1 GENERALITÀ SULLE SHORT CRACKS

1 GENERALITÀ SULLE SHORT CRACKS

1.1 Filosofie progettuali per le strutture aeronautiche

Alcuni concetti sulle metodologie di progetto delle strutture in campo aeronautico sono riassunti in Figura 1.1, in modo da valutare, per ognuna di esse, se è importante lo studio delle short crack e, in caso affermativo, per la progettazione di quali componenti:

PROGETTO A FATICA

SAFE LIFE

DAMAGE TOLERANCE

Fail safe

Slow crack growth

Crack Arrest

Multiple load path

Back-up structures

Filosofia della progettazione a fatica: inizialmente la filosofia costruttiva degli aerei era quella del safe-life, ovvero ogni struttura doveva garantire che non subisse alcun danneggiamento da fatica durante la sua vita. Questa metodologia, sebbene comporti notevoli sprechi sia in termini di materiale sia in termini di vita del componente, dato che è necessario sostituire il componente alla fine della vita operativa stimata, è, ancora oggi, la principale linea guida nella progettazione di singole parti strutturali, come i carrelli e per alcuni aerei militari (EFA2000). La conformità ai requisiti si ottiene attraverso prove in vera grandezza con sequenze di carico realistiche per una durata pari ad almeno quattro volte la vita richiesta.

L’approccio safe-life mostrò negli anni ‘60 i propri limiti:

• si dimostrò efficace nel garantire livelli di sicurezza, ma si ebbero, ad esempio, rotture fragili di componenti costruiti in materiali ad alta resistenza

• i risultati delle prove di fatica, effettuate su un componente in vera grandezza, rappresentativo della produzione, in caso di esito negativo portano alla riprogettazione e a costose modifiche sia nella produzione futura sia in quella già effettuata

• è impossibile estendere la vita oltre il limite per il quale la struttura è stata progettata.

In seguito a queste problematiche si è sviluppato il concetto di fail-safe. Questo

approccio costruttivo richiede una progettazione tale da garantire di realizzare

una struttura per cui, anche se si viene a formare una cricca, tale rottura non

porta alla perdita catastrofica dell’aereo. Per raggiungere questo scopo si fa uso

di strutture ridondanti, ossia strutture iperstatiche, in modo che se, a causa del

danneggiamento, viene a mancare un percorso delle linee di forza, ve ne sono

altri attraverso cui le forze possono passare.

In seguito si sviluppò, alla fine degli anni ‘70, la filosofia Damage Tolerance, che implementa la progettazione fail safe, con l’aggiunta del concetto di slow crack growth. La sicurezza, secondo questo approccio progettuale, è garantita dall’ispezionabilità e dalla definizione di intervalli opportuni in maniera tale da non avere una crescita critica di una cricca.

In fase di progettazione, il disegno dei vari componenti deve, allo stesso tempo, ridurre la possibilità di formazione di fessure per fatica in maniera da ottenere alta affidabilità e lunga vita operativa, con conseguente riduzione dei costi di manutenzione, e mantenere il peso della struttura compatibile con le prestazioni richieste e con l’economia del sistema.

Per soddisfare questi requisiti venne sviluppata negli stessi anni la tecnica Slow Crack Growth che si basa sulla meccanica della frattura elastica lineare per prevedere la propagazione di fessure e difetti della struttura.

Definizione di sicurezza e Durability: La progettazione Damage Tolerance assicura che se una struttura avrà dei danneggiamenti, questi non avranno effetti catastrofici in quanto verranno individuati durante le ispezioni programmate, ma non garantisce che questi problemi si verificheranno tardi nella vita operativa del velivolo. Per bilanciare i fattori di sicurezza con gli aspetti economici del progetto, si deve cercare di far sì che la possibilità di avere fessurazioni da fatica sia statisticamente bassa durante la prima fase della vita operativa del mezzo.

Più tardi si manifestano le cricche dovute ai fenomeni di fatica, più la

produttività dell’aereo aumenta, dato che le spese per la manutenzione si

riducono. La Durability ha come finalità la progettazione di strutture in modo

che la vita economica della flotta sia superiore a quella di servizio, dove con vita

economica si intende la vita oltre la quale lo sviluppo e la ricerca, le attività di

supporto quali ispezioni e manutenzione per contenere gli effetti della fatica

fanno aumentare i costi di gestione senza un miglioramento apprezzabile della qualità dell’aereo.

