6. RISULTATI OTTENUTI DALL’ ANALISI IN ANSYS

6. RISULTATI OTTENUTI DALL’ ANALISI IN ANSYS

A questo punto si può dire di saper effettuare analisi agli elementi finiti modale, statica lineare e non-lineare, a “buckling” lineare e non-lineare di un palo cilindrico o conico, tubolare, traviforme, realizzato in compositi, incastrato alla base e soggetto in punta o a un carico assiale o trasverso o a un momento flettente. Su specifica indicazione della ditta collaboratrice si è focalizzata l’attenzione sul “buckling” lineare e non-lineare del palo caricato in direzione traversa. Si è anche effettuata un’analisi statica della struttura con la medesima tipologia di carico nella condizione di incipiente instabilizzazione per vedere, nei casi analizzati, se fosse più critico il “buckling” o la “first-failure”.

Infatti si è già detto che ANSYS non prevede al suo interno un’opzione per lo studio del materiale composito danneggiato, quindi qualora si verificasse una parziale rottura prima del “buckling”, questa non verrebbe considerata per il calcolo del carico critico. In questo caso il progettista si troverebbe in difficoltà, in quanto non saprebbe in che misura e in che modo le parziali rotture influiscono sull’instabilizzazione della struttura. Sarebbe necessario a questo scopo implementare nel programma una “routine” definita dall’utente che permetta di considerare il parziale danneggiamento del materiale, ma tale attività non rientra in questa tesi.

Prima di procedere con un qualsiasi tipo di analisi si ricordi che, per restringere il campo di lavoro, sono stati fissati alcuni parametri, i cui valori verranno utilizzati nelle analisi numeriche che seguono. Sono state completamente definite le caratteristiche di rigidezza, resistenza, espansione termica e densità di due materiali, uno composto da fibre di vetro in resina epossidica e l’altro da fibre di carbonio in resina epossidica; si è definita la geometria dei pali (conica e cilindrica), lo spessore e il numero di lamine e il numero di punti di integrazione. I parametri che sono stati lasciati liberi di assumere valori differenti da caso a caso sono: il numero di elementi in senso assiale e circonferenziale, i moduli dei carichi e degli spostamenti imposti, l’orientazione della singole lamine e, qualora servano, il numero di modi propri estratti e il numero di “substeps”

utilizzati nell’analisi non-lineare. A prescindere dalla tipologia di analisi, tutti questi parametri indipendenti condizionano il risultato, ma solo alcuni di essi condizionano il procedimento o la precisione del risultato. E’ quindi necessario “settare” questi ultimi parametri indipendenti

“principali” (per distinguerli dagli altri) su valori che garantiscano una adeguata precisione, tempi di calcolo ammissibili e il corretto funzionamento del procedimento. Per trovare il “settaggio” ottimale dei parametri principali, si osserveranno gli andamenti dei risultati al variare dei parametri indipendenti principali e fissati tutti i parametri indipendenti di secondaria importanza.

1.1 Analisi modale

I parametri indipendenti “principali” per l’analisi modale sono il numero di modi estratti e il numero di elementi. Si vuole capire se, fissata la geometria, il materiale e il numero di elementi, l’aumentare del numero di modi propri estratti e poi espansi condiziona o meno il valore delle prime quattro frequenze critiche. Si è compiuto tale calcolo, scegliendo l’elemento tubolare con geometria conica, realizzato in carbon-epoxy e con “stacking-sequence” tipo cross-ply simmetrico e come numero di modi propri: 4, 6, 10, 20, 30, 50, 75, 100, 200. I risultati sono stati riportati su un grafico (Fig.6.1).

VARIAZIONE DELLE PRIME FREQUENZE NATURALI CON NUMERO DI ELEMENTI COSTANTI E AUMENTANDO IL NUMERO DI MODI

PROPRI UTILIZZATO

0 20 40 60 80 100 120 140

4 6 10 20 30 50 75 100 200

FRQUENZE NATURAL

1st N-F 2nd N-F 3th N-F 4th N-F

Fig.6.1

Le frequenze proprie sono uguali a due a due, prima con la seconda e terza con la quarta, e tutte e quattro sono costanti con l’aumento progressivo dei modi propri utilizzati. Ciò significa che i modi propri superiori al quarto non partecipano minimamente alla formazione delle prime quattro frequenze naturali.

