LAUREA IN INGEGNERIA CIVILE ED AMBIENTE-TERRITORIO Corso di Fondamenti di Algebra Lineare e Geometria
Iaprova di accertamento – Padova GG-MM-AA TEMA n.1
PARTE 1. Quesiti preliminari
Stabilire se le seguenti affermazioni sono vere o false giustificando brevemente la risposta (risposta non giustificata = risposta non accettata):
a) Tre vettori di R3 che generano R3 sono linearmente indipendenti.
b) Se S ⊕ V1 = R4 e V1⊆ V2, allora S + V2 = R4.
c) Se f : R2 → R2 `e lineare e se f (e1) 6= 0 ed f (e2) 6= 0, allora f `e iniettiva.
PARTE 2. Esercizi
Esercizio 1 Si considerino i seguenti sottospazi di R4:
U1 =<
1 2 0 1
,
1 1 0 1
>; U2=<
3 4 0 3
,
1 0 0 0
> .
a) Determinare equazioni cartesiane per U1 ed U2.
b) Determinare una base ed equazioni cartesiane per U1∩ U2. c) Determinare una base ed equazioni cartesiane per U1+ U2.
d) Determinare un sottospazio T ⊆ R4 tale che T ⊕ (U1∩ U2) = U1+ U2.
Esercizio 2 In M2(R), si considerino i sottospazi V1 =
a b c d
| a + b + c = 0; c − d = 0
e V2=
a b c d
| a + 2b + c = 0; c − d = 0
. Si considerino poi i seguenti sottospazi di R3:
W1 =<
1 2 0
,
1 1 1
>; W2 =
x y z
| x − 2y = 0
.
a) Esiste un’applicazione lineare f : M2(R) → R3 tale che f (V1) = W1 ed f (V2) = W2? `E unica?
b) Sia f un’applicazione come al punto precedente. Scelte a piacere delle basi per M2(R) ed R3, scrivere la matrice di f rispetto a tali basi.
c) Scrivere la matrice di f rispetto alle basi canoniche.
d) Calcolare ker f ed Im f .
e) Determinare f−1
2 1 3
.
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Esercizio 3 Si considerino i seguenti sottospazi vettoriali di R3: U =< (1, 2, 1) >, T =< (0, 0, 1) >
e S =< (1, 2, 1), (0, 1, 0) >.
a) Esiste f endomorfismo di R3tale che S sia autospazio relativo all’autovalore 1 e T sia autospazio relativo all’autovalore −1? Se si `e unico? `E diagonalizzabile?
b) Determinare (fornendo la matrice associata rispetto ad una base scelta dallo studente) tutti gli endomorfismi f di R3 tali che U sia autospazio di autovalore 1, T sia autospazio di autovalore
−1 e f (S) = S.
c) Sia A la matrice rispetto alle basi canoniche dell’endomorfismo f di cui al punto a). Stabilire se A `e simile alla matice
B =
1 0 1 0 1 1 0 0 1
.
In caso affermativo, determinare una matrice H tale che B = H−1AH.
Tutte le risposte vanno opportunamente giustificate
