Insiemi statistici

Insiemi statistici

Insiemi statistici

In generale, a seconda del tipo di microstati che includiamo nell’insieme statistico, diamo all’insieme statistico stesso nomi diversi.

Ecco vari esempi e nomi di diversi insiemi statistici:

1. Insieme Microcanonico: è costituito da tutti i microstati di un sistema di N particelle, volume V ed energia E (sistema isolato);

2. Insieme Canonico: corrisponde all’insieme dei microstati di un sistema di N particelle e volume V : E può ora fluttuare (è fissata la temperatura);

3. Insieme Grancanonico: corrisponde all’insieme dei microstati di un sistema di volume V : in quest’ultimo caso sia E che N

possono fluttuare.

Insieme Microcanonico

In tale insieme a tutti i microstati compete lo stesso valore dell’energia.

L’ipotesi fondante è la seguente:

Dato un sistema di N particelle in un volume V in

equilibrio, tutti i microstati con la stessa energia E hanno la stessa probabilità di essere visitati.

Se con Ω(N, V,E) indichiamo il numero di microstati con

energia tra E ed E + dE, la probabilità di un particolare stato microscopico con energia E_u è,

per qualsiasi stato nell’insieme.

•

In tale insieme alla funzione entropia viene assegnata la seguente espressione:

Tale scelta per la funzione entropia è compatibile con le proprietà introdotte in precedenza. Infatti:

• S è una funzione estensiva:

Presi due sottosistemi indipendenti, A e B, con

numero di stati Ω_A e Ω_B, il numero di stati complessivo è pari a Ω_A · Ω_B. Quindi

+ =

• S soddisfa la II legge

• Temperatura:

•

Esempio

• Particelle indipendenti con due livelli energetici

Consideriamo un sistema costituito da N particelle identiche distinguibili e indipendenti, ognuna delle quali può assumere energia 0 o > 0.

Un particolare stato (microstato), sarà quindi specificato dai numeri,

;

dove i valori di nj , 0 o 1, si identificano con il fatto che la particella j assume gli stati con energia 0 e , rispettivamente. Corrispondentemente, l’energia del sistema può essere scritta nella forma,

dove, m = e pari al numero di particelle che si trovano nello stato ad energia .

•

Il numero di stati con energia E sarà pari al numero di combinazioni di N elementi uguali a gruppi di m, cioè:

Ricordando quanto visto in precedenza, l’entropia del sistema corrisponde a,

e quindi possiamo scrivere per la temperatura:

= =

Sfruttiamo la formula di Stirling, valida per grandi N:

•

per riscrivere lnΩ come,

= ,

che dà infine il risultato cercato,

Tale relazione ci permette di esprimere l’energia del sistema in funzione della temperatura. Possiamo vedere che a T = 0 anche l’energia si

annulla. Questo è in pieno accordo con il fatto che a T = 0 il sistema

occupa il suo stato di minima energia, lo stato fondamentale (in queste condizioni vince il principio di minima energia!). Al contrario, per T si ha E = N/2. Questo corrisponde ad avere ogni particella con uguale probabilità nei due stati possibili. In questa situazione si ha il massimo disordine (domina il principio di massima entropia!).

•