SOLUZIONE NUMERICA DI PROBLEMI INSTAZIONARI NELLE MACCHINE A FLUIDO

SOLUZIONE NUMERICA DI PROBLEMI INSTAZIONARI NELLE MACCHINE A FLUIDO

Fabio Bozza Raffaele Tuccillo Dipartimento di Ingegneria Meccanica per l’Energetica

Università di Napoli Federico II

INTRODUZIONE

I sistemi di conversione dell’energia basati sui processi termo-fluidodinamici di un fluido motore sono di frequente caratterizzati da condizioni non stazionarie instaurate in taluni casi dalla costituzione della macchine, in altri dalla transizione tra due differenti regimi operativi. E’ noto infatti che nelle macchine volumetriche, quali ad esempio i motori alternativi a combustione interna, si susseguono nel tempo le fasi di trasferimento di energia meccanica e termica e quelle di ricambio della carica: ne consegue una necessaria variazione temporale dello stato termodinamico del gas evolvente cui si accompagna, durante le fasi di immissione e scarico del fluido motore, una propagazione spaziale delle perturbazioni attraverso i dispositivi di aspirazione e scarico. L’intero sistema presenta quindi, anche nelle condizioni usualmente definite di regime, un’instazionarietà di tipo periodico.

Nei casi di sistemi a flusso continuo, quali ad esempio le turbine a gas, l’assenza delle citate instazionarietà nel periodo rende accettabile l’ipotesi di condizioni stazionarie in corrispondenza di un determinato regime; una qualsiasi variazione di condizioni operative, normalmente provocata da una differente richiesta di carico meccanico o termico, induce però fenomeni di transitorio durante i quali le condizioni dei singoli componenti possono allontanarsi in misura significative da quelle ottimali.

Lo studio di problemi non stazionari costituisce quindi uno degli strumenti essenziali per la comprensione di fenomenologie tipiche delle macchine a fluido, quali:

- Le caratteristiche di risposta dinamica e termica della macchina [3, 5, 6, 7, 11, 13, 14];

- Le instabilità globali del sistema o di un singolo componente [4, 9, 12];

- Il consumo di combustibile e la produzione di inquinanti durante le fasi non stazionarie [10, 13, 14];

- I processi di trasferimento di massa durante le fasi di ricambio della carica [21, 22, 23, 24, 25];

- Le emissioni acustiche associate ai flussi pulsanti attraverso i condotti di aspirazione e scarico [29, 30, 31, 32, 33, 34];

In questo lavoro gli autori presentano una rassegna dei metodi da loro adottati per la soluzione di alcuni dei problemi prima citati, attraverso la definizione di appropriati modelli non stazionari e l’integrazione numerica delle relative equazioni. Come si mostrerà nel seguito, i modelli mirano sia alla caratterizzazione globale della risposta del sistema attraverso approcci a parametri concentrati, sia alla descrizione di fenomenologie specifiche di alcuni componenti con metodologie tipiche della fluidodinamica computazionale attraverso approssimazioni monodimensionali o multidimensionali dei domini di calcolo.

Una particolare segnalazione merita l’adozione di metodologie di integrazione tra i vari approcci [4, 11, 12, 21], il cui scopo è l’identificazione della risposta non stazionaria di un sistema complesso, accompagnata dalla verifica fluidodinamica dei processi che richiedono una descrizione più accurata, quali quelli di sviluppo dei processi di combustione non stazionaria e di produzione di

tempo-varianti ai codici di simulazione fluidodinamica e di correggere le indicazioni di massima fornite dai modelli non stazionari di ordine inferiore. Un corretto impiego di tali metodologie rende possibile una realistica descrizione di fenomeni non stazionari complessi e la definizione di opportune leggi di controllo per limitarne gli effetti negativi dal punto di vista energetico e ambientale.