I requisiti di Durability hanno, quindi, come obiettivo quello di ottenere una struttura a bassissimo tasso di difettosità in maniera tale da ridurre gli interventi di riparazione e sostituzione, per l’intera flotta, inferiori a valori prefissati.

Per strutture safe-life e strutture non ispezionabili slow-crack-growth, in teoria, l’unica azione preventiva è il ritiro dal servizio del componente; in realtà, per mezzo dei controlli non distruttivi e con approfondite conoscenze sull’accumulo del danno per fatica, è possibile prolungare la vita.

Per strutture fail-safe e componenti ispezionabili slow-crack-growth, il metodo è

quello dei controlli periodici in cui si ha l’eventuale riparazione del

danneggiamento. Gli intervalli di ispezione, per zone sensibili alla fatica, si

fondano su calcoli basati sul periodo che è necessario alla fessura a crescere da

una misura rilevabile fino a quella critica.

Determination of the Category of Structure

Multiple Load Path and Crack Arrest ‘Fail safe’

structure Single Load Path

Inspectability of Normal Non-Directed Maintenance is adeguate to detecte Cracks

Prior to failur Yes

Or No

Figura 1.2: Approccio per la determinazione della soglia di ispezione [1]

Nelle metodologie esposte si fa uso di coefficienti correttivi empirici per garantire la sicurezza per tutta la vita. Proprio per la loro natura questi coefficienti causano sprechi sia in termini di produttività, dovendo effettuare verifiche del danneggiamento più frequenti, sia in termini di materiale utilizzato, essendo le strutture più voluminose di quelle strettamente necessarie in modo tale da evitare la propagazione dei difetti fino ad una data dimensione.

Inoltre, purtroppo, si sono verificate situazioni critiche in questi coefficienti di

sicurezza, seppur gravosi non sono stati sufficienti a garantire la sicurezza

dell’aereo, come ad esempio nel caso dell’ormai famoso incidente occorso al

Boeing 737 dell’Alhoa in cui uno scenario di danneggiamento diffuso dovuto

anche a fenomeni di fatica ha portato alla perdita in volo di parte dei pannelli

Valutazione del rischio e progetto ADMIRE: Per questo motivo, in anni recenti, si sta cercando di introdurre il concetto di valutazione del rischio. Si valuta, cioè, la probabilità di avere una fessura di una certa entità dopo un data vita operativa e, di conseguenza, vengono stabiliti gli intervalli di ispezione in modo tale da avere il margine di sicurezza stabilito.

In questo ambito si è inserito il progetto ADMIRE, il cui scopo fondamentale è stato lo sviluppo di un metodo probabilistico applicabile alla progettazione Damage Tolerant alle strutture aeronautiche, prendendo in considerazione gli studi sul danneggiamento iniziale, sulla crescita delle fessure e sulla resistenza residua di geometrie complesse.

L’analisi della propagazione della cricca prende in esame la storia della fessura dall’origine, in cui viene ipotizzato un difetto iniziale rappresentativo della qualità della produzione a cui è stato sottoposta la struttura in esame, fino alla dimensione critica della cricca.

Tutte le applicazioni del concetto di Difetto Iniziale (Initial Flaw) sono basate sulla definizione di un’ipotetica fessura, Difetto Iniziale Equivalente (Equivalent Initial Flaw o EIF), che rappresenta cioè i difetti connaturati con la produzione e che quindi rappresentano la qualità iniziale del componente (Initial Quality Flaws). Sono difetti presenti nella maggior parte o in tutti i luoghi critici della struttura (es. i fori dei rivetti).

La dimensione dell’Equivalent Initial Flaw (Equivalent Initial Flaw Size o

EIFS) può essere calcolata a ritroso, partendo dai dati di test di fatica esistenti, e

riportandosi, tramite una legge di propagazione, nella condizione in cui non si

ha ancora avuto alcuna sollecitazione; si giunge, così, a determinare l’ipotetica

cricca, che, a zero cicli, avrebbe dato il via alla propagazione.

Per ottenere questi risultati è necessario avere un’estesa banca-dati che permetta di modellizzare la propagazione e di ipotizzare la dimensione di un difetto iniziale, da cui si è propagata la fessura, con un livello di confidenza elevato.

