La matrice S si chiama anche matrice della trasformazione di similitudine, ovvero matrice di passaggio dalla A alla B.

MATRICI SIMILI E MATRICI DIAGONALIZZABILI

DEFINIZIONE: Due matrici quadrate A e B, dello stesso ordine n, si dicono simili se esiste una matrice non singolare S, tale che risulti:

B = S ⁻¹ ⋅ ⋅ A S

La matrice S si chiama anche matrice della trasformazione di similitudine, ovvero matrice di passaggio dalla A alla B.

Per indicare che la matrice B è simile alla matrice A si scrive:

B ~ A

e si legge:

B è simile ad A

. Dalla definizione data seguono le proprietà:

a) proprietà riflessiva: A ~ A;

b) proprietà simmetrica: se B ~ A allora A ~ B;

c) proprietà transitiva: se A ~ B e B ~ C allora A ~ C

Le proprietà a), b), e c) si riassumono dicendo che: nell’insieme delle matrici quadrate di ordine n la relazione di similitudine è una relazione di equivalenza.

Inoltre due matrici simili hanno inverse simili; ciò si esprime anche dicendo che la similitudine è compatibile con l’inversione.

Mettiamo in evidenza alcune importanti proprietà delle matrici simili.

1) Due matrici simili hanno lo stesso determinante;

2) Due matrici simili hanno lo stesso polinomio caratteristico; due matrici A e B che abbiano lo stesso polinomio caratteristico non sono necessariamente simili: lo sono se per ogni autovalore λλλλi risulta: rango(A −−−− λλλλi·I) = rango(B −−−− λλλλi·I);

3) Due matrici simili hanno lo stesso rango;

4) Matrici simili hanno gli stessi autovalori;

5) Matrici simili hanno tracce uguali.

Si consideri un ENDOMORFISMO

ƒƒ ƒ: V→ ƒ → → →V

, ove V è uno spazio vettoriale di dimensione n sul campo ℜℜℜℜ. Sia fissata per V una base {v₁, v₂, ..., v_n} e sia A la matrice associata ad ƒƒƒƒ rispetto a questa base.

Si dice che la matrice A è DIAGONALIZZABILE se è possibile trovare una base per V tale che la matrice associata ad ƒƒƒƒ rispetto a tale base sia diagonale, cioè se esiste una base di V costituita da autovettori per ƒƒƒƒ.

CONDIZIONE SUFFICIENTE affinché la matrice A di un endomorfismo ƒƒƒƒ sia diagonalizzabile è che esistano n autovalori distinti.

Sia invece:

det( A − λ I ) = k ⋅ ( λ − λ ₁ ) ^r

¹

⋅ ( λ − λ ₂ ) ^r

²

⋅ ...( ⋅ λ − λ _k ) ^r

^k

CONDIZIONE NECESSARIA E SUFFICIENTE affinché A sia diagonalizzabile è che lo spazio di autovettori, o autospazio, relativo ad ogni autovalore λλλλ

i

abbia

“dimensione r

i

”, cioè abbia una dimensione uguale alla “molteplicità algebrica”

dell’autovalore relativo λ

i

; questo si verifica quando, detta n la dimensione dello spazio V, per ogni i, risulta:

rango(A −−−− λλλλ

i

·I) = (n −−−− r

i

)

Ricordando che si dicono SIMILI due matrici A e B se rappresentano, in basi diverse, lo stesso endomorfismo, allora esiste una matrice invertibile S tale che:

B = S ⁻¹ ⋅ ⋅ A S

Pertanto ogni matrice A DIAGONALIZZABILE è SIMILE ad una matrice DIAGONALE, che ha lungo la diagonale principale gli AUTOVALORI dell’endomorfismo; se P è la matrice che esprime il cambiamento di base, dalla BASE data alla base degli AUTOVETTORI risulta:

M = P ⁻¹ ⋅ ⋅ A P

in cui

M

è in

forma diagonale

, quindi

m

ik

= 0

per

i ≠ ≠ k ≠ ≠

ed

m

ii

= λλλλ

i

per i = k.

La matrice

P

è detta

matrice diagonalizzante.

ESERCIZIO 1.: Determinare autovalori ed autovettori dell’endomorfismo ƒƒƒƒ di ℜℜℜℜ³ definito da:

f a b c

a b a c b c





 





  = + + +





 





 

Consideriamo la base canonica di ℜℜℜℜ³, essa è costituita dai tre vettori: e1 = (1, 0, 0); e2 = (0, 1, 0);

e3 = (0, 0, 1). L’endomorfismo ƒƒƒƒ applicato alla base canonica fornisce:

( ) ( ) ( )

f e ₁ f e ₂ f e ₃

1 1 0

1 0 1

0 1 1

=





 





  =





 





  =





 





 

La matrice A associata ad ƒƒƒƒ rispetto alla base canonica è la seguente:

A =





 





  1 1 0 1 0 1 0 1 1

Gli autovalori di A sono le soluzioni dell’equazione caratteristica

det(A - λλλλ·I) = 0

; pertanto:

( A − I ) =





 





  − ⋅





 





  =

−

−

−





 





 

λ λ

λ

λ

λ 1 1 0

1 0 1 0 1 1

1 0 0 0 1 0 0 0 1

1 1 0

1 1

0 1 1

ovvero:

det( A − I ) det = ( ) ( ) ( )

−

−

−





 





  = − − − − − − = λ

λ

λ

λ

λ λ λ λ

1 1 0

1 1

0 1 1

1 ² 1 1 0

Semplificando si ottiene la relazione seguente:

( 1 − λ ) [ ⋅ − − 2 λ ( 1 − λ )] ( = 1 − λ ) ( ⋅ − − 2 λ λ + ² ) = 0

Risolvendo l’equazione di secondo grado si ottiene:

λ = ± + λ λ

= ± ⇒ = −

= − = +

1 1 8 = 2

1 3 2

1 3

2 1 1 3

2 2

1 2

Pertanto, complessivamente si hanno tre autovalori reali e distinti di valore: λλλλ₁=-1; λλλλ2=2; λλλλ3=1 Sia x il vettore di componenti x = (a, b, c).

• Gli autovettori relativi all’autovalore λλλλ1 = −−−−1 sono le soluzioni del sistema:

 



−

=

−

⇒ =

 

 



= +

= + +

= +

= ⇒

 







 







 ⋅

 





 







= ⇒

⋅

− 2

2 0

2

0 0 2

0 2

1 0

1 1 1

0 1 2 0

)

(

_{1 1}

b c

b a c

b c b a

b a

c b a x

A r

λ

L’autovettore relativo all’autovalore λλλλ₁ = −−−−1 assume la forma seguente:

 







 







−

⋅

 =

 





 







−

 =

 





 







−

−

 =

 





 







=

1 2 1 2

2 2

1

a

a a a

b b b

c b a x r

e ponendo

a = 1

si ha:

r x ₁

1 2 1

= −





 





 

• Gli autovettori relativi all’autovalore λλλλ2 = 2 sono le soluzioni del sistema:

( A ) x

a b c

a b a b c

b c

− ⋅ = ⇒

−

−

−





 





  ⋅





 





  = ⇒

− + =

− + =

− =



 



λ

_{2 2}

0

1 1 0

1 2 1

0 1 1

0

0

2 0

0 r

Le soluzioni del sistema sono:

a = b

;

c = b

con

b

di valore arbitrario.

L’autovettore relativo all’autovalore λλλλ2 = 2 assume la forma seguente:

x r

a b c

b b b

2 b

1 1 1

=





 





  =





 





  = ⋅





 





 

da cui ponendo

b = 1

si ottiene:

r x ₂

1 1 1

=





 





 

• Gli autovettori relativi all’autovalore λλλλ3 = 1 sono le soluzioni del sistema:

( A ) x

a b c

b

a b c b

a a b

c a

− ⋅ = ⇒ −





 





  ⋅





 





  = ⇒

=

− + =

=



 



⇒

=

=

= −



 



λ

_{3 3}

0

0 1 0 1 1 1 0 1 0

0

0

0 0

r 0

Le soluzioni del sistema sono:

b = 0

;

c = −−−−a

con

a

di valore arbitrario.

L’autovettore relativo all’autovalore λλλλ3 = 1 assume la forma seguente:

x r

a b c

a a

3 0 a

1 0 1

=





 





  =

−





 





  = ⋅

−





 





 

da cui ponendo

a = 1

si ottiene:

r x ₃

1 0 1

=

−





 





 

I tre autovettori linearmente indipendenti della matrice A sono:

r r r

x ₁ x ₂ x ₃

1 2 1

1 1 1

1 0 1

= −





 





  =





 





  =

−





 





 

La matrice A è simile alla matrice diagonale M che presenta, lungo la diagonale principale, gli autovalori dell’endomorfismo, ovvero:

M = P

 −



 





  = −

−





 





  1 0 0

0 2 0 0 0 1

1 1 1 2 1 0 1 1 1

La matrice diagonalizzante P, sopra riportata, è ottenuta accostando gli autovettori

x

i associati ai rispettivi autovalori

λ λ λ λ

i.

Si verifica inoltre (si consiglia l’utilizzo di Matlab o Excel) che le tre matrici A, M e P soddisfano la relazione:

M = P

^-1

·A·P

.

ESERCIZIO 2.:Stabilire se è diagonalizzabile la matrice A di seguito riportata e in caso affermativo trovare la matrice diagonale M alla quale è simile e la matrice diagonalizzante P.