Si desidera anche capire quanto incida il numero di elementi longitudinali e circonferenziali

sulle prime quattro frequenze proprie, fissati la geometria, il materiale e il numero di elementi. Si

risceglie ad esempio la geometria conica e come materiale il carbon-epoxy, si fissa un numero di

modi propri cautelativo (20) e si aumenta progressivamente il numero degli elementi longitudinali e

circonferenziali: 40-8 (320), 60-12 (720), 80-16 (1280), 100-20 (2000), 120-24 (2880), 140-28

(3920), 160-32 (5120), 180-36 (6480), 200-40 (8000). Graficando i risultati ottenuti si ottiene

(Fig.6.2)

VARIAZIONE DELLE PRIME FREQUENZE NATURALI CON NUMERO DI MODI PROPRI COSTANTI E AUMENTANDO IL NUMERO DI

ELEMENTI UTILIZZATO

0 20 40 60 80 100 120 140

320 720

1280 2000

2880 3920

5120 6480

8000 NUMERO DI ELEMENTI

FREQUENZE NATURALI

1st N-F 2nd N-F 3th N-F 4th N-F

Fig.6.2

Anche questa analisi conferma il fatto che le frequenze proprie sono uguali a due a due e si nota anche che i valori rimangono pressoché costanti oltre i 2000 elementi utilizzati.

Optando per 100 elementi longitudinali e 20 circonferenziali e per la solita sequenza di impilamento tipo “cross-ply” simmetrico si guardi adesso i valori delle prime quattro frequenze proprie per le quattro combinazioni di materiali e geometrie (Tab.6.1).

1st Nat. Freq.

[Hz]

2nd Nat. Freq.

[Hz]

3th Nat. Freq.

[Hz]

4th Nat. Freq.

[Hz]

Con. carbon-epoxy 26.998 26.998 118.71 118.71

Cyl. carbon-epoxy 25.285 25.285 85.779 85.779

Con. glass-epoxy 12.668 12.668 63.500 63.500

Cyl. glass-epoxy 12.018 12.018 42.081 42.081

(Tab.6.1)

Come logico aspettarsi a causa delle rigidezze nettamente superiori, il carbonio fornisce, a parità di geometria, frequenze proprie circa doppie rispetto al vetro. Quindi strutture in cui si ricerchi la massima rigidezza sono da realizzarsi, costo permettendo, preferibilmente in carbonio.

La geometria conica fornisce frequenze proprie superiori rispetto alla geometria cilindrica. Tale

fenomeno è imputabile al fatto che la sezione si restringe allontanandosi dall’incastro, cioè il

baricentro si trova, a parità di lunghezza, più vicino all’incastro e conseguentemente ha una minore

libertà di movimento.

1.2 Analisi a “buckling” lineare

Ritornando al “buckling” del palo soggetto a carico trasversale, si è cominciato a prendere in considerazione la soluzione lineare anziché quella non-lineare, avendo la prima tempi di calcolo di qualche minuto e la seconda di qualche ora. Nell’analisi lineare, è possibile utilizzare sia la SHELL99 che la SHELL181, anche se, per ottenere la medesima precisione a parità di numero di elementi, la seconda richiede una “meshatura” più fitta essendo composta da 4 nodi anziché da 8.

Per questo si sono utilizzati quasi esclusivamente SHELL181.

A questo punto e in questo tipo di analisi ci si può chiedere quali siano i parametri

“indipendenti” e quali siano i loro valori per ottenere sia una adeguata precisione con tempi di calcolo ragionevoli. Definito il modulo del carico unitario in modo da avere perfetta corrispondenza tra autovalori estratti e carichi critici, le uniche variabili libere sono: il numero di elementi, il numero di modi estratti e poi espansi, l’orientazione dei “layers”, il tipo di materiale e di geometria.

Per selezionare valori ragionevoli di questi parametri si è scelto, pensando che ciò non minasse più di tanto la generalità del procedimento, l’elemeneto tubolare con geometria conica realizzato in fibra di carbonio con “stacking sequence” tipo “cross-ply” simmetrico. Sono state condotte due tipologie di analisi: valutare i primi tre carichi critici, in un caso, fissando il numero di elementi e aumentando man mano il numero di modi estratti, e nell’altro, fissando il numero di modi estratti e aumentando il numero di elementi. Entrambe le analisi sono state compiute sia con carico assiale che traverso, in modo da avere sempre un termine di paragone.