La soglia di ispezione viene, quindi, calcolata sulla base della propagazione della fessura dalla dimensione al momento N=0 fino alla dimensione critica.

aeq

adet

Crack length, a

Flight cycles, N

Figura 1.3: Determinazione di EIFS tramite l’estrapolazione dalle curve S-N o dati di crescita noti [1]

aeq

Crack length, a

Flight cycles, N acrit

threshold basis

Figura 1.4: Determinazione del tempo necessario per passare da aeq a acr come base per la determinazione della soglia di ispezione [1]

La procedura descritta implica che l’EIF è un difetto fittizio, creato matematicamente e che non rappresenta necessariamente un difetto “reale”

presente nella struttura. Inoltre, non è sufficiente stabilire un singolo difetto iniziale tramite le curve S-N, ma è opportuno ottenere una distribuzione di EIFS tramite il calcolo a ritroso, applicato ad un insieme di test a fatica per ogni livello di sollecitazione. La distribuzione dei danneggiamenti iniziali sarà utilizzata come base per una valutazione statistica dei rischi.

Proprio a causa della sua natura, la dimensione del difetto iniziale equivalente non dipende solo dai dati S-N utilizzati, ma anche da altri parametri quali:

• Dati di propagazione

• Algoritmo di estrapolazione

• Modello di propagazione

Oltre ai dati di propagazione rilevabili tramite prove a fatica è necessario avere a

disposizione un modello di propagazione che descriva in maniera esauriente la

crescita della fessura dalla fase di nucleazione fino alla dimensione per cui è

stata calcolata la funzione probabilità di danneggiamento. Ovviamente, l’algoritmo utilizzato per il calcolo dell’EIFS deve essere usato anche la stima della propagazione. In altre parole un cambiamento nei dati, quali geometria del pezzo, materiale, tensioni, ecc., e/o nel metodo di investigazione richiede una nuova prova e la successiva interpretazione.

L’EIFS calcolato per un particolare non è un valore fisso legato solo alla geometria del pezzo, ma dipende da vari parametri che descrivono lo stato di tensione, i più importanti dei quali sono:

• Interferenza

• Lavorazione

• Squeeze Force

Per la valutazione del rischio non è, inoltre, sufficiente considerare solo la dimensione della cricca, ma anche altri fattori come la posizione del difetto in modo da poter valutare la pericolosità del danneggiamento.

Per ottenere l’EIFS è, quindi, necessario avere una varietà di prove a fatica che coprano sia le variazioni della geometria del pezzo sia i differenti processi di produzione, che possono portare a diversi stati di tensione.

1.2 Interpretazione del fenomeno della fatica

Il fenomeno della fatica è molto complesso e tipicamente viene diviso in tre fasi

fondamentali: nucleazione, propagazione e rottura finale. Di questi la fase più

difficile da descrivere è sicuramente quella iniziale, quando le cricche non sono

ancora visibili e che, temporalmente, è la più estesa. Per questo motivo lo studio

della crescita di short-cracks è di fondamentale importanza per la comprensione

dei fenomeni legati alla fatica.

Figura 1.5: Collasso di una struttura per fatica [2]

Scorrimento ciclico: in seguito a sollecitazioni periodiche con carichi relativamente bassi, rispetto ad esempio al limite elastico, possono avvenire scorrimenti ciclici in un limitato numero di grani della struttura cristallina del materiale. Le deformazioni, che si hanno in seguito all’applicazione ciclica delle sollecitazioni, non hanno loro stesse carattere di periodicità, poiché si vengono a creare delle combinazioni che impediscono il ritorno della struttura nella configurazione originaria. Le alterazioni, dovute alla nuova applicazione del carico, portano all’accumularsi delle deformazioni che si manifestano con l’affioramento di uno o più piani cristallini. Nel caso di una struttura policristallina, l’affioramento dei piani può essere interno al materiale e si ha, quindi, il bloccaggio reciproco per interazione tra i vari grani, oppure esterno con la formazione di anomalie superficiali. Queste anomalie si manifestano come rugosità superficiale dovuta al graduale svilupparsi di avvallamenti e protuberanze derivanti dall’affioramento di uno o più piani cristallini. Gli

Accrescimento ciclico nei grani

Nucleazione di Short-cracks

Accrescimento Short-cracks

Accrescimento Long-cracks

Collasso finale

avvallamenti nella superficie hanno lo stesso effetto di microintagli che favoriscono ulteriori scorrimenti. Questo fenomeno è più probabile durante la fase di trazione dato che, durante la fase di compressione, i microintagli possono chiudersi riducendo la concentrazione di sforzi, accrescendo ulteriormente l’irreversibilità degli scorrimenti.

