Università degli studi di Modena e Reggio Emilia. Dipartimento di Scienze e Metodi dell Ingegneria. Analisi Matematica

Università degli studi di Modena e Reggio Emilia Dipartimento di Scienze e Metodi dell’Ingegneria

Analisi Matematica

docente prof.ssa Luisa Malaguti

Serie numeriche

Grazie al concetto di limite possiamo estendere l’operazione algebrica di somma ad un numero infinito di addendi.

a₀ + a1 + a2 + ...

Definizione Data una successione di numeri reali {aⁿ} chiameremo serie dei termini a_n l’operazione di somma degli infiniti an e la indicheremo formalmente

X+∞

n=0

a_n

(serie (o somma) per n che va da 0 a +∞ degli aⁿ).

Successione delle somme parziali

X+∞

n=0

a_n

s₀ = a₀

s₁ = a₀ + a₁

s₂ = a0 + a1 + a2

...

s_n = a₀ + a₁ + ... + an =sn−1 + an

... s_n = Pn

k=0 a_k

s_n - somma parziale (o ridotta) n-esima della serie {sⁿ} - successione delle somme parziali

Serie convergenti, divergenti o irregolari

X+∞

n=0

a_n

s₀ = a₀ ...

s_n = a0 + a1 + ... + an

...

Definizione Diremo che la serie `e convergente, divergente o irregolare se la successione delle somme parziali {s<sup>n</sup>} `e (rispettivamente) convergente, divergente o irregolare. In particolare, se s_n → s, diremo che s `e la somma della serie

P_+∞

n=0 a_n = s

Si sommano i termini ak fino a quello di posto n e si valuta il limite per n che tende all’infinito. Se questo limite esiste finito, si dice che `e possibile sommare gli infiniti an.

Studio del carattere di una serie

X+∞

n=0

a_n

s₀ = a₀ ...

s_n = a₀ + a₁ + ... + an

...

Studiare il carattere di una serie significa stabilire se la serie `e convergente, divergente o irregolare.

Talvolta risulter`a necessario sommare i termini an a partire da quello di posto N ; in questo caso si scrive

X+∞

n=N

a_n. Altre volte useremo il simbolo pi`u sintetico P a<sub>n</sub>, questo quando sar`a chiaro dal contesto da quale indice N occorra far partire la sommatoria.

Studio del carattere di una serie. Esempi

Esempi

•

X+∞

n=0

qⁿ serie geometrica di ragione q. Essa risulta:

convergente per |q| < 1 e X+∞

n=0

qⁿ = 1

1 − q divergente per q ≥ 1 irregolare per q ≤ −1.

Infatti

s_n =

( 1 + 1 + ... + 1 = n + 1 q = 1

1 + q + ... + qⁿ = ^1−q_1−qⁿ⁺¹ q 6= 1 lim

n→+∞qⁿ⁺¹ = 8

<

:

0 |q| < 1 +∞ q > 1 6 ∃ q ≤ −1

n→+∞lim s_n = 8

><

>:

1

1−q |q| < 1 +∞ q ≥ 1 6 ∃ q ≤ −1

Studio del carattere di una serie. Esempi

Esempi

•

X+∞

n=0

qⁿ serie geometrica di ragione q. Essa risulta:

convergente per |q| < 1 e X+∞

n=0

qⁿ = 1 1 − q divergente per q ≥ 1

irregolare per q ≤ −1.

•

X+∞

n=1

1

n serie armonica. `E divergente.

•

X+∞

n=0

(−1)ⁿ E una serie` irregolare.

Studio del carattere di una serie. Esempi

Esempi

•

X+∞

n=0

qⁿ serie geometrica di ragione q. Essa risulta:

convergente per |q| < 1 e X+∞

n=0

qⁿ = 1 1 − q divergente per q ≥ 1

irregolare per q ≤ −1.

•

X+∞

n=1

1

n serie armonica. `E divergente.

