Capitolo 3

1

Capitolo 3

.

Modello Statistico per Propagazione Indoor

L’algoritmo del Ray-Tracing (RT) viene usato per la caratterizzazione della propagazione di onde radio in uno specifico ambiente Indoor fornendo accuratezza nella predizione. I modelli statistici, d’altra parte, offrono semplicità computazionale con una accuratezza soddisfacente.

In questo capitolo, e nel successivo, viene proposto un nuovo modello per la predizione della propagazione di onde radio in ambiente Indoor, ottenendo semplicità computazionale rispetto al Ray-Tracing e una migliore accuratezza rispetto ai modelli statistici. Il nuovo modello è basato su una derivazione statistica del Ray-Tracing, i cui risultati sono un certo numero di percorsi tra Trasmettitore e Ricevitore, ogni percorso comprende un certo numero di raggi. Il modello e la lunghezza dei raggi di tali percorsi sono legati ai parametri statistici caratteristici dell’ambiente Indoor in esame, come ad esempio la geometria del piano. Un’equazione chiave è ottenuta mettendo in relazione la potenza media sul percorso ai parametri dell’ambiente Indoor, i quali sono:

• Distanza media libera λ (da non confondere con la lunghezza d’onda) • Coefficiente di Trasmissione

C O R R I D O I O LOS

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L’equazione della potenza media sul percorso è quindi usata per la predizione della potenza ricevuta in tipico ambiente Indoor. Per valutare l’accuratezza e l’attendibilità del nuovo modello verrà operato un confronto con una campagna di misure condotta con strumenti forniti dalla National Instrument al primo piano del Centro di Ricerche FIAT di Orbassano vedi Fig (3.1).

Per maggiore accuratezza verranno comparati i risultati ottenuti, col metodo deterministico del Ray-Tracing, relativi a due diversi ambienti del piano terra del Centro di Ricerche FIAT vedi Fig (3.2)??, Fig (3.3)??

Trasmettirore

Finestre

Porte in Acciaio

Porte in legno

Muro in Acciaio

Muro in Mattone

3 E’ importante osservare che nella descrizione dell’ambiente non sarà in alcun modo tenuto in considerazione il mobilio presente nelle diverse stanze; questo vuol dire che nella compilazione del database (dalla quale il software attingerà le informazioni necessarie per compiere i calcoli) verranno soltanto menzionate informazioni riguardanti la lunghezza e proprietà morfologiche di oggetti come:

• Muri • Finestre • Porte

3.1- Calcolo potenza su un percorso di una certa lunghezza

Il modello Ray-Tracing approssima la propagazione Indoor in un numero finito di raggi originari dal trasmettitore. Ogni raggio incontra ostacoli che sono causa di riflessioni e trasmissioni (come per esempio muri, porte, finestre, etc). Il modello della propagazione dei raggi è dettata dalla geometria dell’ambiente Indoor in esame e dalle proprietà morfologiche di cui sono caratteristici gli ostacoli che incontra un raggio. Quindi, come alternativa, la caratterizzazione statistica della propagazione di onde radio può essere relazionata esplicitamente alle statistiche di tale modello [4]. Le caratteristiche statistiche della propagazione possono essere dedotte direttamente dal layout e dai materiali del piano in considerazione. Lo scopo di questo paragrafo è quello di legare la potenza, dovuta ad un determinato percorso seguito dai raggi, ai parametri specifici della propagazione di un determinato ambiente. Tale potenza verrà poi impiegata nelle Sezioni successive per predire la potenza di segnale ricevuta.

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3.1.1 Potenza sul percorso e Numero di Riflessioni e Trasmissioni

Quando un raggio, seguendo un percorso, arriva in un punto ha subito multiple riflessioni e trasmissioni. Conseguentemente, la potenza associata a tale percorso tende a decrescere rapidamente con la distanza seguendo un andamento proporzionale all’inverso del quadrato della distanza per lo spazio libero. Ogni percorso è seguito lungo tutto il suo cammino tra trasmettitore e ricevitore. Ogni volta che c’è un’intersezione con un oggetto il raggio perde una quota di potenza mentre la perdita in propagazione (propagation loss) tra due interazioni consecutive manterrà le caratteristiche tipiche dello spazio libero, ovvero, segue la legge dell’inverso della distanza al quadrato. Le perdite conseguenti all’interazione con oggetti sono dovute a riflessioni e/o trasmissioni, ma anche ad altri meccanismi, come ad esempio diffrazioni e scatter diffuso, ma questi ultimi possono considerarsi trascurabili quando ci si pone in ambienti Indoor [9].