Nella prima tipologia di analisi, ossia quella con numero di elementi costante e con numero di modi propri estratti e poi espansi crescente, si è scelto un numero di elementi abbastanza elevato, 2000, dato da 100 elementi longitudinali e 20 circonferenziali. Per quanto riguarda il numero di modi estratti e poi espansi si sono scelti i seguenti valori: 3, 5, 10, 20, 30, 50, 75, 100, 200.

L’andamento dei primi tre carichi critici in funzione dei modi propri utilizzati è stato riportato nei

due grafici seguenti (Fig.6.3 e Fig.6.4), il primo per il carico assiale e il secondo per quello

trasverso.

VARIAZIONE DEI CARICHI CRITICI ASSIALI CON NUMERO DI ELEMENTI COSTANTI E AUMENTANDO

IL NUMERO DI MODI PROPRI UTILIZZATO

0 50000 100000 150000 200000 250000 300000 350000 400000 450000

3 5 10 20 30 50 75 100 200

CARICHI CRITICI

1st C-L

2nd C-L 3th C-L

Fig.6.3

VARIAZIONE DEI CARICHI CRITICI TRASVERSI CON NUMERO DI ELEMENTI COSTANTI E AUMENTANDO

IL NUMERO DI MODI PROPRI UTILIZZATO

0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000 45000 50000

3 5 10 20 30 50 75 100 200

CARICHI CRITICI TRASVERSI

1st C-L 2nd C-L 3th C-L

Fig.6.4

Come si può vedere dai grafici (Fig.6.3 e Fig.6.4), il modulo medio dei carichi critici assiali è

circa un ordine di grandezza superiore rispetto a quello dei carichi critici traversi, il valore dei primi

tre carichi critici assiali risulta costante con l’aumentare dei modi propri utilizzati (da 3 a 200 modi

propri), mentre il valore dei primi tre carichi critici traversi decresce fino a 20 modi propri estratti,

poi rimane costante (da 20 a 200 modi propri). Si può anche notare che, in entrambi i casi, i valori

dei “buckling loads”, per un determinato numero di elementi e di modi propri, sono uguali a due a

due, cioè il primo e il secondo, il terzo e il quarto e così via. Quando si utilizza un basso numero di nodi e di modi propri i valori differiscono leggermente.

Nella seconda tipologia di analisi invece si fissa il numero di modi propri estratti e poi espansi a 30 e si aumenta gradualmente il numero di elementi assiali e circonferenziali utilizzati e quindi il numero totale: rispettivamente 50-10 (500), 80-16 (1280), 100-20 (2000), 120-24 (2880), 140-28 (3920), 160-32 (5120), 180-36 (6480), 200-40 (8000) e 250-50 (12500). Gli andamenti dei carichi critici assiali e trasversi con numero di modi propri costante e aumento del numero di elementi sono riportati nei due grafici qui sotto (Fig.6.5 e Fig.6.6).

VARIAZIONE DEI CARICHI CRITICI ASSIALI CON NUMERO DI MODI PROPRI COSTANTI E

AUMENTO DEL NUMERO DI ELEMENTI UTILIZZATO

0 100000 200000 300000 400000 500000 600000

500 1280

2000 2880

392 0

5120 6480 8000 12500 NUMERO DI ELEMENTI

CARICHI CRITICI ASSIALI

1st C-L 2nd C-L 3th C-L

Fig.6.5

VARIAZIONE DEI CARICHI CRITICI TRASVERSI CON DI MODI PROPRI COSTANTI E AUMENTO

DEL NUMERO DI ELEMENTI UTILIZZATO

0 10000 20000 30000 40000 50000 60000 70000 80000

500 1280 200

0 288

0 392

0 5120

6480 8000

125 00 NUMERO DI ELEMENTI

CARICHI CRITICI TRAVERSI

1st C-L 2nd C-L 3th C-L

Fig.6.6

Dall’analisi del primo grafico si nota che i primi due carichi critici assali hanno un andamento leggermente crescente con l’aumentare del numero di nodi, mentre il terzo mostra un andamento decisamente decrescente. Si può concludere che i primi due carichi critici raggiungono quasi subito la convergenza (già con 2000 elementi si può asserire di avere un risultato soddisfacente, differendo da quello ottenuto con 12500 elementi solo del 1.6%), mentre il terzo e il quarto no (l’errore percentuale tra i risultati ottenuti con i numeri di elementi citati precedentemente è infatti del 15.5%). Ma dato che ai fini di questa tesi interessa esclusivamente il primo carico critico, si può ritenere adeguato un modello composto da 100 elementi in senso longitudinale e 20 in senso circonferenziale.