A =





 





  1 1 3 0 2 3 0 0 1

Si devono calcolare gli autovalori della matrice A. Gli autovalori sono le radici dell’equazione caratteristica:

det(A −−−− λλλλ·I) = 0

; cioè:

0 1

0 0

3 2

0

3 1

1 det 1

0 0

0 1 0

0 0 1 1

0 0

3 2 0

3 1 1 det )

det( =

 







 







−

−

−

=

 







 







 







 







−

 







 







=

−

λ λ

λ λ

λ I A

Ovvero, applicando il calcolo del determinante facendo riferimento all’elemento posto nella terza riga e terza colonna, si deve ricorrere alla relazione:

( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

1 2 0 2 0 2

1 0 1 1 0 1 1

2 1

2 2 3

− − = ⇒ − = ⇒ =

− = ⇒ − − = ⇒ = =

λ λ λ λ

λ λ λ λ λ

Si ottengono tre autovalori non distinti, in particolare; l’autovalore semplice λλλλ1 = 2 e l’autovalore con ordine di molteplicità r = 2 dato da λλλλ2 = 1.

Dato che gli autovalori NON sono distinti, per stabilire se la matrice A è diagonalizzabile si deve fare ricorso alla “CONDIZIONE NECESSARIA E SUFFICIENTE”. Deve, per tanto, risultare soddisfatta la condizione:

rango A ( − λ _i I ) = ( n − r _i )

Nel caso specifico in esame, dovranno essere verificate le seguenti relazioni:

rango A ( − λ ₁ I ) = ( 3 1 − ) = 2 e rango A ( − λ ₂ I ) = ( 3 2 − ) = 1

• Per l’autovalore semplice (r = 1)

λ λ λ λ

1

= 2

si ottiene:

( ) _{( )} ( )

( )

A − I = A − ⋅ I =

−

−

−





 





  =

−

−





 





 

=

=

λ

λ

λ

λ λ λ

λ

1

2

1 1 3

0 2 3

0 0 1

1 1 3 0 0 3 0 0 1

2

Si osserva la presenza di un minore del 2° ordine diverso da zero. Ne consegue che:

rango A ( − λ ₁ I ) = rango A ( − ⋅ 2 I ) = 2

Pertanto, la prima condizione richiesta dalla C.N.E.S. per la diagonalizzazione della matrice A è soddisfatta; infatti:

rango A ( − λ ₁ I ) ( = n − r ₁ ) ⇒ rango A ( − ⋅ 2 I ) = ( 3 1 − ) ⇒ 2 2 =

• Per l’autovalore doppio (r = 2)

λ λ λ λ

2

= 1

si ottiene:

( ) _{( )} ( )

( )

A − I = A − ⋅ I =

−

−

−





 





  =





 





 

=

=+

λ

λ

λ

λ λ λ

λ

2

1

1 1 3

0 2 3

0 0 1

0 1 3 0 1 3 0 0 0

1

La matrice presenta la terza riga costituita da tutti zero, inoltre la prima e la seconda riga sono uguali; pertanto tutti i minori del secondo ordine sono nulli. Ne consegue che:

rango A ( − λ ₂ I ) = rango A ( − ⋅ 1 I ) = 1

Anche, la seconda condizione richiesta dalla C.N.E.S. per la diagonalizzazione della matrice A è soddisfatta; infatti:

rango A ( − λ ₂ I ) ( = n − r ₂ ) ⇒ rango A ( − ⋅ 1 I ) ( = 3 2 − ) ⇒ = 1 1

Si conclude che la matrice A È diagonalizzabile e quindi è simile ad una matrice diagonale M che ha lungo la diagonale principale gli autovalori di A; si ottiene pertanto:

M =





 





  2 0 0 0 1 0 0 0 1

Sia x il vettore di componenti x = (a, b, c).

• Gli autovettori relativi all’autovalore semplice λλλλ1 = 2, sono le soluzioni del sistema:

det( A ) x

a b c

a b c c

c

a b

− ⋅ = ⇒ c

−

−















 ⋅















 = ⇒

− + + =

=

− =



 



⇒ =

=

  λ _{1 1} 0 

1 1 3 0 0 3 0 0 1

0

3 0 3 0

0 0

r

L’autovettore relativo all’autovalore λλλλ1 = 2 assume la forma seguente:

x r

a a c

1 a

1 1 0

=





 





  = ⋅





 





 

da cui ponendo

a = 1

si ha:

r x ₁

1 1 0

=





 





 

L’autospazio relativo a λλλλ₁ = 2 ha, pertanto, dimensione uno.