Figura 1.6: Affioramento superficiale dei piani cristallini

Nucleazione delle short-crack: La nucleazione della cricca a livello microscopico, ovvero la fessurazione del materiale, ha luogo in una zona estremamente ridotta del volume totale, quantificabile in non più di due-cinque grani, e in particolar modo nello strato superficiale.

È un fenomeno tipicamente superficiale per due motivi:

• I grani superficiali non hanno grani circostanti che possano interagire con loro e quindi impedire il movimento di affioramento dei piani cristallini;

• I grani superficiali sono in contatto con l’ambiente di lavoro e quindi c’è la

possibilità che ossigeno, umidità e altri fattori cooperino con i difetti

superficiali che si sono venuti a creare per la nucleazione di una cricca.

Un’eccezione fondamentale riguarda le leghe di alluminio e gli acciai ad alta resistenza, nei quali la nucleazione di una cricca per fatica può innescarsi anche dalle inclusioni intermetalliche presenti sulla superficie del grano.

Figura 1.7: Cricca propagatasi da un’inclusione

Accrescimento delle short-cracks: Le short-cracks non seguono la meccanica della frattura lineare elastica. La propagazione della fessura in questo nel campo può interessare una parte piuttosto grande della vita a fatica della struttura; la cricca risulta, infatti, individuabile ad occhio nudo solo in un momento avanzato nella vita della struttura, quando è già nel campo delle long-cracks. Questo fatto fa sì che siano di fondamentale importanza le condizioni locali del materiale, la finitura della superficie e i trattamenti a cui è stata sottoposta, aspetti che determinano in modo fondamentale la vita a fatica.

Accrescimento delle long-cracks: Lo stadio di propagazione di fatica è la fase in cui la cricca si propaga nel materiale, generalmente lungo una direzione differente rispetto al piano di nucleazione e perpendicolarmente alla direzione di applicazione del carico. La transizione tra short e long cracks non avviene,

Short crack

Inclusioni

ovviamente, ad una lunghezza fissa, ma dipende da diversi fattori quali le dimensioni dei grani, il carico medio applicato, il rapporto R, la presenza o meno di intagli. In via del tutto generale, è possibile affermare che la propagazione delle fessure lunghe non dipende dalla microstruttura del materiale e che, orientativamente, si può parlare di long-cracks quando la lunghezza delle fessure ha dimensioni maggiori di 1mm.

In aircraft structures to be found by non destructive inspection

20 40 60 80 100 % percentage fatigue life

atomic distance initiation at polished surfaces initiation at inclusion initiation at rough surfaces

start at macro defect 1 m

100 mm

10 mm

1 mm

100 μm

10 μm

1 μm

100 Å

10 Å

1 Å

macro crackmicro crackinitiation

crack lenght

Figura 1.8: Vita residua a differenti lunghezze di fessura [3]

Collasso finale: Quando la fessura raggiunge la dimensione critica si ha una

propagazione incontrollata della fessura fino al danneggiamento della struttura

al punto tale che la sezione residua non è più sufficiente a sopportare il carico

applicato e, quindi, il componente cede di schianto. La modalità di frattura può

essere sia duttile che fragile, a seconda del materiale, del livello di stress,

1.3 Definizione di short crack

Le short-cracks sono definite in letteratura [4] in modo diverso a seconda degli aspetti su cui si pone l’attenzione:

1) Microstructurally Short-Cracks: cricche di dimensioni 2 a ≤ 2 , dove 2 a

a

rappresenta la lunghezza di transizione oltre la quale non si rilevano ritardi o arresti nella propagazione dovuti all’interazione con la microstruttura del materiale;

2) Mechanically Short-Cracks: cricche di dimensioni 2 a

< 2 a < 2 a

, dove 2 a rappresenta la lunghezza di fessura oltre la quale il rateo di crescita è

uguale a quello relativo alle long-cracks;

3) Phisically Short-Cracks: cricche che, pur essendo fisicamente corte nel senso dimensionalmente, si comportano come le fessure lunghe.

