sotto l’azione di carichi orizzontali di tipo inerziale gradualmente crescenti. Analisi non lineare del Nuovo Mercato delle Vettovaglie di Livorno

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Capitolo 6

Analisi non lineare del Nuovo

Mercato delle Vettovaglie di

Livorno

sotto l’azione di carichi

orizzontali di tipo inerziale

gradualmente crescenti.

6.1 Introduzione.

Le strutture in muratura sono caratterizzate da una risposta non lineare dovuta principalmente al particolare legame costituivo che contraddistingue il materiale con il quale sono costruite. Al fine di poter determinare quale sia l’effettiva capacità resistente di una struttura, soprattutto nel caso in cui essa sia sottoposta a sollecitazioni di tipo incrementale che danno luogo a grandi spostamenti degli

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elementi resistenti, è necessario poter indagare il suo comportamento abbandonando l’ipotesi di comportamento esclusivamente lineare del materiale, ed utilizzare analisi più raffinate, come ad esempio analisi non lineari, che siano in grado di descrivere la risposta della struttura anche in fase post critica, cioè durante tutta la fase successiva al superamento del punto in cui il materiale subisce la prima plasticizzazione.

In questo capitolo è stata analizzata la risposta meccanica non lineare della struttura del Nuovo Mercato delle Vettovaglie di Livorno, nel caso in cui questa sia sottoposta ad una accelerazione incrementale orizzontale di tipo sismico, con l’obiettivo di riuscire a determinare il livello di accelerazione orizzontale massima sopportabile dalla struttura, compatibile con il criterio di crisi impostato per il materiale.

La risposta strutturale è stata valutata attraverso un procedimento di analisi numerica non lineare, con l’ausilio del software di calcolo commerciale agli elementi finiti Ansys® (Mechanical APDL).

Il procedimento di calcolo seguito per valutare la risposta della struttura è articolato nell’applicazione dei due seguenti casi di carico in successione:

- Caso 1 – Accelerazione gravitazionale g.

- Caso 2 – Accelerazione orizzontale gradualmente crescente.

Nella prima fase di carico è stata applicata l’accelerazione gravitazionale in maniera da caricare la struttura col suo peso proprio. Successivamente, mantenendo costante il valore dell’accelerazione gravitazionale g, è stata applicata una accelerazione orizzontale gradualmente crescente per piccoli step di carico.

La struttura è stata analizzata ripetendo questo procedimento sia per la direzione dell’asse x, coincidente con la dimensione maggiore dell’edificio, sia secondo la direzione dell’asse y, coincidente con la dimensione minore.

6.2 Il modello utilizzato nell’analisi.

Il modello scelto per l’analisi della struttura è quello che, sulla base dei risultati evidenziati nel capitolo 4, ha fornito il miglior compromesso tra:

- Tipo di elemento finito utilizzato,

- Dimensione caratteristica della maglia della mesh.

Per tale motivo è stato scelto di utilizzare il modello identificato nel capitolo 4 con la sigla SO65-100, cioè il modello che utilizza l’elemento finito Solid65 e possiede come dimensione caratteristica della maglia della mesh una lunghezza uguale a 100 centimetri.

Il motivo di tale scelta ha tenuto di conto dei due seguenti fattori: innanzitutto l’uso dell’elemento finito Solid65 è particolarmente indicato per modellare in maniera accurata il comportamento di molti materiali lapidei, ed inoltre esso

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consente di utilizzare come criterio di crisi del materiale quello di Drucker-Prager, disponibile tra i criteri di resistenza implementati nella libreria del software di analisi, il quale ben si presta a simulare il comportamento meccanico della muratura.

In secondo luogo, avere utilizzato come dimensione caratteristica della maglia della mesh la lunghezza di 1 metro ha permesso di ottenere un modello con un numero di gradi di libertà che garantisse allo stesso tempo sia una buona discretizzazione dei dettagli geometrici della struttura, sia un non eccessivo onere computazionale soprattutto in relazione alla quantità di memoria necessaria a sviluppare il calcolo.

6.2.1 Il criterio di crisi del materiale.

Il criterio di crisi adottato per descrivere il comportamento del materiale è il criterio di Drucker – Prager.

Tabella 6.1

Questo criterio descrive una superficie limite di rottura a forma di cono circolare retto, avente come asse la trisettrice dell’ottante negativo del sistema di riferimento. La definizione di tale superficie di rottura passa attraverso l’implementazione nel programma di analisi numerica di alcuni parametri specifici come la coesione, l’angolo di attrito interno e l’angolo di dilatanza del materiale utilizzato.