1. MODELLO DINAMICO A PARAMETRI CONCENTRATI DI UNA MICRO- TURBINA A GAS

In questo paragrafo si descrive un metodo di analisi del comportamento non stazionario di una micro-turbina a gas (MTG), che costituisce un sistema di conversione dell’energia di grande attualità nel campo della “generazione distribuita”, adatta quindi all’impiego da parte di utenze con ridotta richiesta di potenza elettrica (usualmente dell’ordine di 10 – 100 kW). Questa sua caratteristica la rende suscettibile di frequenti variazioni di carico che comportano la transizione tra due differenti regimi operativi.

Lo sviluppo del transitorio di una macchina termica è generalmente oggetto di particolare attenzione in quanto possono venir meno le condizioni ottimali che ne garantiscono la sicurezza nei confronti delle sollecitazioni meccaniche e termiche e la migliore efficienza in termini di prestazioni energetiche ed ambientali. L’istituzione di adeguate strategie di controllo richiede preliminarmente l’impostazione di tecniche di simulazione della risposta dinamica dell’intero sistema quando siano imposte condizioni ai limiti variabili nel tempo in modo continuo o impulsivo.

Aria m&a

m&g

m&f R

m&g_,

R

m&g_,

Utenza Termica

R ,

m&a By-pass

Comb.

HRSG

C T

C.C.

Camino

Recup.

By-pass

g bm

X &

~

Fig. 1. Schema d’impianto della Micro-Turbina a Gas

Sebbene lo studio fluidodinamico non-stazionario di un singolo componente sia attualmente affidato ai metodi della fluidodinamica computazionale (CFD) come descritto ai successivi paragrafi, l’adozione di metodi di analisi a parametri concentrati – secondo modelli “zero- dimensionali – può presentare ancora soddisfacente efficacia quando l’obiettivo prevalente sia l’identificazione delle caratteristiche di risposta di un sistema termo-fluidodinamico articolato in diversi sotto-sistemi interconnessi.

Nel caso specifico, la micro-turbina a gas, il cui schema è riportato in fig. 1, è riconducibile a un sistema quale quello in fig. 2, costituito da blocchi interconnessi ciascuno dei quali rappresenta il volume di controllo cui è assimilabile ciascuno dei componenti della micro-turbina:

Fig. 2 : Schema per il modello dinamico della MTG.

- Il compressore

- La valvola di by-pass a valle del compressore - Lo scambiatore di calore rigenerativo (lato aria) - La camera di combustione

- La turbina

- La valvola di by-pass dello scambiatore rigenerativo - Lo scambiatore di calore rigenerativo (lato gas di scarico)

Q&+

P+

m&in

V

u T, p,

in M,

in in,T ,H

p p_ex,T_ex ,H_ex

m&ex

Fig. 3 : Schema di volume di controllo per le equazioni di bilancio.

Per il singolo volume di controllo, schematizzabile, nelle ipotesi fatte, come in fig. 3, valgono le equazioni di bilancio della massa e dell’energia:

P Q H m H dt m

M du dt udM dt dE

m dt m

V d dt dM

ex ex in in ex in

− +

−

= +

=

−

=

=

&

&

&

&

&

ρ

(1)

Va precisato che nella precedente formulazione delle equazioni di bilancio si è già assunta la costanza nel tempo del volume. L’assenza di un’equazione di quantità di moto è giustificata dalla tipica assunzione di variazione di energia cinetica trascurabile rispetto a quella di energia totale attraverso ciascuno dei componenti del sistema.

Le equazioni accessorie che risolvono lo stato istantaneo del sistema sono:

- Equazione di stato del gas evolvente:

(

)

f

p= ρ (2) - Equazione della trasformazione:

ρ ρ

m p

ddp = , in cui:

du Tds m

k

m =

−

−

1 (3) - Equazioni dei flussi di massa:

⎪⎪

⎩

⎪⎪⎨

⎧

= −

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝ Ω ⎛

=

bili) incomprimi (flussi

p m p

li) comprimibi (flussi

p

p p

kR m p

in in in

in in in in in

σ

ψ

&

&

(4)

