Dato il seguente sistema lineare a coefficienti reali

(1)

♦ ♦

Algoritmo di riduzione di Gauss per la discussione e soluzione dei sistemi lineari

♦ ♦

Sistemi omogenei

♦ ♦

Sistemi con parametro

Rosalba Barattero

ESERCITAZIONE N.11

15 dicembre 2009

ESERCIZIO1.

Sistema lineare – riduzione di Gauss

Dato il seguente sistema lineare a coefficienti reali

⎪ ⎩

⎪ ⎨

⎧

= +

−

=

− +

= + +

0 z y x

2 z y x

3 z y x

Stabilire, usando l’algoritmo di riduzione di Gauss, se ha soluzioni reali e, in caso affermativo determinarle tutte.

Notiamo che il sistema si può scrivere in forma matriciale, tenendo conto della definizione del prodotto righe per colonne di matrici:

⎟ ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎜

⎝

⎛

⎟ =

⎟ ⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎜

⎝

⎛

⎟ ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎜

⎝

⎛

0 2 3 z

y x 1 1 - 1

1 - 1 1

1 1 1

Il sistema è esprimibile così : A X = b A

matrice dei coefficienti

X

matrice delle indeterminate b

matrice dei termini noti

(2)

L’ALGORITMO DI GAUSS

O

BIETTIVO

:

A

) Individuare criteri per stabilire se un sistema lineare ha soluzioni e quante sono.

B) Usare un algoritmo per determinare le soluzioni.

L

E TRE OPERAZIONI ELEMENTARI SULLE EQUAZIONI DI UN SISTEMA

:

1. Scambio di due equazioni

2. Moltiplicazione di un’equazione per un numero non nullo

3. Somma di un’equazione con un multiplo di un’altra equazione

Le 3 operazioni trasformano il sistema in un sistema equivalente ( avente le stesse soluzioni). Le operazioni agiscono sulle equazioni (righe) del sistema

(equivalentemente sulle righe della matrice completa A|b ).

Infatti la 1. è ovvia poiché lo scambio di due equazioni non altera le soluzioni del sistema, lo stesso vale per 2., poiché la moltiplicazione di un’equazione per un numero non nullo non altera le soluzioni dell’equazione stessa.

Meno banale la 3.

Usiamo l’algoritmo di Gauss per trasformare un sistema in uno equivalente e più semplice da risolvere.

Lavoriamo sulla matrice completa

A/b = ⎟ ⎟ ⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎜

⎝

⎛

−

− 0 2 3 1 1 1

1 1 1

1.

Passo:

ricerca nella 1^acolonna di un termine non nullo (coefficiente della ′prima′ incognita), se esiste questo termine scelto si chiama pivot (della prima incognita).

Se non esiste, si passa a considerare la seconda incognita …etc.

Scelto il pivot, scambiare R₁ con la riga che contiene il pivot per portarla ad occupare R₁

Qui a

11

=1≠0⇒non è necessario scambiare righe 2. P

ASSO

: creare una colonna di zeri sotto il pivot

⎟ ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎜

⎝

⎛

−

− 0 2 3 1 1 1

1 1 1

⎟ ⎟ ⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎜

⎝

⎛

−

− 3 -

1 -

3 0 2 0

2 0 0

1 1 1

N.B. nel passo 1. possono esserci più scelte,in generale conviene scegliere il pivot più semplice per effettuare ′a mano′ facilmente i calcoli (1 è il più indicato). Per un calcolatore il pivot migliore è il numero di valore assoluto maggiore, per minimizzare gli errori (a seguito della divisione, infatti ad es. per mettere uno zero sotto l’elemento a11 l’operazione da fare sarà R2→ R2- 1

11 22R a

a ).

R

2

→ R

2

- R

1

R

3

→ R

3

- R

1

Operiamo su R

2

, R

3

facendo

sempre riferimento ad R

₁

(3)

Osservazione Fare R

₂

→ R

2

- R

₁

equivale a sostituire la x nella R

2

.

Infatti : R

1

→ x+y+z -3=0 R

₂

→ x+y-z-2=0

R

₂

- R

₁

→ x+y-z-2 –( x+y+z-3)=0

⇒ L’algoritmo di Gauss nasce dalla tecnica di sostituzione

3. Passo : controllare se

• qualche riga sotto R

1

è diventata nulla e in tal caso eliminarla

• qualche riga sotto R

1

è diventata del tipo 0 0 0 … 0 | k con k ≠0,

cioè se il sistema contiene l’equazione incompatibile 0 = k , con k≠0.

