VERIFICA DI MATEMATICA – 1^F Liceo Sportivo – 26 aprile 2018 Rispondere su un foglio protocollo e riconsegnare entro il 3 maggio 2018
NOME E COGNOME _____________________________________________________________
1 Consideriamo la funzione f (x )=x2−2 x+1 . Determinare i seguenti valori:
f (1) ; f (−1) ; f (1
2) ; f (0)
2 Eseguire le seguenti operazioni tra monomi, scrivendo il risultato come monomio in forma normale.
2
3a3b2c4+a3b2c4 ; 4
5a3b2c4−2 a3b2c4 ; (7
6a3b2c4)(3
8a2b4c) ; ( 9
10a3b2c4):(3 2a b c4)
3 Una somma di denaro S viene divisa tra quattro persone. La prima ha avuto x €; la seconda ha avuto i due terzi di quanto ha avuto la prima; la terza ha avuto il triplo della differenza tra quanto ha avuto la seconda persona e la terza parte di quanto ha avuto la prima persona. Quanto ha avuto la quarta persona ?
4 Calcolare le seguenti moltiplicazioni in modo da scriverle nella forma del polinomio più semplice possibile.
i (2 x y−3
2 y z +3
4 x z )(4
3 x2y3z ) ii (5 a2b−3
2a3+4
3b2)(5 a2b−3 2a3−4
3b2) 5 Calcolare le seguenti espressioni utilizzando il prodotto notevole del quadrato del binomio
i (3 a2b−4 b3c2)2 ii (2 3 x+4
5y3)
2
Argomenti: Operazioni con monomi e polinomi. Capitolo 5 del libro di testo. VALUTAZIONE
Valutazione delle risposte.
2 punti: risposta corretta, soluzione migliore, buona proprietà di linguaggio, esposizione chiara e leggibile.
1,8 punti: risposta corretta, soluzione migliore con qualche imperfezione di linguaggio e di esposizione.
1,6 punti: risposta corretta, soluzione migliore ma senza una buona proprietà di linguaggio o senza una buona esposizione.
1,4 punti: risposta corretta ma non la soluzione migliore.
1,2 punti: risposta parziale, ma soddisfacente per almeno tre quarti delle richieste.
1 punto: risposta parziale, ma soddisfacente per almeno metà delle richieste.
0,8 punti: risposta parziale, ma soddisfacente per almeno un quarto delle richieste.
0,6 punti: risposta sbagliata, purché sensata e legata al contesto.
0,4 punti: risposta sbagliata contenente errori particolarmente gravi.
0,2 punti: risposta mancante, o insensata o slegata dal contesto.
I testi delle verifiche si possono anche scaricare all'indirizzo http://www.lacella.it/profcecch i
BLOG http://dottorcecchi.blogspot.it ; Pagina facebook https://www.facebook.com/profcecchi
1 Consideriamo la funzione f (x )=x2−2 x+1 . Determinare i seguenti valori:
f (1) ; f (−1) ; f (1
2) ; f (0)
f (1)=(1)2−2(1)+1=1−2+1=0 ;
f (−1)=(−1)2−2(−1)+1=1+2+1=4 ;
f (1 2)=(1
2)
2
−2(1
2)+1=1
4−1+1=1
4 ;
f (0)=(0)2−2(0)+1=1
2 Eseguire le seguenti operazioni tra monomi, scrivendo il risultato come monomio in forma normale.
2
3a3b2c4+a3b2c4 ; 4
5a3b2c4−2 a3b2c4 ; (7
6a3b2c4)(3
8a2b4c) ; ( 9
10a3b2c4):(3 2a b c4)
Nel caso dell'addizione e della sottrazione i monomi sono simili e possiamo applicare la proprietà distributiva.
2
3a3b2c4+a3b2c4=(2
3+1)a3b2c4=2+3
3 a3b2c4=5
3a3b2c4 ; 4
5a3b2c4−2 a3b2c4=(4
5−2)a3b2c4=4−10
5 a3b2c4=−6
5a3b2c4 ;
Nel caso di moltiplicazione e divisione suggerisco di procedere in tre fasi di calcolo:
1. determinare il segno
2. eseguire la moltiplicazione (o divisione) tra termini noti 3. eseguire la moltiplicazione (o divisione) tra le incognite (7
6a3b2c4)(3
8a2b4c)=+(7 6×3
8)(a3+2b2+4c4+1)= 7
16a5b6c5 ; ( 9
10a3b2c4):(3
2a b c4)=+( 9 10:3
2)(a3−1b2−1c4−4)=( 9 10×2
3)a2b1c0=3 5a2b
I passaggi intermedi li ho scritto a solo scopo didattico, la risposta è corretta e del tutto esauriente anche scrivendo direttamente il monomio risultato dell'operazione.