• Gli autovettori relativi all’autovalore doppio λλλλ2 = λλλλ3 = 1 sono le soluzioni del sistema:

det( A ) x

a b c

b c

b c b c

− ⋅ = ⇒















 ⋅















 = ⇒

+ = + =

=



 



⇒ = − λ ₂ 0

0 1 3 0 1 3 0 0 0

0

3 0 3 0 0 0 r 3

Pertanto

b = -3c

mentre

a

e

c

risultano arbitrari. Gli autovettori relativi all’autovalore doppio λ

λλ

λ2 = λλλλ3 =1 assumono la forma:

x r

a c c

a c

= −















 = ⋅















 + ⋅ −













 3 

1 0 0

0 3 1

da cui si ricavano i due autovettori indipendenti, che generano l’autospazio, di dimensione due, relativo all’autovalore doppio λλλλ2 = λλλλ3 =1; infatti si ottiene:

x r ₂ 1 0 0

=





 





 

ottenuto ponendo

a = 1

e

c = 0

;

r x ₃

0 3 1

= −





 





 

ottenuto ponendo

a = 0

e

c = 1

; Si conclude, pertanto, che la matrice diagonalizzante P ha la forma di seguito riportata:

P _a = −





 





  1 1 0 1 0 3

0 0 1

oppure, anche:

P _b = −





 





  1 0 1 1 3 0

0 1 0

Si osservi che nella individuazione delle matrici diagonalizzanti P_a e P_b, atteso la già definita struttura della matrice M, la prima colonna è costituita dall’autovettore relativo all’autovalore λλλλ1, la seconda e terza colonna devono essere costituite dai due autovettori indipendenti che generano l’autospazio relativo a λλλλ2 = λλλλ3.

Si può verificare (si consiglia l’utilizzo di Matlab o di Excel) che le tre matrici A, M e Pa, ovvero le tre matrici A, M e Pb, soddisfano la relazione seguente:

M = P _a ^{− 1} ⋅ A P ⋅ _a = P _b ^{− 1} ⋅ A P ⋅ _b

Per determinare la matrice diagonalizzante P tale che sia:

M = P

^-1

·A·P

bisogna determinare gli

autovettori

della matrice A, ovvero i

vettori

x

soluzioni dell’equazione:

(A −−−− λλλλ·I)·x = 0

ESERCIZIO 3.: Stabilire se è diagonalizzabile la matrice A di seguito riportata.

A =

−





 





  1 2 3 0 1 0 0 4 1

Si devono calcolare gli autovalori della matrice A. Gli autovalori sono le radici dell’equazione caratteristica:

det(A −−−− λλλλ·I) = 0

; cioè:

0 1

4 0

0 1

0

3 2

1 det 1

0 0

0 1 0

0 0 1 1

4 0

0 1 0

3 2 1 det )

det( =

 







 







−

−

−

−

=

 







 







 







 







 −

 





 







−

=

−

λ λ

λ λ

λ I A

Ovvero, applicando il calcolo del determinante facendo riferimento all’elemento posto nella prima riga e prima colonna, si deve ricorrere alla relazione:

− ( 1 − λ ) ( ⋅ 1 − λ ) ( ⋅ 1 + λ ) = − − ( 1 λ ) ( ² 1 + λ ) = 0

dalla quale si evincono le soluzioni seguenti:

λ ₁ = − 1

con ordine di molteplicità:

r

1

= 1

;

λ ₂ = + 1

con ordine di molteplicità:

r

2

= 2

.

Si ottengono tre autovalori non distinti, cioè: l’autovalore semplice λλλλ1 = −−−−1 e l’autovalore λλλλ2 = 1 con ordine di molteplicità r2 = 2.

Dato che gli autovalori non sono distinti, per stabilire se la matrice A è diagonalizzabile bisogna fare ricorso alla CONDIZIONE NECESSARIA E SUFFICIENTE. Deve, pertanto, risultare soddisfatta la condizione:

rango A ( − λ _i I ) = ( n − r _i )

Nel caso specifico in esame, dovranno essere verificate le seguenti relazioni:

rango A ( − λ ₁ I ) ( = 3 1 − ) = 2 rango A ( − λ ₂ I ) ( = 3 2 − ) = 1

• Per l’autovalore semplice (r1 = 1)

λ λ λ λ

1

= −−−−1,

si ottiene:

( ) _{( )}

( )

A − I =

−

−

− −















 =

















=

=−

λ

λ

λ

λ λ λ

λ

1

1 2 3

0 1 0

0 4 1

2 2 3 0 2 0 0 4 0

1

Si osserva la presenza di un minore del 2° ordine diverso da zero. Ne consegue che:

rango A ( − λ ₁ I ) = 2

Pertanto, la prima condizione richiesta dalla C.N.E.S. per la diagonalizzazione della matrice A è soddisfatta.

• Per l’autovalore doppio (r2 = 2)

λ λ λ λ

2

= +1,

si ottiene:

( ) _{( )}

( )

A − I =

−

−

− −





 





  =

−





 





 

=

=+

λ

λ

λ

λ λ λ

λ

2

1 2 3

0 1 0

0 4 1

0 2 3 0 0 0 0 4 2

1

Si osserva la presenza di un minore del 2° ordine diverso da zero. Ne consegue che:

rango A ( − λ ₂ I ) = 2 mentre ( n − r ₂ ) = ( 3 2 − ) = 1 ⇒ 2 1 ≠

Pertanto, la seconda condizione richiesta dalla C.N.E.S. per la diagonalizzazione della matrice A NON È SODDISFATTA; ne consegue che

la matrice A NON È diagonalizzabile

.