In tal caso ci si ferma : il sistema dato è incompatibile ( non ha soluzioni ).

In caso contrario si prosegue con il passo 4.

Espressione della x ricavata da R1

4. Passo : spostarsi, a partire dal pivot, in diagonale di un elemento

Ossia trascurare la riga R

1

e ripartire con l’algoritmo appli- cato al sistema formato dalle righe restanti (R

2

,R

3,

… ), quindi cercare nella colonna contenente P

2

( C

2

) se c’è un elemento non nullo…

Attenzione ! Se la colonna contenente P2

è tutta nulla, allora spostarsi all’incognita successiva ( nella riga R

2

)!

Altrimenti non si ottiene una matrice a scalini ! cioè una matrice in cui il primo coefficiente non nullo di ogni riga è più a sinistra del primo coefficiente non nullo della riga successiva. I primi elementi non nulli di ogni riga sono i pivot .

Esempio di matrici a scalini ( echelon)

indicano i pivot, i primi elementi non nulli delle righe

∗

indicano numeri che possono avere qualunque valore, anche zero P1

P₂

sì

no P₁

P2

(4)

⎟ ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎜

⎝

⎛

−

− 3 -

1 -

3 0 2 0

2 0 0

1 1 1

R

2

↔ R

3

⎟ ⎟ ⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎜

⎝

⎛

1 -

3 -

3 2 - 0 0

0 2 - 0

1 1 1

⎟ ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎜

⎝

⎛

1 -

3 -

3 2 - 0 0

0 2 - 0

1 1 1

⎟ ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎜

⎝

⎛

1 -

3 -

3 2 - 0 0

0 2 - 0

1 1 1

Il sistema associato ridotto è ⎪ ⎩

⎪ ⎨

⎧

=

−

= + +

1 - 2z -

3 - 2y

3 z y x

Cerchiamo un elemento non nullo nella C

2

( R

1

esclusa )

Nuovo pivot •

Sotto c’è già lo zero !

• L’algoritmo termina passando alla R

3

• Siamo arrivati alla forma ″a scalini″

( o ridotta)

In questo caso tutte e tre le incognite sono pivotali ( con pivot risp. : 1, -2, -2).

Passiamo alla risoluzione : è ora facile procedere dal basso verso l’alto per sostituzione , ottenendo la soluzione

^⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ 2 ,1 2 ,3

1

, che è unica (

^x⁼^1,^y ⁼ ₂³^,^z⁼ ₂¹

: unica terna ) .

Conclusione :

In questo caso il numero non nullo delle righe della matrice ridotta a scalini è uguale al numero delle incognite pivotali e allora il sistema ha UNA SOLA SOLUZIONE .

Da notare che ci sono più sistemi ridotti equivalenti al

sistema dato, in corrispondenza alle scelte dei pivot.

(5)

ESERCIZIO2.

Sistema lineare

Dato il seguente sistema lineare a coefficienti reali

⎪ ⎩

⎪ ⎨

⎧

= + + +

2 2t z 2 y x

2 t z y 2 2x

1 t z y x

Stabilire, usando l’algoritmo di riduzione di Gauss, se ha soluzioni reali.

A/b=

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

2 2 1 2 2 1 1

1 1 2 2

1 1 1 1

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

−

1 0 1 1 1 0 0

1 1 0 0

1 1 1 1

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

−

1 0 1 0 0 0 0

1 1 0 0

1 1 1 1

Passo 3. L’ultima riga è del tipo 0 =1 ( 0⋅ x = 1 ) : assurdo. Quindi il sistema è incompatibile ( non ha soluzioni ).

N.B. da non confondere con il caso ″1=0″ , ad esempio 0 0 0 1 | 0, da cui si ricava t=0 !!

R

2

→ R

2

-2R

1

R

3

→ R

3

-R

1

R

3

→ R

3

+R

2

ESERCIZIO3.

Sistema lineare – riduzione – numero delle soluzioni

Dato il seguente sistema lineare

⎪ ⎩

⎪ ⎨

⎧

=

= +

−

= +

+ +

0 x - x

1 x

x

2 x - x x x x

5 4

5 3 2

5 4 3 2 1

x

Stabilire, usando l’algoritmo di riduzione totale di Gauss, se ha soluzioni e, in caso affermativo, dire quante sono e determinarle tutte.