Per quanto riguarda la divisione occorre precisare che c0=1 soltanto se c≠0 . In effetti perché la divisione abbia senso è necessario che a≠0∧b≠0∧c≠0 . (Si noti anche l'uso che ho fatto della parola “necessario”)
3 Una somma di denaro S viene divisa tra quattro persone. La prima ha avuto x €; la seconda ha avuto i due terzi di quanto ha avuto la prima; la terza ha avuto il triplo della differenza tra quanto ha avuto la seconda persona e la terza parte di quanto ha avuto la prima persona. Quanto ha avuto la quarta persona ?
In questo problema ci vengono forniti diversi numeri noti ma anche almeno tre incognite.
È incognita la somma di denaro S che dobbiamo spartire.
È incognita la quota x che va alla prima persona.
Ovviamente è incognita anche la risposta che dobbiamo dare, la quota della quarta persona.
Sicuramente molti si lamenteranno del fatto che ci sono troppe incognite, per questo a molti sembrerà paraddossale il mio suggerimento di aggiungerne altre! Assegnamo una lettera anche alle altre persone.
Persona 1 Persona 2 Persona 3 Persona 4
x € y € z € w €
Sappiamo che le persone sono 4. Abbiamo anche alcune informazioni con numeri noti, per esempio che “la seconda ha avuto i due terzi della prima”, in linguaggio matematica significa che y=2
3 x
Persona 1 Persona 2 Persona 3 Persona 4
x € y=2
3x € z € w €
L'informazione sulla terza persona è più complicata da tradurre: “il triplo della differenza tra quanto ha avuto la seconda persona e la terza parte di quanto ha avuto la prima persona”
Il triplo... 3(...) ...della differenza... 3(...−...) ...tra quanto ha avuto la prima persona...
3( y−...) ...e la terza parte... 3( y−...
3) ...di quanto ha avuto la prima persona... 3( y−x 3)
Dunque z=3( y−x 3)
Persona 1 Persona 2 Persona 3 Persona 4
x € y=2
3x € z=3( y−x
3) € w €
Sulla quarta persona non ci viene riferito niente di esplicito ma mi sembra abbastanza ovvio che avrà ricevuto quello che è rimasto, ovvero, scrivendo in formula matematica: w=s−x− y−z
Persona 1 Persona 2 Persona 3 Persona 4
x € y=2
3x € z=3( y−x
3) € w=s−x− y−z € Non riusciremo a determinare dei numeri noti, perché ci sono ignote le quantità x e S. Ma possiamo
rispondere alla domanda nei termini di x e S, o se preferite, in funzione di x e S. Basta togliere le incognite (di servizio) che abbiamo introdotto di nostra iniziativa.
Per esempio, sapendo che y=2
3x possiamo sostituire y in ogni casella:
Persona 1 Persona 2 Persona 3 Persona 4
x € 2
3x € z=3(2
3x−x
3) € w=S−x−2
3 x−z € Siamo anche in grado di fare qualche calcolo letterale, quindi:
z=3(2 3x−x
3)=3(1 3 x)= x
e di conseguenza: w=S−x−2
3 x−x=S −(1+2
3+1) x=S−8 3 x Ricapitolando:
Persona 1 Persona 2 Persona 3 Persona 4
x € 2
3x € x € S −8
3 x €
La risposta che daremo a quanto ci è stato richiesto è che la quarta persona riceverà S −8 3x € Nota bene: questo svolgimento va visto più da un punto di vista didattico che come risposta da imitare. Una risposta corretta ed esauriente poteva essere scritta più brevemente in questa maniera:
Alla seconda persona spettano 2 3 x €
Alla terza persona spettano 3(2 3 x−x
3)=3(1
3 x)= x €
Dunque alla quarta persona spettano S −x−2
3 x−x=S −(1+2
3+1) x=S −8 3 x .