•

X+∞

n=0

(−1)ⁿ E una serie` irregolare, infatti s₀ = 1, s₁ = 1 − 1 = 0, s₂ = 1 − 1 + 1 = 1, ... s_n =

 1 se n `e pari 0 se n `e dispari

• quindi 6 ∃ lim

n→+∞s_n

La serie di Mengoli

•

X+∞

n=1

1

n² + n serie di Mengoli

scomposizione in fratti semplici: 1

n² + n = 1

n − 1

n + 1 =⇒

X+∞

n=1

1

n − 1 n + 1

s₁ = 1 − ¹₂

s₂ = 1 − ¹₂ + ¹₂ − ¹₃ = 1 − ¹₃ .

. .

s_n = 1 − _n+1¹ s_n → 1 per n → +∞

la serie di Mengoli converge e la sua somma `e 1,

X+∞

n=1

1

n² + n = 1

Condizione necessaria affinch` e una serie converga

Proposizione Condizione necessaria affinch`e la serie X+∞

n=0

a_n

converga `e che il termine generale an tenda a zero, cio`e a_n → 0, per n → +∞.

Attenzione La precedente condizione non `e sufficiente a garantire la convergenza della serie. Infatti, la serie armonica

X+∞

n=1

1

n verifica _n¹ → 0, per n → +∞ ma `e una serie divergente.

Condizione necessaria affinch` e una serie converga

Proposizione Condizione necessaria affinch`e la serie X+∞

n=0

a_n

converga `e che il termine generale an tenda a zero, cio`e a_n → 0, per n → +∞.

Dimostrazione

a_n = sn − sⁿ−1 =⇒ lim

n→+∞a_n = lim

n→+∞s_n − sⁿ−1

Poich`e la serie converge s_n → s ∈ R, quindi

n→+∞lim a_n = lim

n→+∞s_n − sⁿ−1 = lim

n→+∞s_n − lim

n→+∞s_n−1 = s − s = 0.

Serie a termini non negativi

Definizione Si dice che la serie P a_n `e a termini non negativi quando a_n ≥ 0 per ogni n.

s_n = sn−1 + an ≥ sⁿ−1, per ogni n

La successione {sⁿ} delle somme parziali `e monotona crescente. Quindi ammette limite in R ∪ {+∞}.

Teorema Una serie P a_n a termini non negativi o `e convergente oppure diverge a +∞.

Serie a termini non negativi Criteri di convergenza

Criteri di convergenza: Condizioni sufficienti a garantire la convergenza della serie data.

Serie a termini non negativi. Criterio del confronto

Criterio del confronto Siano P a_n e P b_n due serie a termini non negativi ed esista N ∈ N tale che a_n ≤ bⁿ per ogni n ≥ N. Allora valgono le seguenti implicazioni:

i) P b_n convergente =⇒ P a_n convergente;

ii) P a_n divergente =⇒ P b_n divergente.

Quando laserie maggiorante P b_n `e convergente, allora lo `e anche la serie minorante P a_n.

Viceversa, quando la serie minorante P a_n `e divergente, lo `e anche la serie maggiorante P b_n

Serie a termini non negativi. Criterio del confronto

Criterio del confronto Siano P a_n e P b_n due serie a termini non negativi ed esista N ∈ N tale che a_n ≤ bⁿ per ogni n ≥ N. Allora valgono le seguenti implicazioni:

i) P b_n convergente =⇒ P a_n convergente;

ii) P a_n divergente =⇒ P b_n divergente.

Dimostrazione del punto i) Per semplicit`a di ragionamento supponiamo an ≤ bⁿ per ogni n. Sia s_n somma parziale n-esima di P a_n, s_n = a0 + a1 + a2 + ... + an;

t_n somma parziale n-esima di P b_n, t_n = b₀ + b₁ + b₂ + ... + bn.

Serie a termini non negativi. Criterio del confronto

Criterio del confronto Siano P a_n e P b_n due serie a termini non negativi ed esista N ∈ N tale che a_n ≤ bⁿ per ogni n ≥ N. Allora valgono le seguenti implicazioni:

i) P b_n convergente =⇒ P a_n convergente;

ii) P a_n divergente =⇒ P b_n divergente.

