Matrice inversa di una matrice quadrata

(1)

Matrice inversa di una matrice quadrata

Una matrice quadrata

A

^-1si dice inversa della matrice quadrata

A

^{se vale}

AxA

^-1

= A

^-1

xA = i

Oss

.: non si può fare l'inverso dello zero la matrice inversa delle matrici il cui determinante vale zero (vengono chiamate matrici singolari)

Per calcolare una matrice inversa dobbiamo:

1. Calcolare il valore del determinante della matrice, chiamiamolo det(A) e vediamo se e' diverso da zero; se e' uguale a zero non esiste la matrice inversa

2. Calcolare la trasposta della matrice di partenza (basta scambiare tra loro le righe con le colonne)

3. Per ogni elemento della matrice trasposta calcolarne il complemento algebrico, considerando il complemento algebrico come elemento otteniamo una nuova matrice, chiamiamola A' (si chiama matrice aggiunta)

4. Adesso dividiamo la matrice A' per det(A) (cioè dividiamo ogni termine per det(A)) e otteniamo l'inversa della matrice quadrata di partenza

Esempio

A =

1 1 2 2 1 2 1 -2 1

Voglio trovare l'inversa

A

^-1

1. Calcoliamo il valore del determinante della matrice A

A =

1 1 2 2 1 2 1 -2 1

= -5

2. Calcolo la trasposta della matrice di partenza (scambio tra loro le righe con le colonne)

A

^T

=

1 2 1 1 1 -2 2 2 1

3. Per ogni elemento del determinante della matrice trasposta calcolo il

complemento algebrico; nel calcolo ricordati di cambiare di segno gli elementi di posto dispari

(2)

C1,1 = 5 C1,2 = -5 C1,3 = 0 C2,1 = 0 C2,2 = -1 C2,3 = 2 C3,1 = -5 C3,2 = 3 C3,3 = -1 4.

consideriamo quindi la matrice A' che ha come elementi i complementi algebrici trovati

A' =

5 -5 0 0 -1 2 -5 3 -1

5. Adesso divido la matrice A' per il valore del determinante di A (che valeva -5) e ottengo la matrice A^-1 cioè l'inversa di quella di partenza

A

^-1

=

1

-

^---

5

5 -5 0 0 -1 2 -5 3 -1

=

-1 1 0 0 1/5 -2/5 1 -3/5 1/5