Il processo di identificazione delle caratteristiche del sistema è basato sulla trattazione del sistema di equazioni differenziali ordinarie (1). A titolo di esempio, nel caso più generale di volume variabile nel tempo e assumendo trasferimenti di massa tra i sistemi adiacenti a basso numero di Mach (quindi in condizioni di flusso quasi incomprimibile) si perviene all’unica equazione del secondo ordine:

dt dp dt

dp dt

V d dt d dt dV dt

d mRT dt

V d ^ex

ex in in

eq ρ ρ ρ σ σ

σ

ρ 1 1

2 2

2 2

2 ⎟⎟ + = +

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ +

+ (5)

In cui la resistenza equivalente al flusso, σ_eq, è data da:

ex in

eq σ σ

σ

1 1

1 = + (6)

Un sistema a volume variabile, tipico ad esempio delle macchine volumetriche quali i motori alternativi le cui problematiche sono trattate nel successivo paragrafo 3, presenta una risposta con oscillazione smorzata le cui principali caratteristiche sono:

⎪⎪

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎪⎪

⎨

⎧

= +

− +

=

=

tempo) di (costante

dt dV mRT

V

smorzata) e

(pulsazion

V

dt dV mRT

dt V d V

libera) e

(pulsazion

dt

V d V

eq eq

eq s

L

σ τ σ

ω σ ω

2

2 1 2

1

2 2

2 2

(7)

Nel caso in esame, di volume invariante nel tempo, la precedente equazione (5) si riduce alla forma:

dt dp dt

dp dt

d mRT dt

V d ^ex

ex in in

eq σ σ

ρ σ

ρ 1 1

2

2 + = + (8)

Il sistema reagisce quindi a una variazione impulsiva delle condizioni di trasferimento di massa (ad esempio ad una variazione istantanea di una delle pressioni di estremità p_in o p_ex) con una risposta asintotica caratterizzata da una costante di tempo:

mRT Vσ_eq

τ = (9)

Il ritardo di risposta è quindi, come prevedibile, crescente con il volume del sistema e con le resistenze al flusso con quelli adiacenti, ma è anche variabile con il suo stato termodinamico e con la legge di trasformazione. Quest’ultima è sintetizzata dalla costante m il cui valore è associato alla presenza di trasferimenti di energia nel modo calore ma anche all’esistenza di generazioni interne di entropia.

Se dalla precedente discussione è identificabile il comportamento del sistema in termini di oscillazioni o di accumuli di massa, un’analoga elaborazione dell’equazione di bilancio dell’energia permette di caratterizzare l’adeguamento della temperatura del sistema a flussi convettivi o diffusivi variabili nel tempo. Quest’ultimo aspetto è di particolare interesse nel caso della micro-turbina a gas oggetto di questa trattazione, in quanto la presenza dello scambiatore di calore rigenerativo è causa di un considerevole aumento della costante di tempo.

La necessità della soluzione numerica. L’elaborazione analitica delle equazioni di bilancio del sistema (1) è utile alla caratterizzazione qualitativa delle sue caratteristiche di risposta ma non si presta, di fatto, a un’utilizzazione per la effettiva soluzione del problema non stazionario. A tale riguardo, va considerato che le equazioni che caratterizzano il generico componente della micro- turbina a gas:

( ) ∑ ∑

∑

∑

+

−

−

=

−

=

f f w ex ex in

in ex in

dt h Q dm H

m H

dt m e M d

m dt m

dM

& 0

&

&

&

&

(10)

risultano non lineari a seguito di numerose cause:

- I gas evolventi non seguono il modello di gas ideale e quindi non esiste dipendenza lineare tra energia interna (o entalpia) e temperatura;

- Gli stessi gas sono soggetti a variazioni di composizione per effetto della reazione di combustione la cui velocità, rappresentata dal termine

dt dm_f

, è soggetta alle leggi dell’equilibrio o della cinetica chimica e quindi dallo stato istantaneo del sistema;

- Le leggi di trasferimento di calore, associate al termine Q&_w, presentano una dipendenza implicita dallo stato termo-fluidodinamico del sistema;

- Le leggi di trasferimento di massa, associate al termine generico m& _j, sono rappresentate dalla funzione di flusso, fortemente non lineare con le pressioni in caso di flusso comprimibile.