I primi due parametri, coesione e angolo di attrito interno del materiale, sono stati valutati sulla base dei risultati delle prove effettuate in situ con martinetti piatti semplici e doppi (Tabella 6.1 [8]).

Osservando i dati riportati nella tabella 6.1, è possibile notare che il valore medio della tensione massima di compressione, ottenuto nelle prove di compressione monoassiale in situ con martinetti piatti doppi paralleli è circa 2.5 MPa, ed è esattamente questo il valore utilizzato come limite della resistenza a compressione del materiale. Per quanto riguarda invece la resistenza a trazione, è

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stato scelto di considerare in maniera convenzionale il valore corrispondente ad un decimo della resistenza a compressione, 0.25 MPa, in quanto non abbiamo a disposizione dati valutati in maniera diretta.

Riportando sul piano di Mohr gli stati tensionali relativi ai due casi di compressione e trazione semplice, con i limiti prima indicati, otteniamo una retta limite caratterizzata da valori della coesione e dell’angolo di attrito del materiale rispettivamente uguali a 0.39 MPa e 55 gradi.

Fig. 6.1 Piano di Morh: rappresentazione degli stati tensionali di compressione semplice e trazione semplice.

Oltre all’angolo di attrito interno e alla coesione, l’ulteriore parametro richiesto dal programma di calcolo per definire in maniera completa il criterio di crisi di Drucker - Prager è l’angolo di dilatanza del materiale.

Tale angolo è necessario al software per stabilire se il flusso delle deformazioni plastiche sia considerato associato oppure no, e conseguentemente il vettore velocità di deformazione plastica sia orientato ortogonalmente alla frontiera del dominio limite. Nel caso in esame, avendo fatto l’ipotesi che il flusso delle deformazioni plastiche sia associato, la condizione imposta dal programma affinché ciò sia consentito è che angolo di attrito interno del materiale e angolo di dilatanza abbiano lo stesso valore. Per tale motivo anche l’angolo di dilatanza è stato impostato uguale a 55 gradi.

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Di seguito si espongono le espressioni necessarie a definire in maniera completa il criterio di crisi di Drucker – Prager. Per questo criterio di crisi, la tensione ideale è definita dalla seguente:

(44)1 Tensione idrostatica. Tensione deviatorica.

Matrice dei coefficienti

Costante del materiale. (45)

2

Angolo di attrito interno.

La tensione di snervamento è definita come:

(46)3

Il criterio di plasticizzazione risulta quindi:

(47)4

1

(Mechanical APDL Theory Reference, Classic Drucker-Prager Model eq. 4-95)

2

3

4

(6)

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Fig. 6.2 Dominio di resistenza di Drucker-Prager: angolo di attrito interno = 55°, coesione = 0.39 N/mm2.

Fig. 6.3 Sezione del dominio di resistenza con il piano S1 = 0; variazione della forma del dominio al variare dell’angolo di attrito interno del materiale.

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Fig. 6.4 Sezione del dominio di resistenza con il piano S1 = 0; variazione della forma del dominio al variare del valore della coesione.

Fig. 6.5 Dominio di resistenza di Drucker-Prager: sezione trasversale secondo il piano S1=S2. Angolo di apertura al vertice del cono = 93 gradi.

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6.2.2 Applicazione dei carichi sulla struttura.

Il valore dell’accelerazione orizzontale massima che causa la crisi del materiale è stato determinato applicando sulla struttura alcuni carichi di tipo incrementale, fino al momento in cui il criterio di crisi non risulta essere più soddisfatto. Le due fasi secondo le quali e stato applicato il carico incrementale sono articolate secondo l’ordine seguente:

La prima fase di carico è consistita nell’applicazione al modello del peso proprio, tramite un incremento graduale dell’accelerazione di gravità dal valore nullo al valore di 9.81 m/sec2.

La seconda fase di carico ha previsto invece l’applicazione di una accelerazione orizzontale gradualmente crescente, mantenendo al contempo costante, ed ancora uguale a 9,81 m/sec2, l’accelerazione gravitazionale dal valore zero fino al massimo sopportabile dalla struttura prima che si verifichi l’arresto dell’analisi. Durante l’analisi non lineare sono stati considerati incrementi di carico inerziale variabili tra un minimo di 0.1 m/sec2 e un massimo di 0.5 m/sec2. Questa operazione è stata fatta per accelerazioni orizzontali agenti sia in direzione X, che in direzione Y, coincidenti rispettivamente con le direzioni maggiore e minore degli assi principali dell’edificio.