ESERCIZIO 4.:Dire se esistono dei valori del parametro k per cui risulta diagonalizzabile la matrice A di seguito riportata.

A

k

= k





 





  2 4 6

0 8

0 0 3

Si devono calcolare gli autovalori della matrice A. Gli autovalori sono le radici dell’equazione caratteristica:

det(A −−−− λλλλ·I) = 0

; cioè:

 







 







−

−

−

=

 







 







 







 







 −

 





 







=

−

λ λ

λ λ

λ

3 0 0

8 0

6 4

2 det 1

0 0

0 1 0

0 0 1 3

0 0

8 0

6 4 2 det )

det( k

k k

k I

A

Ovvero, poiché trattasi di una matrice triangolare bassa, risulta

det(A −−−− λλλλ·I) = 0

quandorisulta soddisfatta la seguente relazione:

0 ) 3 ( ) (

) 2

( k − λ ⋅ k − λ ⋅ − λ =

dalla quale si evincono le soluzioni seguenti:

( )

( )

( )

3 0

0

2 0

3 2

− =

− =

− =

⇒ =

⇒ =

⇒ =

λ λ

λ

λ λ λ k

k

k k

In virtù della “CONDIZIONE SUFFICIENTE affinché la matrice A sia diagonalizzabile è che esistano autovalori distinti” la matrice

A È

senz’altro

diagonalizzabile

se sono soddisfatte le condizioni che impongono

tre autovalori distinti

:

k

k k

k

k k k

≠

≠

≠

⇒ ≠

⇒ ≠

⇒ ≠

3 2

2 3

3 0 3 2

Esaminiamo ora gli altri casi. Se è

k = 3

, oppure

k = 3/2

, oppure

k = 0

, la matrice

A(k)

assume, rispettivamente, le forme seguenti:

A _{( k = )} = A _{( k = / )} A _{( k = )}





 





  =





 





  =





 





 

3 3 2 0

6 4 6 0 3 8 0 0 3

3 4 6

0 3 2 8

0 0 3

0 4 6 0 0 8 0 0 3

• Per

k = 3

, la matrice

A

(k=3) ha treautovalorinondistinti, cioè:l’autovalore semplice λλλλ1=6 e l’autovalore doppio λλλλ2 =3, cioé con ordine di molteplicità r2 =2. Dato che gli autovalori non sono distinti, per stabilire se la matrice A è diagonalizzabile si deve far ricorso alla condizione NECESSARIA E SUFFICIENTE. Deve cioè risultare soddisfatta la relazione seguente:

rango A ( − λ _i I ) = ( n − r _i )

Nel caso specifico in esame, si ottiene:

[ ]

rango A ( _{( k )} I ) rango ; ( n r _i ) ( )

( )

= − = =





 





  = − = − =

3 3

3 4 6 0 0 8 0 0 0

2 3 2 1

λ λ

Poiché risulta che:

^{rango A} [ ^{( ( k = 3 ) − λ I )} ] _{( λ = 3 )} ^{≠ ( n r − i ) cioè 2 1 ≠}

La condizione necessaria e sufficiente perché

A

(k = 3) sia diagonalizzabile NON È soddisfatta.

Si conclude, pertanto, che per

k = 3

, la matrice

A

_{(k = 3)} NON È diagonalizzabile.

• Per

k = 3/2

, la matrice

A

(k=3/2) presenta tre autovalori non distinti, cioè: l’autovalore semplice λ

λλ

λ1=3/2 e l’autovalore doppio λλλλ2=3, con ordine di molteplicità r2=2. Dato che gli autovalori non sono distinti, per stabilire se la matrice A è diagonalizzabile si fa ricorso alla condizione NECESSARIA E SUFFICIENTE. Deve cioè risultare soddisfatta la relazione seguente:

rango A ( − λ _i I ) = ( n − r _i )

Nel caso specifico in esame, si ottiene:

[ ]

1 ) 2 3 ( ) (

2 0 0 0

8 2 3 0

6 4 0

)

(

( 3 2) ( 3)

=

−

=

−

=

 







 







−

=

−

=

=

i k

r n

rango I

A rango

λ

λ

Poiché risulta che:

^{rango A} [ ^{( ( k = 3 2 / ) − λ I )} ] _{( λ = 3 )} ^{≠ ( n r − i ) cioè 2 1 ≠}

La condizione necessaria e sufficiente perché

A

(k = 3/2) sia diagonalizzabile NON È soddisfatta Si conclude, pertanto, che per

k = 3/2

, la matrice

A

(k = 3/2) NON È diagonalizzabile.

