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