6.3 Risultati ottenuti dalle analisi non lineari.

Vengono di seguito esposti i risultati ottenuti nelle analisi effettuate. La prima fase di carico è comune a tutti i modelli di seguito descritti. L’applicazione del peso proprio sulla struttura non provoca nessuna plasticizzazione di rilevante entità sul modello. Si notano soltanto delle piccole zone in corrispondenza di alcune delle masse concentrate di copertura che mettono in evidenza deformazioni plastiche di entità trascurabile (ordine di grandezza 10-6). Questo particolare fenomeno è causato dalla presenza di forze concentrate agenti sullo spigolo della parete del modello, che danno luogo a piccole instabilità numeriche.

Fig. 6.6 Plasticizzazioni in prossimità delle masse concentrate di copertura. accelerazione di gravità = 9.81 m/sec2, accelerazione orizzontale 0 m/sec2 (0.125G).

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161

6.3.1 Modello effettivo: accelerazione gradualmente crescente

secondo X.

Il caso in questione è relativo all’analisi del modello della struttura considerando come carichi agenti sia il peso proprio, sia una accelerazione orizzontale gradualmente crescente secondo la direzione dell’asse X.

Fig. 6.7 Deformata del modello SO65-100 nel caso di accelerazione crescente secondo l’asse X.

La risposta non lineare dell’edificio è messa in evidenza dalla curva di risposta riportata nella figura seguente, relativa al punto situato in corrispondenza del centro della sommità della parete corta del salone centrale (punto di controllo).

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Fig. 6.8 Curva accelerazione orizzontale - spostamento del punto relativa al punto di controllo. 0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 6,00 7,00 0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040 A cc el er azi on e or izzon tal e in d ir ezi on e X (m /sec 2)

Spostamento orizzontale secondo X (m)

0 1 2 3 4 5 6 7 0,00000 0,00010 0,00020 0,00030 0,00040 A cc e le ra zi on e or iz zon tt al e s e con do X (m /s e c 2)

0 1 2 3 4 5 6 7 0,00000 0,00020 0,00040 0,00060 0,00080 0,00100 0,00120 A cc e le ra zi one or iz zont al e s e condo X (m /s e c 2)

0 1 2 3 4 5 6 7 0,00000 0,00050 0,00100 0,00150 0,00200 A cc e le ra zi on e or iz zon ta le s e con do X (m /s e c 2)

Fig. 6.9 Curva accelerazione orizzontale - spostamento dei baricentri dei solai: a) piano terra, b) piano ammezzato, c) primo piano.

a)

b)

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163

6.3.1.1 Plasticizzazione degli elementi strutturali.

Di seguito si è voluto mettere in evidenza, attraverso l’uso delle mappe cromatiche, l’evolversi della plasticizzazione degli elementi resistenti del modello con l’incrementare progressivo dell’accelerazione orizzontale.

Fig. 6.10 Deformazioni plastiche: accelerazione di gravità = 9.81 m/sec2, accelerazione orizzontale 1.23 m/sec2 (0.125G).

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164

Fig. 6.11 Deformazioni plastiche: accelerazione di gravità = 9.81 m/sec2, accelerazione orizzontale 3.62 m/sec2 (0.0.369G).

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165

6.3.1.2 Andamento delle tensioni principali.

Fig. 6.13 Andamento della prima tensione principale.

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6.3.2 Modello effettivo: accelerazione gradualmente

crescente secondo Y.

La struttura è stata analizzata avendo considerato quali carichi agenti sia l’accelerazione di gravità ed in successione una accelerazione orizzontale gradualmente crescente secondo la direzione dell’asse Y. La deformata della struttura è riportata nella figura seguente.

Fig. 6.16 Deformata del modello SO65-100 nel caso di accelerazione crescente lungo l’asse Y.

Osservando la deformata della struttura, come nel caso di accelerazione orizzontale agente secondo l’asse X, salta immediatamente all’occhio che la parte che subisce le deformazioni maggiori è sempre quella relativa alle porzioni murarie del salone centrale del Mercato Coperto. Questa infatti è una porzione dell’edificio caratterizzata da ampie luci libere, grandi altezze e nessun tipo di irrigidimento tra le pareti, il che la rende fortemente deformabile.