La caratteristica principale delle short-cracks consiste nel fatto che questo tipo di fessure, a differenza delle long-cracks, non seguono le leggi classiche della meccanica della frattura elastico-lineare, per cui sono necessari dei modelli matematici differenti che possano descriverne i fenomeni di nucleazione e propagazione.

I dati sperimentali sulla propagazione delle short-crack, comparati con le curve relative alla crescita di long-cracks, hanno mostrato comportamenti diversi:

• a parità di variazione di fattore di intensificazione degli sforzi ΔK, si può

rilevare che la velocità di crescita delle cricche corte è maggiore di quella

delle fessure lunghe.

• è stato osservata la propagazione delle fessure a valori ben al di sotto del valore di soglia del ΔK, il ΔK

, zona dove non si ha propagazione delle long-cracks.

1.4 Meccanica della frattura per le short-cracks

Uno schema del comportamento della propagazione per fatica delle fessure, secondo quanto è previsto dalla frattura lineare elastica, è mostrato in Figura 1.9, dove la velocità di crescita è plottata in funzione di ΔK in scala logaritmica.

Threshold Paris

Region of interest

m

Fracture (K ^Max>K ^C)

No FCG

Unstable FCG

da/dn

ΔK K ^Th

Figura 1.9: Velocità di crescita di una cricca in funzione di ΔK

La crescita della fessura può essere divisa in 3 fasi.

La prima fase mostra un valore di soglia, al di sotto del quale non si dovrebbe avere propagazione, e un rapido aumento della velocità,

, al crescere della variazione del fattore di intensificazione degli sforzi, ΔK.

La fase intermedia, chiamata regime di Paris, mostra una relazione lineare tra la velocità e il fattore di intensificazione degli sforzi. Prendendo spunto da questa relazione, Paris sviluppò la formula (0.1) che lega la velocità di propagazione della fessura,

, a ΔK, facendo uso di due parametri empirici (C e m).

( )

da C K

dN = Δ (0.1)

La terza fase è quella in cui si ha la propagazione instabile della cricca.

Fin dai primi anni ‘70, però, è stato osservato il comportamento diverso

dell’accrescimento delle short-cracks rispetto a quello delle long-cracks. Sulla

base degli studi, che hanno riguardato la propagazione delle short-crack in un

range da 10 μm a 1 mm, è stato possibile disegnare la relazione tra velocità di

crescita,

, e variazione del fattore di intensificazione degli sforzi, ΔK,

come determinato dalla LEFM; la relazione è visualizzato in Figura 1.10.

Costant-amplitude loading R=costant

Long Crack

Long Crack from hole Short crack

from hole

Short cracks

Long crack (K decresing test)

ΔKth ΔK da

dN

Figura 1.10: Andamento tipico della propagazione di cricche corte e lunghe [5]

La curva continua rappresenta i risultati tipici per cricche lunghe (oltre circa 2

mm) per un dato materiale sotto carichi ad ampiezza costante; i risultati per le

cricche corte sono, invece, rappresentati con linee tratteggiate. Le differenze tra

il comportamento delle short-cracks e le long-cracks sono evidenti: le fessure

lunghe mostrano un valore di soglia del fattore di intensificazione degli sforzi,

ΔK

, al di sotto del quale non si ha propagazione. Le cricche piccole, invece,

spesso non mostrano un valore di soglia di ΔK e possono crescere anche per

valori ben inferiori al ΔK

delle long cracks. La velocità di propagazione delle

short-cracks, inoltre, a parità di ΔK, è spesso significativamente più alta di

quella prevista dalla meccanica della frattura lineare elastica. L’accrescimento,

infine, non è continuo, ma mostra rallentamenti e pause dovute all’interazione

della cricca con la struttura cristallina del materiale. Questo tipico andamento è

presentano un valore iniziale di

piuttosto alto e una riduzione del tasso di crescita in funzione del carico applicato. Dopo aver raggiunto un valore minimo, la velocità di propagazione aumenta fino ad raccordarsi con il tasso di crescita previsto dalla LEFM.