Ma sarebbe stata ovviamente poco conprensibile a coloro ai quali non fosse riuscito trovare la soluzione.
4 Calcolare le seguenti moltiplicazioni in modo da scriverle nella forma del polinomio più semplice possibile.
i (2 x y−3
2 y z +3 4x z )(4
3 x2y3z ) ii (5 a2b−3
2a3+4
3b2)(5 a2b−3 2a3−4
3b2)
Dobbiamo applicare più volte la proprietà distributiva.
i (2 x y−3
2 y z +3 4x z )(4
3 x2y3z )=(2 x y)(4
3 x2y3z )−(3
2 y z )(4
3 x2y3z)+(3
4x z )(4
3 x2y3z)=...
...=8
3x3y4z−2 x2y4z2+x3y3z2
ii (5 a2b−3 2a3+4
3b2)(5 a2b−3 2a3−4
3b2)
Per eseguire questo calcolo abbiamo due approcci possibili, non utilizzare i prodotti notevoli oppure utilizzando i prodotti notevoli. Riporto di seguito entrambi gli approcci.
Eseguiamo il calcolo senza utilizzare i prodotto notevoli.
(5 a2b−3 2a3+4
3b2)(5 a2b−3 2a3−4
3b2)=(5 a2b)(5 a2b)−(5 a2b)(3
2a3)−(5 a2b)(4
3b2)+...
...−(3
2a3)(5 a2b)+(3 2a3)(3
2a3)+(3 2a3)(4
3b2)+(4
3b2)(5 a2b)−(4 3b2)(3
2a3)−(4 3b2)(4
3b2)=...
...=25 a4b2−15
2 a5b−20
3 a2b3−15
2 a5b+9
4a6+2 a3b2+20
3 a2b3−2 a3b2−16 9 b4=...
...=25 a4b2−15 a5b+9
4a6−16 9 b4 .
è stato un calcolo piuttosto noioso e anche pieno di occasioni in cui fare degli errori. Proviamo adesso a procedere utilizzando i prodotti notevoli. Con un po' di fantasia si potrebbe utilizzare la “somma per differenza”
(A+B)( A−B)=A2−B2 intendendo A=5 a2b−3
2a3; B=4
3b2 . Quindi:
(5 a2b−3 2a3+4
3b2)(5 a2b−3 2a3−4
3b2)=(5 a2b−3 2a3)
2
−(4 3b2)
2
Applicando anche il prodotto notevole del quadrato del binomio: (A+B)2=A2+2 AB+B2 (5 a2b−3
2a3)
2
−(4 3b2)
2
=25 a4b2−15 a5b+9
4a6−16 9 b4
Come vedete, abbiamo impiegato molti meno passaggi, molto meno tempo e molte meno occasioni di errore.
5 Calcolare le seguenti espressioni utilizzando il prodotto notevole del quadrato del binomio
i (3 a2b−4 b3c2)2 ii (2 3x+4
5 y3)
2
i (3 a2b−4 b3c2)2
Per applicare il prodotto notevole (A+B)2=A2+2 AB+B2 dobbiamo fare uno sforzo di fantasia e immaginare
A=3 a2b ; B=−4 b3c2
(3 a2b−4 b3c2)2=(3 a2b)2+2(3 a2b)(−4 b3c2)+(−4 b3c2)2=9 a4b2−24 a2b4c2+16 b6c4
ii (2 3 x+4
5y3)
2
Analogamente a quanto scritto sopra A=2
3 x ; B=4
5 y3 e quindi:
(2 3 x+4
5y3)
2
=(2
3x )2+2(2 3x)(4
5 y3)+(4 5 y3)
2
=4
9 x2+16
15 x y3+16 25 y6
Nota bene: il prodotto notevole:
(A+B)2=A2+2 AB+B2
è un vero e proprio teorema, dal quale potremmo trarre, come corollario:
(A−B)2=A2−2 AB+B2
Quando vediamo il segno meno, qualcuno potrebbe preferire l'uso del corollario, per esempio tornando alla prima richiesta:
i (3 a2b−4 b3c2)2
Per applicare il corollario (A−B)2=A2−2 AB+B2 dobbiamo sostituire A=3 a2b ; B=4 b3c2 (3 a2b−4 b3c2)2=(3 a2b)2−2(3 a2b)(4 b3c2)+(4 b3c2)2=9 a4b2−24 a2b4c2+16 b6c4