Dall’analisi del secondo grafico, invece, si vede come l’andamento dei primi tre carichi critici trasversi non converga a nessun asintoto orizzontale e come continui a decrescere con l’aumentare del numero dei nodi. Per avere un termine di paragone con il carico assiale, si tenga conto che, in questo caso, l’errore percentuale tra il primo carico critico ottenuto con 100 elementi longitudinali e 20 circonferenziali e quello ottenuto con 250 elementi assiali e 50 circonferenziali è del 39.2%. Per analizzare le cause di questa differenza si è pensato di visualizzare le deformate associate al primo

“buckling load” di entrambi i casi di carico per vedere se rispecchiavano la reale natura dei fenomeni. Un elemento tubolare, lungo e traviforme, incastrato alla base e caricato all’estremità libera in direzione assiale instabilizza con una deformata “tipo trave” perfettamente descritta dal problema di Eulero. Diversamente, se il medesimo palo viene caricato in direzione trasversale (come notò il dottor Elmar Pfletshinger negli anni ’80 con esperimenti in laboratorio [29]), si manifesta un’instabilità con una deformata locale “tipo guscio” a un’altezza compresa tra 1/5 e 1/3 dall’incastro. Il fenomeno si manifesta con una progressiva ovalizzazione della sezione, con conseguente restringimento dell’altezza della sezione in direzione del carico e allargamento in direzione ad esso ortogonale. Questa variazione geometrica genera una progressiva perdita di momento di inerzia, non descritta nel modello lineare, che porta al “buckling” locale e alla successiva rottura del palo. Le deformate associate ai primi carichi critici derivate da un’analisi a

“buckling” lineare per carico assiale e traverso (Fig.6.7 e Fig.6.8) sono invece:

Fig.6.7 Fig.6.8

Osservando le (Fig.6.7 e Fig.6.8), si nota come la deformata dovuta al carico assiale riproduce quanto si verifica sperimentalmente, mentre quella dovuta al carico orizzontale è completamente diversa da quanto osservato. Il suo aspetto è infatti alquanto anomalo: rimane completamente inalterata e indeformata per 5/6 della sua lunghezza, mentre l’ultimo sesto (quello adiacente all’incastro) mostra nella zona compressa onde entranti e uscenti rispetto allo superficie del guscio con accentuate deformazioni degli elementi sulle “gobbe” uscenti. Ragionando sul motivo di una così marcata diversità tra analisi sperimentale e modello lineare agli elementi finiti, si è pensato a una possibile causa di errore del modello proprio nella sua linearità. Cioè, è possibile che il

“buckling” assiale sia un fenomeno che si innesca non lontano dalla configurazione indeformata

(pur arrivando a rottura con frecce elevate) e quindi bene riproducibile con un modello lineare

(piccoli spostamenti e deformazioni). Mentre il “buckling” trasversale è probabile sia un fenomeno

che si attiva lontano dalla configurazione indeformata, in regime di grandi spostamenti, e quindi

risolvibile solo con un modello non-lineare. Dato che solitamente i materiali compositi fibrosi

hanno un comportamento lineare elastico fino a rottura (non plasticizzano e quindi non subiscono

grandi deformazioni), si eseguirà un’analisi a “buckling” non-lineare in cui l’unica non-linearità definita sarà quella dovuta ai grandi spostamenti o rotazioni.