0.1 0.3 0.5 0.7 0.9 1.1 Corrected Air Flow, kg/s

1 2 3 4 5 6

Compressor Pressure Ratio

Corrected Speed, rpm

33770 40524

47278 54031

60786 64163

67539 70917

74293

Ref. Pressure = 1.013 bar Ref. Temperature = 288 K

Surge Line

0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Corrected Gas Flow, kg/s 2

3 4 5 6

Turbine Pressure Ratio

Corrected Speed, rpm 33642

47321 57765

66176 72738

79392 85677 Ref. Pressure = 3.65 bar

Ref. Temperature = 1223 K

Fig. 4. Mappe caratteristiche del compressore e della turbina

Infine, il flusso di massa attraverso i componenti rotanti, compressore e turbina, è legato al rapporto tra le pressioni estreme secondo leggi variabili con la velocità di rotazione come riportato nelle rispettive mappe operative (fig. 4). Le variazioni di velocità dell’albero sono valutabili dall’equazione di equilibrio meccanico del sistema rotante:

( )

TC TC

el c t TC

N I

P P P dt

dN − −

= 2

2

4 60

π (11) e dipendono quindi, a loro volta, dalle stesse portate massiche e dai rapporti di pressione realizzati ad ogni istante, a conferma della caratteristica implicita e fortemente non-lineare anche di questa equazione dinamica.

Si aggiunga a tali considerazioni la necessità di risolvere simultaneamente, ad ogni istante temporale, le variazioni di stato dei vari componenti stante la loro mutua dipendenza determinata dai trasferimenti convettivi di massa ed energia. Ne consegue che il sistema complessivo di 2xN equazioni differenziali ordinarie va integrato nel dominio temporale con tecniche tipiche dell’integrazione numerica non lineare: quindi risultano appropriati i noti metodi della classe

“predictor-corrector” e in particolare i metodi Runge-Kutta.

I gradi di libertà del sistema e le condizioni ai limiti. In precedenti lavori degli autori [1, 11], è stata operata una caratterizzazione del sistema complessivo “turbina a gas monoalbero” allo scopo di derivarne le caratteristiche operative. Il sistema, costituito dai componenti rappresentati nelle figure 1 e 2 presenta due gradi di libertà associati alla coppia di variabili primitive indipendenti (portata di combustibile, velocità di rotazione). Lo studio del sistema nello spazio delle variabili indipendenti permette di accertare l’esistenza delle condizioni di accoppiamento termo- fluidodinamico tra i componenti fissi e rotanti. La regione denominata “dominio operativo” (fig. 5) rappresenta il luogo dei punti soluzione del problema dell’accoppiamento e, una volta individuata, può essere proiettata in un qualsiasi piano di variabili dipendenti associate alla coppia di variabili primitive. Ad esempio, il piano (velocità di rotazione, potenza) in fig. 6 è più idoneo a una rappresentazione immediata delle prestazioni della macchina. Al suo interno, sono rappresentate le isolinee della portata di combustibile e della “costante di carico” definita attraverso la relazione:

3

TC TC el

* N K N

* P

P ⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛ (12)

In cui l’asterisco identifica i valori nominali di potenza e velocità di rotazione. Va precisato che le mappe come quelle in fig. 5 e 6, sono suscettibili di alterazioni con le condizioni ambientali, che costituiscono le condizioni ai limiti del sistema. Per valori fissati dei parametri ambientali un transitorio del sistema può essere indotto da una variazione della potenza elettrica richiesta, P_el, o della velocità di rotazione, NTC. Più sinteticamente tali variazioni sono quindi rappresentate da quella della costante di carico K, una cui variazione a gradino provoca un’istantanea attivazione del processo di accelerazione del sistema secondo l’equazione di equilibrio dinamico (11).

Formalmente, la dipendenza della velocità di rotazione dal bilancio di potenza attiva e resistente elimina un grado di libertà del sistema, che può essere quindi controllato attraverso le sole variazioni della portata di combustibile.