(16)

168

Fig. 6.17 Curva accelerazione orizzontale - spostamento del punto di controllo.

Come è possibile notare dalle figure precedenti che rappresentano gli spostamenti secondo la direzione Y del baricentro dei solai della struttura, si accerta un andamento lineare della relazione accelerazione – spostamento

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 A cc e le razi o n e o ri zzo n tale in d ir e zi o n e Y (m /sec 2) Spostamento (m) 0 0,5 1 1,5 2 2,5 0,00000 0,00003 0,00006 0,00009 0,00012 0,00015 A cc e le ra zi on e or iz zon ta le s e con do Y (m /s e c 2)

Spostamento orizzontale secondo Y (m)

0 0,5 1 1,5 2 2,5 0,00000 0,00030 0,00060 0,00090 0,00120 A cc e le ra zi on e or iz zon ta le s e con do Y (m /s e c 2)

0 0,5 1 1,5 2 2,5 0,00000 0,00030 0,00060 0,00090 0,00120 0,00150 A cc e le ra zi on e or iz zon ta le s e con do Y (m /s e c 2)

a)

b)

(17)

169

orizzontale. Lo spostamento massimo del solaio del secondo piano è circa 1.3 mm.

6.3.2.1 Plasticizzazioni degli elementi strutturali.

Non appena l’accelerazione orizzontale raggiunge il valore di 0.58 m/sec2 , cioè 0.06G, iniziano a comparire le prime deformazioni plastiche interessanti sia le aperture maggiori della parete lunga del salone centrale, sia le zone di intersezione tra le murature, dove si hanno picchi di concentrazione di tensioni.

(18)

170

Fig. 6.20 Deformazioni plastiche: accelerazione di gravità = 9.81 m/sec2, accelerazione orizzontale 1.46m/sec2 (0.14).

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171

Fig. 6.21 Deformazioni plastiche: accelerazione di gravità = 9.81 m/sec2, accelerazione orizzontale 2.03 m/sec2 (0.206).

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6.3.2.2 Andamento delle tensioni principali.

Fig. 6.23 Andamento della seconda tensione principale.

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6.4 Analisi cicliche.

Al fine di poter valutare la capacita dissipativa della struttura, è stata fatta un’analisi non lineare nella quale il carico incrementale è stato applicato in maniera ciclica. Tale analisi, svolta sia per la direzione X, che per la direzione Y, ha fornito i grafici riportati nelle figure seguenti.

Fig. 6.25 Diagramma ciclico per accelerazione orizzontale-spostamento secondo la direzione X. Modello 3D.

Il grafico nella figura precedente è stato ottenuto applicando alla struttura cinque step di carico:

- Step 1: fase di carico (carico positivo), accelerazione linearmente crescente da 0 m/sec2 a 5 m/sec2.

- Step 2: fase di scarico, accelerazione linearmente decrescente da 5 m/sec2 a 0 m/sec2.

- Step 3: fase di ricarico (carico negativo), accelerazione linearmente crescente da 0 m/sec2 a 5 m/sec2.

- Step 5: fase di ricarico (carico positivo), accelerazione linearmente crescente da 0 m/sec2 a 5 m/sec2.

-6 -4 -2 0 2 4 6 -0,02 -0,01 0,00 0,01 0,02 0,03 A cc el er azi on e or izzon tal e seco n d o X (m /sec 2)

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Fig. 6.26 Diagramma ciclico per accelerazione orizzontale-spostamento secondo la direzione Y. Modello 3D.

Il grafico riportato nella figura precedente, relativo all’applicazione di un carico ciclico secondo la direzione dell’asse Y del modello, è stato ottenuto applicando alla struttura nove step di carico:

- Step 1: fase di carico (carico positivo), accelerazione linearmente crescente da 0 m/sec2 a 2 m/sec2.

- Step 8: fase di scarico, accelerazione linearmente decrescente da 2 m/sec2 a 0 m/sec2. -3 -2 -1 0 1 2 3 -0,04 -0,03 -0,02 -0,01 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 A cc e le razi o n e o ri zzo n tale sec o n d o Y (m /sec 2)

ciclo 1 ciclo 2

(23)

175

(24)

176

6.5 Il Modello semplificato.

Il modello analizzato in questa fase dell’analisi, di seguito indicato con la sigla

SO65-100S (la S finale identifica il modello Semplificato) è un modello

estremamente basilare della struttura del Nuovo Mercato delle Vettovaglie di Livorno, ottenuto modificando al massimo il modello SO65-100, il che ha consentito un tempo di pre-processing molto limitato.