Ogni perdita può essere espressa sotto forma di formulazione di potenza, come una moltiplicazione tra coefficienti di perdita. Infatti, dopo che un raggio ha percorso l metri dal trasmettitore (Tx) e incontrato n oggetti (m riflessioni e n-m trasmissioni), la potenza sul percorso è espressa da:

(1)

Dove R e T sono rispettivamente coefficienti medi di riflessione e trasmissione (mean “voltage” reflection and trasmission coefficients).

Po è la potenza in spazio libero a distanza di 1 metro, al quale è espressa da:

) ( 2 2 2

)

,

,

(

m n m o

l

R

T

P

m

n

l

P

=

− − 2

4

⎟⎟

_⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=

f

c

G

G

P

_{o t r}

π

5 Dove Gt e Gr (=1 per antenne isotropiche) sono i guadagni dell’antenna in trasmissione e ricezione rispettivamente.

c è la velocità della luce in spazio libero

f è la frequenza del segnale radio, nello specifico abbiamo scelto 2.4 GHz (WIfi).

Per il resto in questo lavoro vista l’applicazione di tale modello, si è assunto che sia in trasmissione che in ricezione le antenne siano omnidirezioanli.

La potenza media sul percorso generico può essere scritta come:

(2)

dove f(n,m|l) è la funzione densità di probabilità (PDF) di un percorso seguito dai raggi che intersecano n oggetti dopo aver viaggiato per l metri con m riflessioni e (n-m) trasmissioni. Nel prossimo paragrafo discuteremo nel dettaglio di tale funzione densità di probabilità (PDF).

3.1.2 Calcolo di f(n,m|l)

Quando un raggio incontra un oggetto subisce trasmissione e/o riflessione; questi eventi possono essere considerati indipendenti ed esclusivi di un singolo percorso e avvenuti a una determinata distanza dal Trasmettitore. Quindi, f(n,m|l) può essere decomposta come moltiplicazione di due funzioni:

(3)

(

)

∑ ∑

∞ = − = −

=

0 ) ( 2 0 2 2

_,

_|

)

(

n m n n m m o

l

f

n

m

l

R

T

P

l

P

)

,

|

(

)

|

(

)

|

,

(

n

m

l

f

₁

n

l

f

₂

m

n

l

f

=

•

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Dove f1(n,l) è la funzione densità di probabilità (PDF) per un percorso che ha subito n interazioni

dopo aver percorso una distanza pari a l.

In [13] è stato dimostrato attraverso l’ausilio di una simulazione Monte Carlo che tale funzione è una distribuzione di Poisson per ambienti Indoor.

Quindi

(4)

dove 1/ λ è la distanza media libera tra due interazioni adiacenti. Essa è definita come la distanza media che un raggio può percorrere prima che esso interagisca con un oggetto. Questo parametro è stimato all’interno di un dato perimetro, il quale si assume essere perfettamente rettangolare1. Nel prossimo paragrafo sarà presentato un metodo per calcolare tale parametro usando tecniche probabilistiche. Il metodo riesce a stimare 1/λ dalla conoscenza della lunghezza e larghezza dei

rettangoli presenti nell’ambiente Indoor.

La seconda funzione f2(m|n,l), d’altra parte, fornisce la probabilità esatta di avere m riflessioni e n-m

trasmissioni lungo un percorso di l metri.

Come menzionato prima, questi sono indipendenti ed esclusivi, dunque f2(m|n,l) in tali condizioni

segue la distribuzione binomiale [18].

Quindi

(5)

l n

e

n

l

l

n

f

=

λ

−λ

!

)

(

)

,

(

1

)

(

)

(

)

,

|

(

2

p

l

q

l

m

n

l

n

m

f

m n−m

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=

7 dove p(l) e q(l) sono le probabilità di riflessione e trasmissione, rispettivamente, per un percorso lungo l; notare che p(l)+q(l)=1.

Dopo un certo numero di manipolazioni2 della (2) si ottiene il seguente risultato:

(6)

Questa equazione fornisce una relazione esplicita tra la potenza media del percorso e le caratteristiche geometriche dell’ambiente, attraverso (λ), e le proprietà morfologiche dei materiali che compongono lo stesso ambiente attraverso (R e T).

