Soluzione numerica di Problemi di Cauchy con Matlab

Soluzione numerica di Problemi di Cauchy

con Matlab

Solutori di Matlab

Matlab possiede diverse functions per l’integrazione di sistemi di equazioni differenziali ordinarie del primo ordine con

condizioni iniziali.

La sintassi comune a tutte le funzioni `e una delle seguenti:

[t,Y]=solutore(odefun,tspan,y0)

[t,Y]=solutore(odefun,tspan,y0,options)

solutore = ode45, ode23, ode113, ode15s, ode23s, ode23t,

ode23tb

Parametri di input

odefun rimanda a una funzione che valuta la funzione (vettoriale) f (t, y ) che definisce il problema

odefun=’nome’ oppure odefun=@nome nome = una function che definisce dy=f(t,y) Esempio



 



 



y

= y

y

y

= −y

y

y

= −0.51y

y

y

(0) = 0, y

(0) = y

(0) = 1 function dy=nome(t,y)

dy = [y(2)*y(3); -y(1)*y(3);-0.51*y(1)*y(2)]

Parametri di input

tspan `e l’intervallo di integrazione [t

, t

].

In questo modo le ascisse in uscita sono determinate dalla procedura di controllo automatico del passo.

Se si vogliono specificare particolari valori delle ascisse in uscita, basta assegnare a tspan le ascisse desiderate (in ordine crescente): tspan=[t0 t1 t2 t3...tF]

y0 vettore contenente le condizioni iniziali

Options vettore che contiene le opzioni sull’integrazione numerica : tolleranze, passo iniziale, ...

Tale vettore deve essere creato con la function odeset.

Per modificare le tolleranze di default:

options=odeset(’RelTol’,1.e-5,’AbsTol’,1.e-7)

Per visualizzare numero di passi eseguiti e numero di

Parametri di output

t vettore dei tempi in cui `e stata calcolata la soluzione.

Y MATRICE delle soluzioni calcolate.

Il numero di righe di Y `e pari alla dimensione di t.

Il numero di colonne di Y `e pari al numero di componenti del

sistema.

Solutori problemi non-stiff

ode45: Coppia di metodi Runge-Kutta espliciti di ordine 4 e 5 (Dormand e Price).

ode23: Coppia di metodi Runge-Kutta espliciti di ordine 2 e 3 (Bogacki e Shampine). Pu `o essere pi `u efficiente di ode45 per tolleranze lasche e in presenza di un moderato stiffness.

ode113: Metodo Predictor-Corrector di tipo Adams-Moulton di

ordine variabile.

Solutori problemi stiff

ode15s: solutore di ordine variabile basato sui metodi multistep lineari impliciti.

ode23s: solutore basato su una formula di Rosenbrock di ordine 2. I metodi di Rosenbrock sono Runge-Kutta impliciti nei quali l’equazione non lineare per la valutazione della soluzione al nuovo passo `e ottenuta tramite un passo del metodo di Newton.

ode23t: solutore che utilizza la formula dei trapezi.

ode23tb: solutore che utilizza una combinazione del metodo

dei trapezi e del metodo BDF di ordine 2.