Seguendo lo stesso tipo di approccio mostrato nel capitolo 4, nel quale sono stati messi a confronto i risultati delle analisi modali sia dei modelli effettivi che dei modelli semplificati della struttura, anche in questo caso è stato voluto vedere se l’utilizzo di un modello molto semplificato dal punto di vista geometrico potesse essere ugualmente in grado di cogliere le principali caratteristiche di risposta strutturale, nel caso in cui questo venga sottoposto allo stesso tipo di eccitazione consistente in una accelerazione incrementale orizzontale.

Il procedimento adottato per la definizione del modello è articolato nelle seguenti fasi:

- Definizione della geometria dell’edificio partendo dal modello dettagliato, dove le varie pareti contenenti porte e finestre sono state sostituite da pareti piene ed uniformi, aventi identico spessore e dimensioni delle pareti utilizzate nel modello effettivo.

- A causa del maggiore volume di materiale presente in queste pareti, è stato assegnato un nuovo valore di densità alla struttura in modo che la massa totale dell’edificio restasse invariata ed uguale a quella del modello effettivo. Nel modello effettivo il valore della massa utilizzato per l’analisi era di 1650 Kg/m3, mentre nel modello semplificato tale valore è stato ridotto a 1310 Kg/m3.

- L’aver considerato pareti senza aperture ha incrementato notevolmente la rigidezza della struttura. Per tale motivo è stato introdotto un nuovo valore del modulo elastico che avesse potuto tenere in conto di questo fenomeno. È stato perciò calcolato un valore del modulo elastico equivalente basato sul seguente procedimento: sia per il modello effettivo che per quello semplificato è stata effettuata una analisi modale, mantenendo costanti per entrambi i modelli sia le dimensioni geometriche della struttura, che il valore della densità e il modulo elastico, pari rispettivamente a 1650 Kg/m3 e 5000 MPa.

- Basandoci sul modo fondamentale di vibrazione di entrambi i modelli, è stato calcolato un modulo elastico equivalente moltiplicando il modulo elastico effettivo (5000 MPa) per il rapporto al quadrato della prima frequenza propria del modello effettivo e del modello semplificato. In questo modo è stato ottenuto un modulo elastico ridotto, pari a 3470 MPa).

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177

- Con i nuovi valori del modulo elastico e della densità è stato analizzato un secondo modello semplificato5.

Dalla analisi modale dei tre modelli, sono emersi i seguenti risultati relativi ai modi propri di vibrazione ( frequenze in Hertz):

- La Tabella 6.2) è relativa al modello SO65-100 con modulo di elasticità 5000 MPa e densità 1650 Kg/m3.

- La Tabella 6.3) è relativa al modello semplificato SO65-100S con modulo di elasticità 5000 MPa e densità 1650 Kg/m3.

- La Tabella 6.4) è relativa al modello semplificato SO65-100S con modulo di elasticità 3470 MPa e densità 1310 Kg/m3.

-

n° modo Freq. Tabella 6.2 Freq. Tabella 6.4 Differenza percentuale

1 1,502 1,554 0,033 2 1,844 1,784 0,033 3 2,701 2,62 0,031 4 3,468 3,244 0,069 5 3,478 3,291 0,057 6 3,602 3,419 0,054 7 4,669 4,501 0,037 Tabella 6.5

Dalla tabella 6.5, che mette a confronto i risultati relativi alle frequenze proprie di vibrazione del modello effettivo, e quelli relativi al modello semplificato con

5

a tale proposito si veda la procedura descritta nel cap. 4

(26)

178

valori di densità e modulo elastico modificati, si notano differenze percentuali tra le diverse frequenze attorno al valore medio del 5%.

(27)

179

6.5.1 Modello semplificato: accelerazione gradualmente

crescente secondo X.

L’analisi del modello semplificato evidenzia ad una prima osservazione, che la parte del modello interessata dalle maggiori deformazioni è ancora quella in corrispondenza della parete corta del salone centrale, dove si colloca, come nel caso del modello effettivo, il punto che subisce il maggiore spostamento orizzontale secondo la direzione parallela a quella di azione del carico.

Fig. 6.27 Deformata della struttura.