*

Com

pressorChoking

MG

T O pe ra tin g Do

m ai n

pressor Stall

TurbineChoking

Relative Fuel Mass Flow Rate

RelativeShaftSpeed

0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

0.8 0.9 1 1.1

Fig. 5 : Dominio operativo della MTG. Fig. 6. Mappa operativa della MTG

La legge di variazione temporale della portata di combustibile ha quindi per obiettivo primario il controllo della velocità di rotazione il cui valore va riportato a quello originario o, comunque, a un livello prefissato. A titolo di esempio, nella mappa in fig. 6 è riportato il punto di funzionamento nominale (*) e due punti operativi a potenza ridotta con la stessa velocità di rotazione (punto “N”) o con velocità minore (punto “B”). In ambedue i casi, il controllo della velocità [3, 13] può essere operato attraverso una “retro-azione” del tipo:

( ) ( ) ( )

* TC

TC* f TC

f N

N t t N

m dt t

m −

Π +

=

+ &

& (13)

Gli esempi riportati nelle figure 7 e 8 si riferiscono a un caso di transizione della macchina dalla sua potenza nominale a un livello di potenza ridotta a seguito di un’istantanea variazione della costante di carico K prima definita dal valore unitario (corrispondente alla condizione di “pieno carico”) al valore K=0.4 (che rappresenta una possibile situazione di “carico parziale”). In tali grafici viene evidenziate l’influenza della costante di controllo Π introdotta nell’equazione di controllo (13).

0.3 0.4

0 4

0.5 0.6

0.7

0.7

0.8

0.8

0.9 1.0

1.1

*

N B

Velocità di Rotazione, giro/min.

Potenza,kW

55000 60000 65000 70000

40 60 80 100 120

0.005 0.006

0.007

0.008

costante K portata di comb.

----

Fig. 7. Effetto della costante di controllo sulla risposta dinamica della micro-turbina

Fig. 8. Effetto della costante di controllo sulla risposta termodinamica della micro-turbina

Valori più bassi di tale costante (Π = 1x10^-5) producono un più rapido adeguamento della velocità di rotazione e della temperatura di ingresso in turbina ai valore finali di equilibrio ma provocano anche oscillazioni in tali due parametri che si riflettono in accentuate sollecitazioni meccaniche dell’albero e in possibili instabilità termo-fluidodinamiche nella camera di combustione. Tale ultimo aspetto merita uno studio più dettagliato, quale quello descritto nei successivi paragrafi. La ragione di tali oscillazioni è da ricercarsi nelle differenti velocità di variazione del combustibile, in accordo alla legge definita in (13), e dell’aria, le cui variazioni sono associate alle curve caratteristiche del compressore in fig. 4. Adeguamenti più “morbidi” ma in pratica con tempi di risposta pressoché inalterati sono ottenibili incrementando di un ordine di grandezza la costante di controllo (Π = 1x10^-6). Ulteriori aumenti di tale costante (Π = 1x10^-7) provocherebbero invece un notevole ritardo di risposta del sistema con un’eccessiva permanenza della turbina a velocità e a temperature dei gas elevate.

0.1 1 tempo [ s ] 10 100 1000 800

900 1000 1100 1200

temperatura ingresso turbina [ K ]

Π = 5e-5 Π = 5e-6 Π = 5e-7

0.1 1 10 100 1000

tempo [ s ]

680 720 760 800 840 880

temperatura uscita rigen. [ K ]

Π = 5e-5 Π = 5e-6 Π = 5e-7

0.1 1 tempo [ s ]10 100 1000

60000 64000 68000 72000 76000

Velocità di rotazione [ giri/min ]

Π = 5e-5 Π = 5e-6 Π = 5e-7

Va anche notato come la temperatura dell’aria in uscita dallo scambiatore rigenerativo subisca variazioni molto più lente, indipendentemente dal valore della costante di controllo (fig. 8). Ciò a conferma che sulla risposta del sistema influisce un ritardo di tipo meccanico e uno, con costante di tempo decisamente più elevata, di tipo termico.