• Per

k = 0

, la matrice

A

(k = 0) ha tre autovalori non distinti, cioè: l’autovalore semplice λλλλ1 =3 e l’autovalore doppio λλλλ2=0, ovvero con ordine di molteplicità r2 =2. Dato che gli autovalori non sono distinti, per stabilire se la matrice A è diagonalizzabile si deve far ricorso alla condizione NECESSARIA E SUFFICIENTE. Deve cioè risultare soddisfatta la relazione seguente:

rango A ( − λ _i I ) = ( n − r _i )

Nel caso specifico in esame, si ottiene:

[ ] ^{2 ; ( ) ( 3 2 ) 1}

3 0 0

8 0 0

6 4 0 )

(

( 0) ( 0)

= − = − =

 







 







=

−

=

= i

k

I rango n r

A rango

λ

λ

Poiché risulta che:

^{rango A} [ ^{( ( k = 0 ) − λ I )} ] _{( λ = 0 )} ^{≠ ( n r − i ) cioè 2 1 ≠}

La condizione necessaria e sufficiente perché

A

(k = 0) sia diagonalizzabile NON È soddisfatta.

Si conclude, pertanto, che per

k = 0

, la matrice

A

_{(k = 0)} NON È diagonalizzabile.

ESERCIZIO 5.:Stabilire per quali valori del parametro h è diagonalizzabile la matrice A di seguito riportata ed in tali casi determinare la matrice diagonale simile ad A.

A h

h h

= −





 





 

0 0

5 2 0

0 3

Si devono determinare gli autovalori della matrice A. Gli autovalori sono tutte e solo le radici dell’equazione caratteristica:

det(A −−−− λλλλ·I) = 0

; cioè:

det( A I ) det ( ) ( ) ( )

h

h h

h h

− =

−

− −

−





 





  = − ⋅ − ⋅ − − λ

λ

λ

λ

λ λ λ

0 0

5 2 0

0 3

3 2

Dato che si tratta di una matrice triangolare alta, risulta

det(A −−−− λλλλ·I) = 0

quandorisulta nullo il prodotto degli elementi posti sulla diagonale principale, cioè quando è soddisfatta la seguente relazione:

( 2 − − h λ ) ( ⋅ h − λ ) ( ⋅ 3 − λ ) = 0

dalla quale si evincono le soluzioni seguenti:

( )

( )

( )

3 0

0

2 0

3 2

− =

− =

− − =

⇒ =

⇒ =

⇒ = −

λ λ

λ

λ λ λ h

h

h h

In virtù della “CONDIZIONE SUFFICIENTE affinché la matrice A sia diagonalizzabile è che esistano autovalori distinti” la matrice

A

è senz’altro

diagonalizzabile

se sono

soddisfatte

le

condizioni

che

impongono tre autovalori distinti

:

h

h h

h

h h h

≠

≠ −

≠ −

⇒ ≠

⇒ ≠

⇒ ≠ − 3

2 3 2

3 1

1

Sotto queste condizioni del parametro h, una matrice diagonale simile ad A è la matrice che ha lungo la diagonale principale gli autovalori di A; si ottiene, pertanto:

M h

= − h





 





 

0 0

0 2 0

0 0 3

Esaminiamo ora gli altri casi. Se è

h = 1

, oppure

h = 3

, oppure

h = −−−−1

, la matrice

A(h)

assume, rispettivamente, le forme seguenti:

A _{( h = )} = A _{( h = )} A _{( h = − )}





 





  = −





 





  =

 −



 





 

1 3 1

1 0 0 5 1 0 0 0 3

3 0 0 5 1 0 0 0 3

1 0 0 5 3 0 0 0 3

• Per

h = 1

, la matrice

A

_(h=1) ha tre autovalori non distinti, cioè: l’autovalore semplice λλλλ1 = 3 e l’autovalore doppio λλλλ2 = 1, ovvero con ordine di molteplicità r2 = 2. Dato che gli autovalori non sono distinti, per stabilirese la matriceAè diagonalizzabile bisognafar ricorso allaCondizione NECESSARIA E SUFFICIENTE. Deve pertanto risultare soddisfatta la relazione seguente:

rango A ( − λ _i I ) = ( n − r _i )

Nel caso specifico in esame di λλλλ2 = 1, si ottiene:

[ ]

rango A ( _{( h )} I ) rango ; ( n r _i ) ( )

( )

= − = =





 





  = − = − =

1 1

0 0 0 5 0 0 1 0 2

2 3 2 1

λ λ

Poiché risulta che:

^{rango A} [ ^{( ( h = 1 ) − λ I )} ] _{( λ = 1 )} ^{≠ ( n r − i ) cioè 2 1 ≠}

la condizione necessaria e sufficiente affinché

A

_(h=1) sia diagonalizzabile NON È soddisfatta.

Si conclude, pertanto, che per

h = 1

, la matrice

A

(h = 1) NON È diagonalizzabile.