Dal grafico riportato nella figura seguente, che riporta la curva di risposta relativa al punto di controllo considerato, notiamo che questo subisce uno spostamento massimo pari a 5.5 cm, spostamento nettamente superiore al valore precedentemente relativo al modello effettivo; in quel caso infatti lo spostamento era di 3.84 cm.

Tale evidenza porta ad affermare che, nel caso dei due modelli, sottoposti entrambi alla stessa tipologia di carico gradualmente crescente, la risposta dell’edificio in termini di spostamenti differisce notevolmente nei due casi.

(28)

180

Fig. 6.28 Curva accelerazione orizzontale – spostamento del punto di controllo.

L’analisi delle curve relative sia al solaio del pian terreno, che ai solai del primo e del secondo piano, rivelano una relazione tra accelerazione orizzontale e spostamento del baricentro dei piani di tipo lineare.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 A cc e le razi o n e o ri zzo n tale sec o n d o X (m /sec 2)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 0,00000 0,00010 0,00020 0,00030 0,00040 0,00050 A cc e le ra zi one or iz zont al e s e condo X (m /s e c 2)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 0,0000 0,0003 0,0006 0,0009 0,0012 0,0015 A cc e le ra zi on e or iz zon ta le s e con do X (m /s e c 2)

c)

b)

a)

(29)

181

6.5.1.1 Plasticizzazioni delle parti della struttura.

(30)

182

(31)

183

Fig. 6.32 deformazioni plastiche: accelerazione di gravità = 9.81 m/sec2, accelerazione orizzontale 7.2 m/sec2 (0.73G).

(32)

184

(33)

185

6.5.1.2 Andamento delle tensioni principali.

(34)

186

6.5.2 Modello

Semplificato:

accelerazione

gradualmente crescente secondo Y.

In quest’ultima sezione riportiamo i risultati ottenuti nell’analisi del modello semplificato, sottoposto ad una accelerazione orizzontale gradualmente crescente nella direzione dell’asse Y.

Fig. 6.37 Deformata del modello in corrispondenza dell’ultimo step di carico. Nella figura precedente è riportata la deformata del modello SO65-100S in corrispondenza dell’ultimo step di carico. Sempre dalla stessa figura notiamo come le deformazioni maggiori si verificano, ancora una volta, in corrispondenza del salone centrale del Mercato Coperto. La parte inferiore dell’edificio al contrario, risultando molto irrigidita dalla presenza di setti murari molto ravvicinati, presenta valori di spostamento nettamente inferiori.

Il valore dello spostamento massimo subito dal punto di controllo è pari a 6.54 centimetri.

(35)

187

Fig. 6.38 Curva accelerazione orizzontale – spostamento relativa al punto di controllo.

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 A cc e le razi o n e o ri zzo n tale sec o n d o Y (m /sec 2)

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 0,00000 0,00005 0,00010 0,00015 0,00020 0,00025 0,00030 A cc e le ra zi on e or iz zon ta le s e con do Y (m /s e c 2)

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 0,0000 0,0005 0,0010 0,0015 0,0020 0,0025 A cc e le ra zi on e or iz zon ta le s e con do Y (m /s e c 2)

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 0,0000 0,0005 0,0010 0,0015 0,0020 0,0025 0,0030 0,0035 0,0040 A cc e le ra zi on e or iz zon ta le s e con do Y (m /s e c 2)

a)

b)

(36)

188

Di seguito sono riportate le mappe cromatiche relative alle varie fasi di plasticizzazione della struttura.

6.5.2.1 Plasticizzazione degli elementi strutturali.

(37)

189

(38)

190

6.5.2.2 Andamento delle tensioni principali.

(39)

191

6.6 Modello effettivo e modello semplificato:

Confronto tra i risultati delle analisi.

6.6.1 Accelerazione agente secondo la direzione

dell’asse X.

Nei punti che seguono sono riportati, e messi a confronto per una migliore esposizione, i risultati già messi in evidenza nei paragrafi precedenti.

a) b)

Fig. 6.45 Curva accelerazione orizzontale-spostamento relativa al punto di controllo. Modello con aperture (a) e modello modificato (b).

Fig. 6.46 Curve accelerazione orizzontale-spostamento relativa al punto di controllo.

(40)

192

La figura 6.48 mette direttamente a confronto, riportandole sullo stesso grafico, le curve accelerazione orizzontale-spostamento relative sia al modello effettivo (curva scura), che al modello semplificato (curva chiara).

Fig. 6.47 Curva accelerazione orizzontale-spostamento relativa al baricentro del solaio del piano terra. Confronto tra modello effettivo e modello semplificato.