Dimostrazione del punto i) Per semplicit`a di ragionamento supponiamo an ≤ bⁿ per ogni n. Sia s_n somma parziale n-esima di P a_n, s_n = a0 + a1 + a2 + ... + an;

t_n somma parziale n-esima di P b_n, t_n = b₀ + b₁ + b₂ + ... + bn.

Sappiamo che

• s_n ≤ tⁿ per ogni n

• t_n → t ∈ R per n → +∞ ⇐⇒ P b_n = t

• s_n → s ∈ R ∪ {+∞}, per n → +∞ cio`e {sⁿ} ha limite

Serie a termini non negativi. Criterio del confronto

Criterio del confronto Siano P a_n e P b_n due serie a termini non negativi ed esista N ∈ N tale che a_n ≤ bⁿ per ogni n ≥ N. Allora valgono le seguenti implicazioni:

i) P b_n convergente =⇒ P a_n convergente;

ii) P a_n divergente =⇒ P b_n divergente.

Dimostrazione del punto i) Sia

s_n somma parziale n-esima di P a_n, s_n = a0 + a1 + a2 + ... + an;

t_n somma parziale n-esima di P b_n, t_n = b₀ + b₁ + b₂ + ... + bn.

Sappiamo che

• s_n ≤ tⁿ per ogni n

• t_n → t ∈ R per n → +∞ ⇐⇒ P b_n = t

• s_n → s ∈ R ∪ {+∞}, per n → +∞ cio`e {sⁿ} ha limite

Allora s_n → s ≤ t poich`e i limiti conservano le dsuguaglianze e quindi P a_n converge.

Serie a termini non negativi Criterio del confronto asintotico

Criterio del confronto asintotico Se le due successioni {aⁿ} e {bⁿ} sono asintotiche:

a_n ∼ bⁿ, cio`e lim

n→+∞

a_n

b_n = 1

allora le corrispondenti serie P a_n e P b_n hanno lo stesso carattere (cio`e o sono entrambe convergenti o sono entrambe divergenti).

Serie armonica generalizzata

X+∞

n=1

1

n^α α > 0

Essa risulta:

divergente per α ≤ 1 convergente per α > 1

Serie armonica generalizzata

X+∞

n=1

1

n^α α > 0 divergente per α≤ 1 convergente per α> 1

Infatti

(i) α ∈ (0, 1). Si ha che _n¹ < _nα¹ per ogni n.

Quindi la serie armonica P ₁

n `e una minorante divergente di P ₁

nα

Per il criterio del confronto (con la serie armonica) P ₁

nα diverge.

(ii) α = 2. Si ha che ¹

n2 ∼ _n2+n¹ .

Ricordiamo che la serie di Mengoli P ₁

n2+n converge.

Per il criterio del confronto asintotico (con la serie di Mengoli) P ₁

n2 converge.

(iii) α > 2. Si ha che _nα¹ < ¹

n2 per ogni n.

Quindi la serie P ₁

n2 `e una maggiorante convergente di P ₁

nα

Per il criterio del confronto (con la serie armonica generalizzata P ₁

n2 ) la serie P ₁

nα converge.

Osservazione importante sulle serie asintotiche

X+∞

n=1

1

n² = π² 6 ,

X+∞

n=1

1

n² + n = 1

ricordiamo che: ¹

n2 ∼ _n2+n¹

Il criterio del confronto asintotico ci dice che due serie (a termini non negativi) asintotiche hanno lo stesso carattere.

L’esempio precedente mostra che non hanno, di norma, anche la stessa somma.

Serie a termini non negativi. Criterio della radice

Criterio della radice Sia P a_n una serie a termini non negativi. Supponiamo che esista il seguente limite:

n→+∞lim

√n a_n = l;

si ha:

i) se l < 1 la serie `e convergente;

ii) se l > 1 la serie `e divergente;

iii) se l = 1 nulla si pu`o concludere.