Le differenze nella velocità di propagazione sono più pronunciate per bassi valori di ΔK e per valori negativi di R. Al crescere del valore ΔK, le differenze tra long e short cracks diminuiscono fino ad avere la stessa velocità di crescita.

Altro aspetto interessante, nel comportamento delle short cracks, è il fatto che

non esiste un unico valore del ΔK di soglia. Nel caso delle cricche lunghe questo

dipende, come mostrato in Figura 1.11, solo dal valore di R e non dalla

lunghezza della fessura; nelle cricche piccole, invece, è stato rilevato che il

ΔK

, dipende anche dalla dimensione della cricca tramite parametri che

derivano dal tipo di materiale.

R 1 2 3

da/dn

ΔK ΔK^Th3

R1 <R2 <R3

ΔK^Th2 ΔK^Th1

Δ(da/dn)

Δ(ΔK^Th)

Δ

Figura 1.11: Variazione per cricche lunghe del ΔK_th in funzione di R

Gli studi, compiuti fin dalla metà degli anni ‘80 su vari materiali, hanno mostrato che l’effetto short-crack è molto forte per leghe di alluminio e leghe di titanio con carichi che passano dalla fase di trazione a quella di compressione, mentre, per gli acciai ad alta resistenza, si ha una buona corrispondenza tra il comportamento delle cricche corte e quello delle cricche lunghe senza variazioni significative legate allo spettro di carico.

A tale proposito, esiste una lunghezza di fessura di transizione, 2 a ,

oltrepassata la quale, la crescita della fessura avviene in maniera continua; tale

valore dipende, come il ΔK

, sia dal valore massimo della tensione applicata

Possiamo, inoltre, definire un valore di lunghezza di fessura, 2 a , superato il

quale la velocità di propagazione delle short cracks è uguale a quello delle long crack. Per la lega di alluminio 2024 T3, i valore i 2 a e 2

a sono riportati in

Tabella 1.1.

R S

2 a

2 a

[MPa] [μm] [μm]

225 200-210 (*) 205 90-100 (*) 0,5

195 60-70 (*) 145 140-150 430

0 120 90-100 430

80 200-210 980

-1 70 100-110 470

(*) nessun effetto short crack

Tabella 1.1: Valori tipici di 2am e 2asc per vari valori di R [6]

Le irregolarità sul fronte di avanzamento della fessura e le inclusioni possono influenzare lo stato di tensione locale e quindi l’avanzamento stesso della cricca.

In campo lineare elastico il campo delle tensioni in vicinanza della cricca è descritto da equazioni del tipo

( ) ^, ( ) ^{per 0}

2

r f K r

σ θ θ r

= π →

essendo K il fattore di intensità degli sforzi calcolato con la tensione all’infinito σ

.

Figura 1.12: Apice della fessura

σ

θ

Dato che per le short crack sono risultate non valide le equazioni della LEFM, sono state proposti modelli alternativi che ne descrivono il comportamento.

Hutchinson [7] e Rice [8] hanno proposto delle leggi valide in campo elastico non lineare, che descrivono il campo di tensioni con formule del tipo

( ) ( )

n n+1 2 0 0

, E J ' , n per 0

r f r

σ θ r σ θ

σ

⎛ ⎞

= ⎜ ⎟ →

⎝ ⎠

dove il parametro che regola il processo è l’integrale J [9], analogo al “K” usato nella LEFM. E è il valore del modulo elastico locale; se la zona plasticizzata è ' piccola, vale la relazione

2

' J K

= E

Dowling [10] e Bowling & Begley [11] hanno proposto di legare la velocità di propagazione delle short cracks all’integrale J invece che al ΔK, ottenendo in tale modo risultati apprezzabili. L’equazione di Paris (0.1) diventa, quindi,

( )

da C J

dN = Δ (0.2)

Purtroppo anche questa teorizzazione ha fallito nel dare un quadro unitario della propagazione di short e long cracks. Ciò, probabilmente, è dovuto all’interazione della fessura con la zona plasticizzata al suo apice.

Nel caso delle long cracks (>1 mm), la zona plasticizzata ha un raggio, in condizioni di stato piano di sollecitazione, pari a

1

2

max y

y

R K

π σ

⎛ ⎞

= ⎜ ⎜ ⎟ ⎟

⎝ ⎠ (0.3)

Questa zona è funzione del massimo fattore di intensificazione degli sforzi e

della tensione di rottura del materiale. Per le fessure lunghe, trascurando la zona

plasticizzata nell’analisi della propagazione, commettiamo errore relativo più piccolo che per le fessure corte.

