Insiemi statistici
Insiemi statistici
In generale, a seconda del tipo di microstati che includiamo nell’insieme statistico, diamo all’insieme statistico stesso nomi diversi.
Ecco vari esempi e nomi di diversi insiemi statistici:
1. Insieme Microcanonico: è costituito da tutti i microstati di un sistema di N particelle, volume V ed energia E (sistema isolato);
2. Insieme Canonico: corrisponde all’insieme dei microstati di un sistema di N particelle e volume V : E può ora fluttuare (è fissata la temperatura);
3. Insieme Grancanonico: corrisponde all’insieme dei microstati di un sistema di volume V : in quest’ultimo caso sia E che N
possono fluttuare.
Insieme Microcanonico
In tale insieme a tutti i microstati compete lo stesso valore dell’energia.
L’ipotesi fondante è la seguente:
Dato un sistema di N particelle in un volume V in
equilibrio, tutti i microstati con la stessa energia E hanno la stessa probabilità di essere visitati.
Se con Ω(N, V,E) indichiamo il numero di microstati con
energia tra E ed E + dE, la probabilità di un particolare stato microscopico con energia Eu è,
per qualsiasi stato nell’insieme.
•
In tale insieme alla funzione entropia viene assegnata la seguente espressione:
Tale scelta per la funzione entropia è compatibile con le proprietà introdotte in precedenza. Infatti:
• S è una funzione estensiva:
Presi due sottosistemi indipendenti, A e B, con
numero di stati ΩA e ΩB, il numero di stati complessivo è pari a ΩA · ΩB. Quindi
+ =
• S soddisfa la II legge
• Temperatura:
•
Esempio
• Particelle indipendenti con due livelli energetici
Consideriamo un sistema costituito da N particelle identiche distinguibili e indipendenti, ognuna delle quali può assumere energia 0 o > 0.
Un particolare stato (microstato), sarà quindi specificato dai numeri,
;
dove i valori di nj , 0 o 1, si identificano con il fatto che la particella j assume gli stati con energia 0 e , rispettivamente. Corrispondentemente, l’energia del sistema può essere scritta nella forma,
dove, m = e pari al numero di particelle che si trovano nello stato ad energia .
•
Il numero di stati con energia E sarà pari al numero di combinazioni di N elementi uguali a gruppi di m, cioè:
Ricordando quanto visto in precedenza, l’entropia del sistema corrisponde a,
e quindi possiamo scrivere per la temperatura:
= =
Sfruttiamo la formula di Stirling, valida per grandi N:
•
per riscrivere lnΩ come,
= ,
che dà infine il risultato cercato,
Tale relazione ci permette di esprimere l’energia del sistema in funzione della temperatura. Possiamo vedere che a T = 0 anche l’energia si
annulla. Questo è in pieno accordo con il fatto che a T = 0 il sistema
occupa il suo stato di minima energia, lo stato fondamentale (in queste condizioni vince il principio di minima energia!). Al contrario, per T si ha E = N/2. Questo corrisponde ad avere ogni particella con uguale probabilità nei due stati possibili. In questa situazione si ha il massimo disordine (domina il principio di massima entropia!).