Fig. 6.48 Curva accelerazione orizzontale-spostamento relativa al baricentro del solaio del primo piano. Confronto tra modello effettivo e modello semplificato.

Fig. 6.49 Curva accelerazione orizzontale-spostamento al baricentro del solaio del secondo piano. Confronto tra modello effettivo e modello semplificato. 0 1 2 3 4 5 6 7 0,00000 0,00010 0,00020 0,00030 0,00040 A cc e le ra zi on e or iz zon tt al e s e con do X (m /s e c 2)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 0,00000 0,00010 0,00020 0,00030 0,00040 0,00050 A cc e le ra zi one or iz zont al e s e condo X (m /s e c 2)

0 1 2 3 4 5 6 7 0,00000 0,00020 0,00040 0,00060 0,00080 0,00100 0,00120 A cc e le ra zi one or iz zont al e s e condo X (m /s e c 2)

0 1 2 3 4 5 6 7 0,00000 0,00050 0,00100 0,00150 0,00200 A cc e le ra zi on e or iz zon ta le s e con do X (m /s e c 2)

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193

Osservando i grafici nelle figure precedenti, è possibile osservare i seguenti aspetti:

- Lo spostamento massimo del punto di controllo del modello semplificato è notevolmente maggiore, rispetto a quello osservato in corrispondenza di quello relativo al modello effettivo. Questo deriva dal fatto che il modello

SO65-100S, essendo composta da pareti continue, risente in misura

estremamente ridotta dei fenomeni di concentrazione locale delle tensioni, tipici invece del modello SO65-100. Si nota però come i due grafici tendano quasi a sovrapporsi nel primo tratto del grafico, dove la struttura assume un comportamento pressoché lineare. Questo ci fa capire che per tale tipo di modellazione le strutture analizzate presentino una risposta molto simile se sottoposte a quel tipo di eccitazione.

- Lo spostamento relativo ai solai della struttura presenta valori irrisori in entrambi i casi, infatti siamo nell’ordine di grandezza del millimetro per i solai più alti, ma il modello semplificato fornisce valori di spostamento decisamente minori rispetto al modello effettivo.

- In merito alle plasticizzazioni che si sviluppano nei due casi di analisi si nota come il modello semplificato riesca a ridistribuire in modo migliore le plasticizzazioni che si verificano nelle pareti. Questo permette un migliore sfruttamento del materiale di questo modello.

6.6.2 Accelerazione agente secondo la direzione

dell’asse Y.

Fig. 6.50 Curva accelerazione orizzontale-spostamento relativa al punto di controllo. Confronto tra modello effettivo e modello semplificato.

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 A cc e le ra zi one or iz zont al e s e condo Y (m /s e c 2)

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 A cc el er az ion e or iz zon ta le s ec on do Y (m /s ec 2)

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Fig. 6.51 Curve accelerazione orizzontale-spostamento relativa al punto di controllo.

In questo caso si nota che le curve relative ai due modelli analizzati restano prossime soltanto per un piccolissimo tratto vicino all’origine, per poi divergere in maniera cospicua all’aumentare del valore dell’accelerazione. A parità di spostamento del punto si nota come il modello semplificato riesca ad incassare un valore maggiore dell’accelerazione orizzontale ed anche qui il motivo potrebbe essere dovuto all’assenza di aperture nelle pareti che sfavoriscono concentrazioni dannose di tensione.

Fig. 6.52 Curva accelerazione orizzontale-spostamento relativa allo spostamento del baricentro del solaio del piano terra. Confronto tra modello effettivo e modello semplificato.

0 0,5 1 1,5 2 2,5 0 0,00003 0,00006 0,00009 0,00012 0,00015 A cc el er az ione or iz zont al e se condo Y (m /s ec 2)

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 0,00000 0,00005 0,00010 0,00015 0,00020 0,00025 0,00030 A cc e le ra zi on e or iz zon ta le s e con do Y (m /s e c 2)

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Fig. 6.53 Curva accelerazione orizzontale-spostamento relativa allo spostamento del baricentro del solaio del primo piano. Confronto tra modello effettivo e modello semplificato.

Fig. 6.54 Curva accelerazione orizzontale-spostamento relativa allo spostamento del baricentro del solaio del secondo piano. Confronto tra modello effettivo e modello semplificato.