• Per

h = 3

, la matrice

A

_{(h = 3)} ha tre autovalori non distinti, cioè: l’autovalore semplice λλλλ1 = −−−−1 e l’autovalore doppio λλλλ2 = 3, ovvero con ordine di molteplicità r2 = 2. Dato che gli autovalori non sono distinti, al fine di stabilire se la matrice A è diagonalizzabile bisogna fare ricorso alla Condizione NECESSARIA E SUFFICIENTE. Deve, pertanto, risultare soddisfatta la relazione seguente:

rango A ( − λ _i I ) = ( n − r _i )

Nel caso specifico in esame di λλλλ2 = 3, si verifica che:

[ ] ²

0 0 3

0 4 5

0 0 0 )

3 [(

)

( _{( 3 )}

) 3 ) (

3

( =

 







 







−

=

−

=

− ₌

= I = rango A I rango

A

rango _{h h}

λ λ

mentre risulta, inoltre:

(n −−−− r

i

) = 3 −−−− 2 = 1

Poiché risulta che:

^{rango A} [ ^{( ( h = 3 ) − λ I )} ] _{( λ = 3 )} ^{≠ ( n r − i ) cioè 2 1 ≠}

la condizione necessaria e sufficiente affinché

A

(h=3) sia diagonalizzabile NON È soddisfatta.

Si conclude, pertanto, che per

h = 3

, la matrice

A

_{(h = 3)} NON È diagonalizzabile.

• Per

h = −−−−1

, la matrice

A

_(h=-1) ha tre autovalori non distinti: l’autovalore semplice λλλλ1 = −−−−1 e l’autovalore doppio λλλλ2 = 3, ovvero con ordine di molteplicità r2 = 2. Poiché gli autovalori non sono distinti, per stabilire se la matrice A è diagonalizzabile si deve fare ricorso alla Condizione NECESSARIA E SUFFICIENTE. Deve cioè risultare soddisfatta la relazione seguente:

rango A ( − λ _i I ) = ( n − r _i )

Nel caso specifico in esame di λλλλ₂ = 3, si ottiene:

[ ] ¹

0 0 1

0 0 5

0 0 4 )

3 (

)

( _{( 1 )}

) 3 ) (

1

( =

 







 







−

−

=

−

=

− _{= −}

− =

= I rango A I rango

A

rango _{h h}

λ λ

ed ancora:

(n −−−− r

i

) = 3 −−−− 2 = 1

Poiché risulta che:

^{rango A} [ ^{( ( h =− 1 ) − λ I )} ] _{( λ = 3 )} ^{= ( n r − i ) cioè 1 1 =}

la 1ª condizione necessaria e sufficiente affinché

A

(h = −−−−1) sia diagonalizzabile È soddisfatta.

Dobbiamo ora verificare che la 2ª condizione necessaria e sufficiente sia soddisfatta anche nel caso dell’autovalore semplice λλλλ1 = −−−−1. In tale caso specifico si ottiene:

[ ]

rango A ( _{( h )} I ) rango A ( _h I ) rango

( ) ( )

=− − =− = =− + =





 





  =

1 1 1

0 0 0 5 4 0 0 0 4 λ 2

λ

ed ancora:

(n −−−− r

i

) = 3 −−−− 1 = 2

Poiché risulta che:

^{rango A} [ ^{( ( h =− 1 ) − λ I )} ] _{( λ =− 1 )} ^{= ( n r − i ) cioè 2 2 =}

la 2ª condizione necessaria e sufficiente affinché

A

(h = −−−−1) sia diagonalizzabile È soddisfatta.

Si conclude, pertanto, che per

h = −−−−1

, la matrice

A

(h = −−−−1) “È diagonalizzabile”. Una matrice diagonale M simile ad A è la matrice che ha lungo la diagonale principale gli autovalori di

A

(h = −−−−1); pertanto, si ottiene:

M _{( h = − )} =

 −



 





 

1

1 0 0

0 3 0

0 0 3

ESERCIZIO 6.: Determinare i valori del parametro h per cui è diagonalizzabile la matrice di seguito riportata ed in tali casi determinare la matrice diagonale simile a A.

A h

h

=

− +





 





 

3 2 0

0 0

0 0 2

Si devono calcolare gli autovalori della matrice A. Gli autovalori sono le radici dell’equazione caratteristica:

det(A −−−− λλλλ·I) = 0

; cioè:

det( A I ) det h ( ) ( ) ( )

h

h h

− =

−

−

− + −





 





  = − ⋅ − ⋅ − − λ

λ

λ

λ

λ λ λ

3 2 0

0 0

0 0 2

3 2

Dato che si tratta di una matrice triangolare bassa, risulta

det(A −−−− λλλλ·I) = 0

quandorisulta nullo il prodotto degli elementi posti sulla diagonale principale, cioè quando è soddisfatta la relazione:

( 2 − − h λ ) ( ⋅ h − λ ) ( ⋅ 3 − λ ) = 0

dalla quale si evincono le soluzioni seguenti:

( )

( )

( )

3 0

0

2 0

3 2

− =

− =

− − =

⇒ =

⇒ =

⇒ = −

λ λ

λ

λ λ λ h

h

h h

In virtù della CONDIZIONE SUFFICIENTE affinché la matrice A sia diagonalizzabile è che esistano autovalori distinti la matrice