1.3 Buckling non-lineare

La procedura da seguire nel caso in cui si voglia eseguire un’analisi a “buckling” non-lineare agli elementi finiti è già stata spiegata precedentemente. Seguendo nuovamente il percorso logico tracciato nell’analisi a “buckling” lineare appena trattata, la prima cosa da fare è pensare quali siano le variabili indipendenti del problema; possono essere raggruppate in: il modulo del carico o dello spostamento imposto, il numero di “substeps”, il numero di elementi, l’orientazione dei layers, il tipo di materiale e di geometria. Le prime due possono essere chiamate variabili di tentativo in quanto, dipendendo fortemente dalle dimensioni e dal materiale, sono sempre state fissate in base all’esperienza e assumono valori diversi da caso a caso. Tra queste, il numero di “substeps”, a parità di carico, condiziona la precisione del risultato e il tempo di calcolo, mentre il modulo carico o dello spostamento imposto deve essere sempre superiore al corrispettivo valore critico ma non troppo, in quanto, a parità di numero di “substeps”, adoperare un valore maggiore del necessario equivale a utilizzare un passo più grande e a compiere un’analisi meno precisa. Di fatto quindi il modulo del carico o dello spostamento imposto e il numero di “substeps” possono essere considerati nel caso specifico più parametri imposti che variabili indipendenti. Similmente al caso lineare, pensando di non limitare la generalità della procedura, si è scelto l’elemento tubolare con geometria conica, realizzato in fibra di carbonio, con “stacking sequence” tipo “cross-ply”

simmetrico e si è fatta variare l’ultima variabile rimasta, il numero di elementi, col fine di trovare il valore ottimale che coniughi precisione e tempi di calcolo ragionevoli. Si aumenterà progressivamente il numero di elementi assiali e circonferenziali mantenendo, al solito, il loro rapporto inalterato. I valori assiali, circonferenziali e totali utilizzati sono rispettivamente: 40-8 (320), 60-12 (720), 80-16 (1280), 100-20 (2000), 120-24 (2880), 140-28 (3920), 160-32 (5120). Si è usato un minor numero di elementi rispetto all’analisi lineare perché, come si è spiegato, i tempi di calcolo si allungano notevolmente, basti pensare che per 5120 elementi sono necessarie più di 3 ore e 30 minuti. L’andamento del carico critico assiale e trasverso con numero di “substeps”

costante e aumentando il numero di elementi è riportato nei due grafici (Fig.6.9 e Fig.6.10).

VARIAZIONE DEL CARICO CRITICO ASSIALE CON L'AUMENTARE DEL NUMERO DI ELEMENTI

UTILIZZATO

185000 190000 195000 200000 205000 210000 215000 220000 225000 230000

320 720 1280 2000 2880 3920 5120

CARICO CRITICO ASSIALE

1st C-L

Fig.6.9

VARIAZIONE DEL CARICO CRITICO TRASVERSO CON L'AUMENTARE DEL NUMERO DI ELEMENTI

UTILIZZATO

0 5000 10000 15000 20000 25000 30000

320 720 1280 2000 2880 3920 5120

CARICO CRITICO TRASVERSO

1st C-L

Fig.6.10

Anche in questo caso il carico critico assiale mostra una convergenza più rapida con un errore

percentuale tra la soluzione ottenuta con 2000 elementi e quella ottenuta con 5120 elementi di

appena 1.6%, mentre per il carico traverso l’errore percentuale tra le soluzioni ottenute con il

medesimo numero di elementi è del 12.1%. Di conseguenza un’analisi a “buckling” non-lineare con

carico orizzontale necessita solitamente di un maggior numero di elementi rispetto alla medesima analisi con carico assiale.

A questo punto si è ritenuto opportuno fare un confronto fra i primi carichi critici derivanti dal modello lineare e non-lineare, per carichi assiali e trasversi. Si è presa in considerazione sia la geometria conica che cilindrica e come materiali sia il carbonio che il vetro in resina epossidica. Si è fissata la “stacking sequence” del tipo “cross-ply” simmetrico con “layer” più esterno a 0°. In entrambi i calcoli si è adoperato il medesimo tipo di elemento (SHELL181) e il solito numero di elementi (100 longitudinali e 20 circonferenziali), mentre per il caso lineare si sono sfruttati i primi 30 modi propri e per quello non-lineare sono stati usati 300 “substeps”. I risultati sono stati riportati in due tabelle, la prima per il carico assiale e la seconda per quello traverso che sono stato così strutturate: nella prima colonna sono stati inseriti i primi carichi critici ottenuti dall’analisi lineare, nella seconda i primi carichi critici ottenuti dall’analisi non-lineare e nella terza l’errore percentuale fra le due analisi; nelle righe sono state inserite le varie combinazioni di geometria e materiale.