Un motivo fondamentale, per cui le cricche corte crescono più velocemente di quelle lunghe, potrebbe essere la differenza della deformazione plastica residua intorno all’apice della fessura. Nel caso di short-cracks, con un piccola zona plasticizzata, la deformazione residua è minore rispetto a quella delle long cracks, che hanno una zona plasticizzata più estesa. La minore deformazione per le fessure corte è dovuta all’“effetto chiusura”, per il quale la tensione, e quindi il “K”, a cui i bordi della cricca si aprono, K

, è maggiore della tensione minima applicata durante il ciclo di carico; questo a causa delle tensioni residue di compressione agli apici della cricca.

Gross Stress σ Elastic

Distribution Plastic

Notch

Crack Tip Plastic Zone Notch Plastic Field

Notch Elastic Field Component with short crack in a severe notch

σ σ

Figura 1.13: Zona in campo plastico e zona in campo elastico all’apice di una fessura corta

La differenza tra il K

e il K

viene chiamato K

, ed è stato dimostrato che è esso che regola il meccanismo di propagazione delle rotture per fatica.

È stato verificato che le cricche lunghe spesso presentano una chiusura della fessura prima che il carico applicato sia completamente rimosso; ciò può essere dovuto a vari fattori come rugosità del bordo o impurità all’interno della fessura.

Morris, James, & Buck [12] hanno dimostrato, con test su provini in lega di titanio, che l’“effetto chiusura” cresce al crescere della dimensione della fessura, sino a raggiungere asintoticamente il valore relativo alle long crack.

Questi fattori sono legati alla lunghezza della cricca e, quindi, più influenti per le cricche lunghe che per quelle corte.

La prematura chiusura della cricca fa sì che una parte del carico applicato serva ad aprire la fessura e solo una certa percentuale alla propagazione di questa.

Si ha perciò

ΔK

= K

– K

La riduzione del fattore del fattore di intensificazione degli sforzi è stata verificata solo per K

≤ K

e pertanto l’effetto della chiusura anticipata della cricca è significativa solo per i carichi che hanno una fase di compressione significativa.

Essendo quindi, a parità di ΔK, il ΔK

maggiore per le short-crack che per le long-cracks, la velocità di crescita delle prime risulterà maggiore di quella delle seconde.

È fondamentale, quindi per lo sviluppo dei metodi matematici per la predizione

della avanzamento della fessura, la conoscenza del fattore di intensificazione

degli sforzi.

1.5 Determinazione del fattore di intensità degli sforzi

Newman in un suo lavoro [13] ha proposto la seguente formula per la determinazione del fattore di intensità degli sforzi nel caso di short cracks:

i i

K=S aF Q π

Essa è stata ricavata da fattori di intensificazione degli sforzi calcolati con metodi agli elementi finiti e con metodi con funzioni peso per fessure superficiali e d’angolo, dove:

S

= tensione uniforme asintotica, Q = fattore di forma della fessura,

F

= fattore di correzione che tiene conto di varie condizioni al contorno.

Più in particolare, il calcolo del fattore di intensificazione degli sforzi assume che la “surface crack”, semiellittica, sia collocata al centro della radice dell’intaglio e che la “corner crack” sia posizionata allo spigolo.

Per calcolare il fattore di intensificazione degli sforzi nel punto dove la cricca

interseca la superficie dell’intaglio ( ^{φ π}

) , è necessario conoscere le

dimensioni “

” (o L ), lunghezza della fessura, e “

”, profondità della stessa

come mostrato in Figura 1.15.

S

S

S

S S

S

c c

2c a

a 2a a

2w 2w

w

Centre Flaw Tension Corner Crack SENT Figura 1.14: Tipi di provino utilizzati per le prove su short crack [12]

r c w

B=2t 2a

r c w

B=t a

(a) Surface crack (b) Corner crack

φ=π/2 φ=π/2

Figura 1.15: Definizione delle dimensioni a e c relativamente a surface-crack e corner- crack [5]

La profondità della fessura “

” è calcolata tramite la seguente equazione

2 2

0,9 0, 25 0,9 0, 25

c a L

a t B

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ (0.4)

sia per una fessura superficiale che di spigolo.