6.7 Osservazioni conclusive

L’analisi della risposta meccanica dell’edificio alle azioni orizzontali di natura sismica è stata condotta per via numerica utilizzando il modello agli elementi finiti identificato nel Capitolo 4 con la sigla SO65-100. Il modello utilizza l’elemento tridimensionale Solid65 (disponibile nella libreria del codice di calcolo Ansys); il reticolo ha una dimensione caratteristica di 1 m. Il tipo di elemento utilizzato, particolarmente indicato per schematizzare in maniera accurata il comportamento di molti materiali lapidei, utilizza come criterio di crisi del materiale quello di Drucker-Prager. Per quanto riguarda i parametri meccanici della muratura, si è assunto un modulo elastico di 5 GPa, una resistenza a compressione di 2.5 MPa (dedotta sulla base dei risultati ottenuti dalle prove con i martinetti piatti doppi), e una resistenza a trazione valutata in maniera convenzionale come un decimo della resistenza a compressione, cioè 0.25 MPa.

0 0,5 1 1,5 2 2,5 0 0,0003 0,0006 0,0009 0,0012 A cc e le ra zi one or iz zont al e s e condo Y ( m /s e c 2)

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 0,0000 0,0005 0,0010 0,0015 0,0020 0,0025 A cc e le ra zi on e or iz zon ta le s e con do Y (m /s e c 2)

0 0,5 1 1,5 2 2,5 0 0,0003 0,0006 0,0009 0,0012 0,0015 A cc e le ra zi one or iz zont al e s e condo Y ( m /s e c 2)

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 0,0000 0,0005 0,0010 0,0015 0,0020 0,0025 0,0030 0,0035 0,0040 A cc e le ra zi on e or iz zon ta le s e con do Y (m /s e c 2)

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196

L’analisi numerica ha avuto come obiettivo principale quello di valutare l’accelerazione orizzontale massima compatibile con le proprietà resistenti della muratura. I carichi sono stati applicati sul modello seguendo uno schema incrementale nel quale si distinguono le due fasi descritte di seguito. Nella prima fase si è fatto agire il solo peso proprio, incrementando gradualmente l’accelerazione di gravità dal valore nullo al valore finale di 9.81 m/sec2

. Nella seconda fase di carico, invece, l’accelerazione verticale è stata mantenuta fissa e quella orizzontale è stata fatta crescere gradualmente da zero fino al valore massimo corrispondente all’arresto dell’analisi per mancato raggiungimento della convergenza della soluzione.

L’analisi si è interrotta per un’accelerazione orizzontale pari a circa 6 m/s2 e 2 m/s2, per sisma diretto rispettivamente lungo l’asse x e l’asse y. Com’era atteso, l’edificio ha manifestato una resistenza maggiore alle azioni orizzontali nel caso in cui queste siano dirette parallelamente alle pareti lunghe dell’edificio. In entrambi i casi, ad un primo tratto pressoché lineare della curva di risposta accelerazione – spostamento di un punto di controllo, ha fatto seguito un tratto marcatamente non lineare.

L’analisi dell’evoluzione delle deformazioni plastiche al crescere dell’azione orizzontale e, in particolare, le indicazioni ottenute dall’osservazione delle zone dell’edificio in cui si rilevano i valori più intensi delle deformazioni plastiche, hanno permesso di individuare preventivamente le pareti dell’edificio su cui si concentrerà l’attenzione nel capitolo successivo a proposito dello studio dei meccanismi locali di collasso.

Il modello numerico si è mostrato in grado di eseguire l’analisi anche nel caso di carico ciclico. I due casi esaminati a titolo di esempio, nei quali l’accelerazione orizzontale variava tra valori estremi non lontani dal massimo compatibile con la resistenza della muratura, hanno evidenziato un comportamento isteretico della struttura, degradante con l’avanzare dei cicli di carico.

Infine, i risultati forniti dalle analisi sopra descritte sono stati confrontati con quelli ottenuti utilizzando modelli “semplificati” agli elementi finiti (descritti in dettaglio nel Capitolo 4), nei quali si è omesso di riprodurre tutti i dettagli caratterizzanti la geometria delle pareti dell’edificio, quali rientranze, variazioni dello spessore, presenza di aperture. Il confronto, che ha evidenziato una discreta corrispondenza tra i risultati, costituisce una prima base di dati da cui partire per sviluppare un ragionamento più approfondito sui metodi che è possibile seguire per la costruzione di modelli semplificati agli elementi finiti di un edificio in muratura.