A È senz’altro diagonalizzabile

se sono soddisfatte

le

condizioni che impongono tre autovalori distinti

:

h

h h

h

h h h

≠

≠ −

≠ −

⇒ ≠

⇒ ≠

⇒ ≠ − 3

2 3 2

3 1

1

Sotto queste condizioni del parametro h, una matrice diagonale simile ad A è la matrice che ha lungo la diagonale principale gli autovalori di A; si ottiene, pertanto:

M h

h

=

−





 





  3 0 0

0 0

0 0 2

Esaminiamo ora gli altri casi. Se è

h = 3

, oppure

h = 1

, oppure

h = −−−−1

, la matrice

A(h)

assume, rispettivamente, le forme seguenti:

 







 







−

 =

 





 







 =

 





 







−

=

_{= =−}

=

3 0 0

0 1 0

0 2 3 1

0 0

0 1 0

0 2 3 1

0 0

0 3 0

0 2 3

) 1 ( )

1 ( )

3

(h

A

h

A

h

A

• Per

h = 3

, la matrice

A

_(h=3) ha tre autovalori non distinti, cioè: l’autovalore semplice λλλλ1=−−−−1 e l’autovalore doppio λλλλ2=3, ovvero con ordine di molteplicità r2=2. Dato che gli autovalori non sono distinti, per stabilire se la matrice A è diagonalizzabile bisogna fare ricorso alla Condizione NECESSARIA E SUFFICIENTE. Deve cioè risultare soddisfatta la relazione seguente:

rango A ( − λ _i I ) = ( n − r _i )

Nel caso specifico in esame, si ottiene:

[ ] ^{2 ; ( ) ( 3 2 ) 1}

4 0 0

0 0 0

0 2 0 )

(

( 3) ( 3)

= − = − =

 







 







−

=

−

=

= i

h

I rango n r

A rango

λ λ

Poiché risulta che:

^{rango A} [ ^{( ( h = 3 ) − λ I )} ] _{( λ = 3 )} ^{≠ ( n r − i ) cioè 2 1 ≠}

la condizione necessaria e sufficiente affinché

A

_(h=3) sia diagonalizzabile NON È soddisfatta.

Si conclude, pertanto, che per

h = 3

, la matrice

A

(h = 3) NON È diagonalizzabile.

• Per

h = 1

, la matrice

A

(h = 1) ha tre autovalori non distinti, cioè: l’autovalore semplice λλλλ1 = 3 e l’autovalore doppio λλλλ2 = 1, ovvero con ordine di molteplicità r2 = 2. Dato che gli autovalori non sono distinti, al fine di stabilire se la matrice A è diagonalizzabile bisogna fare ricorso alla Condizione NECESSARIA E SUFFICIENTE. Deve, pertanto, risultare soddisfatta la relazione seguente:

rango A ( − λ _i I ) = ( n − r _i )

Nel caso specifico in esame, si verifica che:

[ ]

rango A ( _{( h )} I ) rango A [( _h I ) rango

( ) ( )

= − = = = − =





 





  =

1 1 3

2 2 0 0 0 0 0 0 0

1 λ λ

risulta, inoltre:

(n −−−− r

i

) = 3 −−−− 2 = 1

Poiché risulta che:

^{rango A} [ ^{( ( h = 1 ) − λ I )} ] _{( λ = 1 )} ^{= ( n − r i ) cioè 1 1 ≠}

la condizione necessaria e sufficiente affinché

A

(h = 3) sia diagonalizzabile È soddisfatta.

Si conclude, pertanto, che per

h = 1

, la matrice

A

_{(h = 1)} È diagonalizzabile.

Una matrice diagonale M simile ad

A

(h = 1) è la matrice che ha lungo la diagonale principale gli autovalori di

A

(h = 1); pertanto, si ottiene:

M _{( h = )} =





 





 

1

3 0 0 0 1 0 0 0 1

• Per

h = −−−−1

, la matrice

A

_{(h=−−−−1)} ha tre autovalori non distinti: l’autovalore semplice λλλλ1 = −−−−1 e l’autovalore doppio λλλλ2 = 3, ovvero con ordine di molteplicità r2 = 2. Poiché gli autovalori non sono distinti, per stabilire se la matrice A è diagonalizzabile si deve fare ricorso alla Condizione NECESSARIA E SUFFICIENTE. Deve cioè risultare soddisfatta la relazione seguente:

rango A ( − λ _i I ) = ( n − r _i )

Nel caso specifico in esame, si ottiene:

[ ]

rango A ( _{( h )} I ) rango A ( _h I ) rango

( ) ( )

=− − = = =− − = −





 





  =

1 3 1 3

0 2 0 0 4 0 0 0 0

1 λ λ

ed ancora:

(n −−−− r

i

) = 3 −−−− 2 = 1

Poiché risulta che:

^{rango A} [ ^{( ( h =− 1 ) − λ I )} ] _{( λ = 3 )} ^{= ( n r − i ) cioè 1 1 =}

la condizione necessaria e sufficiente affinché

A

(h = −−−−1) sia diagonalizzabile È soddisfatta.