L’equazione (0.4) approssima bene la relazione tra “

” e “

” per fessure

innesco e che non seguivano bene l’equazione (0.4) è stato deciso di utilizzare per il rapporto

una legge lineare tra i valori iniziali e finali.

L’equazione per la variazione del fattore di intensificazione degli sforzi per una

“surface crack” sita al centro dell’intaglio è

K S a F

Q

Δ = Δ π (0.5)

per 0, 2 a 2

≤ ≤ e c a 1 t < .

La variazione di sforzo (ΔS) è la variazione di carico (S

–S

).

( )

1 1, 464 a

Q= + c

se a 1

c ≤

( )

1 1, 464 c

Q= + a

se a 1

c >

Per le fessure superficiali alla radice di un intaglio semicircolare si ha:

2 4

sn 1 2 3 1 2 3 4 5 w

a a

F = M +M +M g g g g g f f

t t

⎡ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎤

⎢ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎥

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎢ ⎥

⎣ ⎦

Dove, per a 1 c ≤ , M

= l

2 3

2

M = 0,5

0,11 a c + ⎜ ⎟ ⎛ ⎞ ⎝ ⎠

3 3

2

0, 29 M =

0, 23 a

c

+ ⎜ ⎟ ⎛ ⎞ ⎝ ⎠

4 12

1

2,6 2

g 1 cos

1 4

a a

t t

a c

φ

⎛ ⎞ ⎛ − ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= − ⎛ ⎞

+ ⎜ ⎟⎝ ⎠

2 3 4

2 2

1 0,358 1, 452 1,578 2,156

g 1 0,08

λ λ λ λ

λ

+ + − +

= +

( )

1 1 c cos 0,9

r λ

φ

= +

( )

g

1 0,1 1 cos 1 a φ ^⎛ t ^⎞

= + − ⎜ ⎝ − ⎟ ⎠

4 1

2

1,14 0,1 1 g

c r

= −

⎛ + ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

2 3 4

f = 1 0, 2w −

γ

γ

γ

γ dove

( ^{c r} )

γ = w ⁺

La funzione f

è data da

2 14

2 2

f = a cos sin

φ ^⎡⎢^{⎛ ⎞}⎜ ⎟c

φ

φ

⎢⎝ ⎠ ⎥

⎣ ⎦

Per a 1 c >

12

M

c a

= ⎜ ⎟ ⎛ ⎞ ⎝ ⎠

2 14

2 2

f = ^⎡⎢^{⎛ ⎞}c sin

φ

φ

mentre M

, M

, g

, g

, λ, g

, g

e f

rimangono quelli precedentemente esposti.

Per le fessure d’angolo alla radice di un intaglio semicircolare, l’equazione (0.5) cambia in:

K S a F

Q

Δ = Δ π (0.6)

per

e

e dove

cn sn

F =F 1,13 0,09 a c

⎛ − ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠ per

cn sn

F =F 1 0,04 c a

⎛ + ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠ per

Il calcolo del rateo di crescita per una sollecitazione ad ampiezza costante è dato dalla relazione

1 1

i i

i i

c c

dc c

dN N N N

+ +

−

= Δ =

Δ −

dove c è la profondità della fessura a

N cicli.

La corrispondente variazione del fattore di intensificazione degli sforzi è calcolata alla lunghezza media

(

)

2

i i

c c

c +

=

È possibile, quindi, creare i grafici che mostrano l’avanzamento della cricca in

funzione dei cicli di carico effettuati e della velocità di propagazione in funzione

della lunghezza della fessura o della variazione del fattore di intensificazione

degli sforzi come mostrato in Figura 1.16.

Figura 1.16: Esempi di grafici ottenuti dai dati delle prove effettuate

0,1000 0,3000 0,5000 0,7000 0,9000 1,1000 1,3000

55000 65000 75000 85000 95000 105000 115000 125000 135000 145000

cicli

c [mm]

1,00E-06 1,00E-05 1,00E-04 1,00E-03

0,1000 0,3000 0,5000 0,7000 0,9000 1,1000 1,3000

c [mm]

dc/dn [mm/ciclo]

1,00E-06 1,00E-05 1,00E-04 1,00E-03

1 10 100

Δk [MPa(m)^0.5]

dc/dn [mm/ciclo]