Limite di una successione per n che tende a ∞. Teorema di unicità del limite, teorema di permanenza del segno. Algebra dei limiti.

LICEO SCIENTIFICO "ULISSE DINI" - PISA Programma di Matematica

svolto dalla classe 4 G nel corso dell’anno scolastico 2017/18

docente: Luisa Prodi

Introduzione all'analisi matematica: Successioni definite per ricorrenza e mediante il termine generale. Successioni monotone. Pro- gressioni aritmetiche e geometriche. Somma dei primi n termini di una progressione aritmetica e di una progressione geometrica.

Limite di una successione per n che tende a ∞. Teorema di unicità del limite, teorema di permanenza del segno. Algebra dei limiti.

Dimostrazione per induzione. Completezza dell’insieme dei numeri reali (approccio secondo Dedekind)

Calcolo combinatorio: Permutazioni degli oggetti di un insieme di n elementi; disposizioni di n oggetti a gruppi di k, combinazioni di n oggetti a gruppi di k; coefficienti binomiali.

Funzione esponenziale e logaritmica: la funzione esponenziale in Q, monotonia e proprietà di omomorfismo; estensione della definizione a R. Iniettività della funzione esponenziale, risoluzione di semplici equazioni e disequazioni esponenziali. La funzione logaritmo come inversa della funzione esponenziale. Le proprietà del logaritmo. I logaritmi nel calcolo, il logaritmo decimale. Tracciamento qualitativo di grafici di funzioni composte con funzioni esponenziali o logaritmiche. Liite notevole lim

n→∞

1 +

, definizione del numero di Eulero; esponenziale di base e e logaritmo naturale.

Trasformazioni del piano: Richiami sulla distanza: definizione di distanza e sue proprietà. Trasformazioni affini, conservazione del par- allelismo fra rette. Rapporti fra le aree delle figure. Equazioni analitiche di un’affinità. Ricerca di punti fissi, rette fisse, direzioni invarianti, rette unite. Affinità dirette ed invertenti. Composizione di affinità. Affinità inversa. Le similitudini come particolari affinità. Caratterizzazione analitica delle similitudini. Omotetie. Caratterizzazione analitica delle isometrie. Scomposizione canon- ica di una similitudine in un’ omotetia e un’ isometria. Unicità del punto fisso di una similitudine non isometrica.

Rappresentazione matriciale di un’affinità. Prodotto righe per colonne e composizione di affinità. Determinante di una matrice e condizione di biunivocità della trasformazione affine. Matrice inversa e trasformazione inversa.

Geometria dello spazio: rette nello spazio: rette incidenti, parallele e sghembe; piani incidenti e paralleli. Condizioni di perpendicolarità retta - piano. Distanza fra due punti nello spazio, coordinate in R

. Diedri e loro misura. Teorema delle tre perpendicolari. Poliedri regolari; esistenza di cinque tipi di poliedri regolari. Prismi, parallelepipedi, piramidi. Cenni sul principio di Cavalieri per il calcolo dei volumi. Geometria analitica dello spazio, vettori in R

. Prodotto scalare fra vettori; angolo fra due vettori. Perpendicolarità di vettori. Rappresentazione del piano, piani incidenti e paralleli. Rappresentazione della retta nello spazio in forma parametrica e come intersezione di piani. Angolo fra due piani, angolo fra due rette.

Numeri complessi: l’unità immaginaria e i numeri complessi, numeri complessi in forma algebrica; vettori e numeri complessi, forma trigonometrica dei numeri complessi, il calcolo con i numeri complessi, radici n-esime dell’unità; numeri complessi e trasformazioni del piano: traslazioni, rotazioni, rotoomotetie, simmetrie assiali.

Probabilità: Approccio alla probabilità: classico, frequentista, soggettivista. Teorema della probabilità totale. Probabilità dell’evento certo e dell’evento complementare. Eventi indipendenti, regola del prodotto. Probabilità condizionata, correlazione positiva e negativa.

Regola del prodotto per eventi indipendenti; estrazioni senza reimbussolamento e con reimbussolamento. Teorema di Bayes.

I

Libro di testo: Bergamini - Trifone - Barozzi Manuale blu 2.0 di matematica ed. Zanichelli Appunti ed esercizi messi a disposizione degli studenti sul sito classequarta.jimdo.com

L’insegnante Gli alunni

Pisa, 8 giugno 2018