La successive figure 9 - 11 illustrano alcuni dettagli di transitori da carico totale a parziale o viceversa, assumendo una costante di controllo Π = 1x10^-6. Le temperature caratteristiche della micro-turbina (fig. 9) presentano evoluzioni differenti: quella di uscita dallo scambiatore rigenerativo risente infatti del citato valore elevato della costante di tempo di questo componente ed è quindi caratterizzata da un progressivo e lento adeguamento al valore finale. Quella di uscita dalla camera di combustione (e di ingresso nella turbina) presenta un rilevante picco nel caso di transitorio con aumento di carico, a causa del rapido aumento della portata di combustibile: il valore di regime è poi raggiunto più rapidamente rispetto a quanto osservato per la temperatura di rigenerazione.

La potenza della micro-turbina a gas (fig. 10) riassume un valore costante dopo un ritardo corrispondente a quello osservato per lo scambiatore rigenerativo, che quindi rappresenta l’elemento critico per quanto riguarda la risposta energetica del sistema. Con analoghi ritardi si adeguano ai valori finali le emissioni di specie chimiche di impatto sull’atmosfera, quali la CO2 e di specie inquinanti quali gli ossidi di azoto (fig. 11). Inoltre, durante il transitorio si verificano notevoli picchi di produzione di tali specie nocive, associati a quelli di temperatura di ingresso in turbina evidenziati in figura 9. Tali considerazioni hanno indotto gli autori a perfezionare le strategie di controllo, introducendo ulteriori elementi a “retro-azione” nell’equazione (13) per il controllo delle dosature istantanee aria-combustibile durante il transitorio. Tale intervento, descritto in dettaglio nel lavoro [14] mira a correggere le già citate differenze di risposta delle portate di aria e di combustibile.

Un’ulteriore problematica tipica dei transitori delle turbomacchine è evidenziata nella stessa figura 10: le repentine variazioni di velocità dell’albero possono portare il compressore ad operare con portate al di sotto del limite di stallo. In tali condizioni, il sistema può essere caratterizzato da pericolose instabilità fluidodinamiche, usualmente evitabili attraverso l’apertura della valvola di by- pass a valle del compressore. La necessità di un efficace controllo simultaneo della velocità dell’albero, della dosatura aria-combustibile e della stabilità fluidodinamica del sistema ha condotto alla proposta di sistema integrato di controllo discusso nel citato lavoro [14] .

0.1 1 tempo [ s ]10 100 1000 680

720 760 800 840 880

Temperatura rig. [ K ]

tipo combustibile : GN carico parz-tot carico tot-parz

0.1 1 tempo [ s ]10 100 1000 900

1000 1100 1200 1300 1400 1500

Temperatura ingresso in Turbina [ K ]

tipo combustibile : GN carico parziale -totale carico totale-parziale

Fig. 9. Temperature caratteristiche della micro-turbina a gas durante il transitorio

0.3 0.5 0.7 0.9 1.1 Corrected Air Flow, kg/s

2 3 4 5 6

Compressor Pressure Ratio

Full to Part Load Part to Full Load

47278 54031

64163 67539

70917

74293

Ref. Pressure = 1.013 bar Ref. Temperature = 288 K

Const. speed cases Fuel Control

Corrected Speed, rpm 60786

Fig. 10. Prestazioni della micro-turbina durante il transitorio.

Fig. 11. Emissioni di specie nocive dalla micro-turbina durante il transitorio.

0.1 1 10 100 1000

tempo [ s ]

0 200 400 600 800 1000

Concentrazione NOx [ppm]

carico da totale a parziale carico da parziale a totale

0 4 8 12

Quantità totale NOx prodotti [ g ]

0.1 1 10 100 1000

tempo [ s ]

600 800 1000 1200 1400

Indice emissione CO2[ gCO2/kWh ]

tipo combustibile : GN carico parziale -totale carico totale-parziale

0 1 2 3 4 5

Quantità totale di CO2 [ kg ]

0.1 1 10 100 1000

tempo [ s ]

40 60 80 100 120

Potenza [ kW ]

tipo combustibile : GN carico parziale -totale carico totale-parziale