CARICO ASSIALE

1° Carico Critico [N]

Analisi Lineare

1° Carico Critico [N]

Analisi Non-Lineare

Differenza percentuale

%

Conical carbon-epoxy 223480 223148 0.15

Cylindr. carbon-epoxy 316390 313991 0.76

Conical glass-epoxy 52665 52388 0.52

Cylindr. glass-epoxy 74485 74577 0.12

(Tab.6.2)

CARICO TRASVERSO

1° Carico Critico [N]

Analisi Lineare

1° Carico Critico [N]

Analisi Non-Lineare

Differenza percentuale

%

Conical carbon-epoxy 25720 18612 27.64

Cylindr. carbon-epoxy 26366 19346 26.62

Conical glass-epoxy 13425 5317 60.39

Cylndr. glass-epoxy 13707 6127 55.30

(Tab.6.3)

Osservando le (Tab6.2 e Tab6.3) si può concludere che, con il carico critico assiale, conviene

usare l’analisi lineare in quanto ha tempi di calcolo molto inferiori pur mantenendo un elevata

precisione di calcolo (dimostrata dal fatto che la differenza percentuale rimane sempre inferiore

all’1%). Nel caso di carico trasversale, le due analisi lineare e non-lineare forniscono risultati molto

diversi tra loro (differenza percentuale superiore al 26.6%).

Nel paragrafo 5.7, si è spiegato la metodologia necessaria per compiere un’analisi a “buckling”

non lineare, spiegando che per riconoscere se l’instabilità incontrata fosse di origine numerica o geometrica (“buckling”) si poteva nel “time-history post-processor” graficare l’andamento del carico critico (“force”) in funzione della freccia (“deflection”). In realtà si faceva uso della somma delle reazioni all’incastro in direzione del carico al posto del carico stesso, in quanto l’utilizzo dell’

“automatic time stepping” non permetteva di controllare direttamente l’incremento della forza agente sulla struttura. Si sono quindi riportati tali andamenti sia per il carico assiale (Fig.6.11) sia per quello trasverso (Fig.6.12).

Fig.6.11

Fig.6.12

In particolare questi grafici (Fig.6.11 e Fig.6.12) riguardano elementi tubolari con geometria conica fatti in fibra di carbonio in resina epossidica e suddivisi in 120 elementi in senso longitudinale e 20 in senso circonferenziale. Tuttavia, anche modificando la geometria, il materiale e il numero di elementi, le curve, sia per carico assiale che trasverso, mantengono un andamento simile a quello illustrato. L’unica accortezza necessaria per ottenere una corretta e completa visualizzazione, è utilizzare un numero sufficiente di “substeps”. Entrambe le tipologie di curve possono essere considerate il frutto di instabilità geometriche e si può attribuire alla loro forma una diversa interpretazione fisica.

Nel caso di direzione assiale (come è risaputo) il progressivo aumento di carico provoca una freccia quasi nulla fino al punto che si viene a creare, o a causa di difetti microscopici all’interno del materiale o a causa di un lieve disassamento del carico, un’eccentricità che da vita anche a un momento flettente; da questo punto in poi basta un piccolo aumento di carico per comportare un elevato aumento di freccia e quindi la perdita della stabilità.

Nel caso di direzione traversa invece (come dimostrano gli esperimenti della Nuova Connavi (Fig.6.13 e Fig.6.14)), un progressivo aumento di carico provoca un altrettanto progressivo aumento di freccia fino al punto in cui la struttura instabilizza localmente (massimo della curva), cioè la sezione si ovalizza, restringendosi in direzione del carico ed espandendosi in direzione ad esso ortogonale; da questo punto in poi la progressiva perdita di momento di inerzia addirittura fa si che, per aumentare la deflessione, basti un carico persino inferiore a quello critico.

Fig.6.13 Fig.6.14

L’analisi lineare non può essere considerata attendibile perché prevede una deformata associata al primo carico critico completamente diversa dalla realtà. Bisogna quindi verificare che il modello non-lineare, in cui l’unica non-linearità definita sia quella relativa ai grandi spostamenti, riesca a riprodurre una deformata coerente con i risultati sperimentali anche per il carico con direzione tasversale. Si ricordi però che per fare ciò, è necessario compiere un’analisi statica non-lineare con valori del carico o dello spostamento imposto leggermente inferiori ai corrispettivi valori critici.