A|b =

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

−

− 0 1 2 1 1 0 0 0

1 0 1 1 0

1 1 1 1 1

E’ già ridotta ! Le incognite pivotali sono x

1

, x

2

, x

4

. Isoliamo a primo membro le incognite pivotali :

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

− +

=

+

= + +

5 4

5 3 2

5 3 4

2 1

x x

x x 1 x

x x - 2

x x x

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

− +

=

−

− +

=

5 4

5 3 2

5 5 3 5

3 1

x x

x x 1 x

x ) x x (1 ) x x - (2 x

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

− +

=

+

=

5 4

5 3 2

5 3 1

x x

x x 1 x

x 2x - 1 x

Le soluzioni sono : (1-2t+s, 1+t-s,t,s,s ) al variare di s, t in R

( abbiamo posto x5=s , x3=t)

Sostituiamo dal

basso verso l’alto

(6)

In generale, supposto di aver eliminato le eventuali righe non significative (nulle) ci sono 2 casi :

detti p= n° incognite pivotali q= n° righe significative

CASO 1. q>p . L’ultima riga è del tipo 0=b_q con b_q≠ 0 : assurdo. Quindi il sistema non ha soluzioni

CASO 2. q=p. Il sistema ha soluzioni . Lasciamo a I° membro le incognite pivotali che chiamiamo x₁, x₂, … x_p e portiamo a II° membro le incognite non pivotali.

La situazione è del tipo :

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=

= +

x

a

. ....

...

a

...

p p pp

2 2

22

1 1

11

α α α x

x a

•

Se le incognite sono n=p il sistema ha un’unica soluzione !

•

Se le incognite sono n>p il sistema ha infinite soluzioni e poiché ci sono n-p possibilità di assegnazioni arbitrarie (le incognite non pivotali) , si dice che il sistema ha ∞ⁿ⁻^p soluzioni ( n=n° incognite, p=n° righe non nulle della matrice ridotta=n° incognite pivotali) ; nel caso n=p si scrive simbolicamente ∞ (=1!) soluzioni. ⁰

Il sistema è di tipo quadrato pxp, ed essendo tutti i pivot non nulli , risolvendolo dal basso verso l’alto, ha un’unica soluzione, che però dipende dai valori assegnati alle eventuali variabili a II° membro.

ESERCIZIO 4.

Sistema lineare omogeneo con parametro

Date le matrici S= _⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

1 1 0

0 1

1 e T=

⎟ ⎟ ⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎜

⎝

⎛ λ 1

4 2

2 1

a) stabilire per quali λ∈R il sistema omogeneo (ST)X= 0 ha soluzioni

b) Nel caso in cui il sistema abbia soluzioni determinarle, precisando ′quante′ sono.

a) ST =

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

1 1 0

0 1 1

⎟ ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎜

⎝

⎛ λ 1

4 2

2 1

=

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

+

−

λ 4 3

2

1

X= ⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ y x

(ST) X = 0 ⇔

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

+

−

λ 4 3

2

1 ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ y

x

=

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ 0 0

⇔ ⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

+ + (4 λ)y 3x

2y - x

- =

⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ 0 0

⇔

_⎩^⎨^⎧⁻_3x^x₊⁻₍₄^2y₊⁼_λ)y⁰ ₌₀

Un sistema omogeneo ha sempre almeno la soluzione banale ( assegnando zero a tutte le incognite, qua (0,0)).

Quindi il sistema omogeneo ha soluzioni ∀ λ∈R !!

2x3 3x2 2x2

(7)

b)

Quando ha anche soluzioni non nulle ( e quindi infinite ) ? Possiamo ridurlo ( inutile scrivere la colonna di zeri dei

termini noti) :

⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

+

−

λ 4 3

2 1

⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

+

−

2 λ 0

2 1

Ora si tratta di discutere, ci sono 2 casi :

¾ -2+λ ≠ 0 ⇔ λ≠2 ⇒ Il sistema è ridotto, è un sistema quadrato, ha due equazioni e 2 incognite pivotali.

⇒ Ha 1! Soluzione , la soluzione nulla (0,0)

¾ -2+λ =0 ⇔ λ=2 ⇒ L’ultima riga è nulla, il sistema si riduce alla sola prima equazione –x-2y=0 che ha infinite soluzioni , più precisamente ∞ⁿ⁻^p =∞²⁻¹ =∞¹soluzioni ( un’unica incognita pivotale, ad es. x , con y variabile libera ) . Da x= -2y si hanno le soluzioni (-2y,y) al variare di y in R.

Osservazione. Questo esercizio mostra come l’uso della riduzione di Gauss può diventare poco praticabile per lo studio dei sistemi con parametro. La tecnica dei minori in questo caso (che segue nell’appendice) è molto più vantaggiosa.

R

2

→ R

2

+3R

1