Dimostrazione del punto i)

• Da √ⁿ a_n ≥ 0, poich`e i limiti conservano le disuguaglianze, segue che l ≥ 0.

• Poich`e l < 1 possiamo prendere  > 0 tale che l +  < 1.

• Dalla definizione di limite esiste N ∈ N tale che √ⁿ a_n ≤ l +  < 1 per ogni n > N.

Serie a termini non negativi. Criterio della radice

Criterio della radice Sia P a_n una serie a termini non negativi. Supponiamo che esista il seguente limite:

n→+∞lim

√n

a_n = l;

si ha:

i) se l < 1 la serie `e convergente;

ii) se l > 1 la serie `e divergente;

iii) se l = 1 nulla si pu`o concludere.

Dimostrazione del punto i)

• Da √ⁿ a_n ≥ 0, poich`e i limiti conservano le disuguaglianze, segue che l ≥ 0.

• Poich`e l < 1 possiamo prendere  > 0 tale che l +  < 1.

• Dalla definizione di limite esiste N ∈ N tale che √ⁿ a_n ≤ l +  < 1 per ogni n > N.

• Elevando alla potenza n otteniamo a_n ≤ (l + )ⁿ per ogni n > N .

Serie a termini non negativi. Criterio della radice

Criterio della radice Sia P a_n una serie a termini non negativi. Supponiamo che esista il seguente limite:

n→+∞lim

√n

a_n = l;

si ha:

i) se l < 1 la serie `e convergente;

ii) se l > 1 la serie `e divergente;

iii) se l = 1 nulla si pu`o concludere.

Dimostrazione del punto i)

• Poich`e l < 1 possiamo prendere  > 0 tale che l +  < 1.

• Dalla definizione di limite esiste N ∈ N tale che √ⁿ a_n ≤ l +  < 1 per ogni n > N.

• Elevando alla potenza n otteniamo a_n ≤ (l + )ⁿ per ogni n > N .

• Osserviamo che P (l + )ⁿ `e una serie geometrica di ragione l +  ∈ (0, 1) quindi convergente.

• Allora P a ha una maggiorante convergente e, quindi, converge per il criterio del confronto

Serie a termini non negativi. Criterio del rapporto

Criterio del rapporto Sia P a_n una serie a termini positivi (cio`e a_n > 0 per ogni n). Supponiamo che esista il seguente limite:

n→+∞lim

a_n+1

a_n = l si ha:

i) se l < 1 la serie `e convergente;

ii) se l > 1 la serie `e divergente;

iii) se l = 1 nulla si pu`o concludere.

Serie a termini di segno variabile. Convergenza assoluta

Data l’arbitraria serie P a_n, si osservi che la serie dei valori assoluti P |aⁿ|

`e a termini non negativi.

Proposizione Se la serie P |aⁿ| `e convergente, allora lo `e anche P a_n.

Definizione Una serie P a_n si dir`a assolutamente convergente quando converge P |aⁿ|.

Osservazione La precedente proposizione si pu`o riformulare nel seguente modo l’assoluta convergenza =⇒ la convergenza

Serie a termini di segno alterno.

Si incontrano nello studio delle funzioni esponenziali, logaritmiche, goniometriche.

X+∞

n=0

(−1)ⁿa_n, a_n ≥ 0 per ogni n

Criterio di Leibnitz Consideriamo la serie a segni alterni P(−1)ⁿa_n (con an ≥ 0 per ogni n). Se

i) la successione {aⁿ} `e decrescente;

ii) a_n → 0 per n → +∞.

Allora la serie converge.

Serie armonica generalizzata a segni alterni

X+∞

n=1

(−1)ⁿ 1

n^α α > 0

Applicando il criterio di Leibnitz si ottiene che la serie armonica generalizzata a segni alterni converge per ogni α > 0.

Di conseguenza P(−1)^{n 1}_n `e l’esempio di una serie che converge, ma non converge assolutamente.