1.4 Analisi statica non-lineare

L’analisi statica non-lineare ha il duplice fine di permettere la visualizzazione della deformata associata al primo carico critico e di controllare possibili rotture locali dei layer tramite dei “failure criteria”. Ovviamente non è possibile ottenere questi risultati al valore del carico in cui la struttura instabilizza, ma è possibile farlo nell’istante subito antecedente. Nel caso specifico si compirà un’analisi in controllo di spostamento con modulo dello spostamento imposto pari allo 0.2%

inferiore rispetto alla freccia critica. L’analisi è ristretta a modelli con geometria cilindrica e conica, con “stacking sequence” tipo cross-ply simmetrico, con carico orizzontale e composti dai due materiali precedentemente definiti. Per quanto riguarda il numero di elementi, si sono adottati 100 elementi longitudinali e 20 circonferenziali. I risultati sono riportati in una tabella (Tab.6.3) dove in riga si sono messe le quattro combinazioni delle geometrie e materiali, e in colonna si sono inseriti rispettivamente il carico critico, la freccia critica, l’indice del criterio di resistenza di massima tensione (MAXF), l’indice del criterio di resistenza di Tsai-Wu (TWSI) e l’inverso del rapporto di resistenza di Tsai-Wu (TWSR). Sono riportati i valori degli indici solo del “layer” (da 1 a 10) e della zona del “layer” (bot, top o mid) in cui si ha il massimo e accanto all’indice, fra parentesi, si indica il nodo in cui si ha tale massimo (nodi da 0 a 2000 rispettivamente dalla base alla testa). Si ricordi che freccia e carico critico derivano dall’analisi a “buckling” non-lineare mentre i tre indici di resistenza dall’analisi statica non-lineare.

TYPE 1

( 0 / 90 / 0 / 90 / 0 )

CARICO CRITICO [N]

FRECCIA CRITICA [m]

MAXF (layer 9 top)

TWSI (layer 9 top)

TWSR (layer 9 top) CON. C-E 18588 _{279 ⋅ 10}

1.178 (31) 1.271 (51) 1.190 (51) CYL. C-E 19324 _{216 ⋅ 10}

1.177 (31) 1.265 (51) 1.185 (51) CON. G-E 5302 _{351 ⋅ 10}

0.775 (31) 0.608 (31) 0.780 (31) CYL. G-E 6112 _{299 ⋅ 10}

0.882 (31) 0.787 (31) 0.887 (31)

(Tab.6.4)

Questa tabella (Tab.6.4) è esplicativa del generale comportamento del carbonio e del vetro, della geometria conica e cilindrica. A parità di tutte le altre caratteristiche, il carbonio, avendo moduli di Young decisamente superiori rispetto al vetro, garantisce carichi critici traversi dalle 2 alle 3.5 volte maggiori e frecce critiche inferiori di circa il 30%, di contro questa sua maggiore rigidezza ostacola le deformazioni e favorisce il crescere delle tensioni. Ciò è dimostrato dal fatto che gli indici di

“failure” del carbonio sono superiori a 1 e quelli del vetro inferiori a 1, ossia la struttura di carbonio si instabilizza a carico trasversale dopo aver già subito la “first failure”, mentre quella in vetro arriva al “buckling” ancora integra. Conseguentemente i carichi critici degli elementi tubolari in vetro possono essere considerati attendibili mentre quelli dei due pali in carbonio no, in quanto, come si è già anticipato, il programma non considera l’influenza delle rotture locali nel calcolo del carico critico. A parità di tutti gli altri parametri, la geometria conica risulta maggiormente deformabile rispetto alla geometria cilindrica, come dimostrano le frecce maggiori (dal 15% al 22%) e i carichi critici inferiori (dal 4% al 13%). Gli indici di resistenza non mostrano invece apprezzabili variazioni a seconda della geometria.

Infine si arriva a quello che forse è il risultato più importante: la deformata associata al primo carico critico trasverso riproduce i risultati sperimentali. Ciò significa che il “buckling” di un palo conico o cilindrico, tubolare, traviforme, incastrato alla base e caricato all’estremità libera in direzione traversa è prettamente un fenomeno non-lineare. La maggiore o minore ovalizzazione della sezione dipende dal materiale (le lamine di vetro si ovalizzato maggiormente rispetto alle fibre di carbonio) e molto probabilmente anche dalla sequenza di impilamento, ed è meglio visibile quando la geometria è cilindrica.

Fig.6.13

Il massimo valore dell’indice di resistenza si trova sempre o all’incastro nella zona tesa o nella zona

di maggior ovalizzazione sulla parte compressa.