Dalla stima di questi parametri, basati sulla localizzazione reciproca del Trasmettitore e del Ricevitore, (6) può essere applicata per la predizione della potenza in cui comparirà come variabile incognita la lunghezza.

3.1.3 Calcolo di q e p

Usare (6) per la predizione della potenza dovuta a cammini multipath, conoscendo la localizzazione del Trasmettitore e del Ricevitore, implica la conoscenza di q e p e questa cambia con il variare della lunghezza l del percorso, vedi Fig 3.2

2 _{Per maggiori approfondimenti vedi Appendice 3A}

) ( 2 2 2

)

(

l l qT pR o

l

e

e

P

l

P

=

− −λ λ +

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Fig. 3.2 Rettangolarizzazione dell’ambiente necessaria per la determinazione della PDF di p e q

Prima di impostare il calcolo della potenza spieghiamo alcuni simbolismi fin qui incontrati: • L è la distanza “diretta” tra Trasmettitore e Ricevitore

• è la differenza tra la lunghezza dell’intero percorso seguito da un raggio e la lunghezza del tratto diretto tra Trasmettitore e Ricevitore.

• l =L+ è la lunghezza dell’intero percorso, ovvero caratterizzato da riflessioni e rifrazioni.

Δ

Δ

9 Si osserva che p(L)=0 in quanto in LOS (Line Of Side) non possono avvenire fenomeni di riflessione.

N.B: Per percorsi la cui lunghezza eccede un certo valore (quindi per percorsi che assumono lunghezze dell’ordine di qualche centinaio di metri), gli eventi Riflessione_Rifrazione possono essere considerati equivalenti, ovvero p e q assumono uguale probabilità p=0.5.

Ad ogni modo si può pensare ad un andamento del tipo esponenziale, ad esempio:

(7)

Una simulazione Monte Carlo ha valicato tale ipotesi. La simulazione può essere riassunta come segue:

Il modello rettangolare del piano assume le dimensioni 10x5 con un grado di incertezza in lunghezza e larghezza pari a 50%. Questo significa che la larghezza è 5+δw dove δw è una variabile uniformemente distribuita nell’intervallo [-2.5,2.5], e la lunghezza è analogamente pari a 10+ δL dove δL è un avariabile uniformemente distribuita tra [-5,5].

Vengono generati un gran numero di raggi che incrocieranno n oggetti. Per ogni raggio il tipo di interazione (Riflessione o Rifrazione) è registrato ad ogni interazione come mostrato in Fig.3.3

2

1

)

(

2

1

)

(

)

(

)

(

Δ − Δ −

₊

=

Δ

⇒

−

=

Δ

=

Δ

+

=

p

L

P

e

λ

q

e

λ

l

p

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Fig.3.3 Distribuzione di probabilità dell’evento Riflessione (p)

La lunghezza e l’estensione di percorso viene calcolato, dove con termine estensione si intende la distanza diretta che c’è tra Trasmettitore e Ricevitore (L), mentre la lunghezza dell’intero percorso è pari a L+

Δ

. Dunque, p e q sono assegnati per ogni Δ dalla quale la funzione densità di probabilità,

p(Δ), viene stimata. (Fig .3.3 mostra i risultati di tale simulazione).

In questa figura, entrambe le PDF sono derivate dalla simulazione e vengono plottate insieme all’andamento esponenziale.

11 Il valore (1/ λ) stiamato è molto vicino alla “distanza media libera” di un rettangolo le cui dimensioni sono appunto 10x5.3

3.1.4 Formula generale per il calcolo della Potenza sul Percorso

Sostituendo (7) in (8) si ottiene:

(8)

Notare che Δ serve per calcolare il tempo di ritardo: Δ/c, dove c è la velocità della luce. Dunque

(9)

Questa equazione rappresenta un profilo della Potenza “media” per canali radio Indoor.

Per visualizzare il significato dei parametri fin qui trovati, le Fig 3.4 (a)-(d) mostrano i profili dove un solo parametro per volta è considerato variabile e gli altri sono stati presi costanti.

Come si può osservare dalle figure seguenti, il parametro che più influenza è la distanza Trasmettitore-Ricevitore, considerando quindi l’influenza del parametro λ secondaria.

T e R danno un effetto abbastanza simile.

3 _{Il calcolo di λ verrà ripreso in dettaglio nel paragrafo 3.2.3} 2 2 2 ) 2 2 ( ) 2 2 (

)

(

λ λ λ λ Δ − − +

×

×

×

×

=

− − e R T l R T l

e

e

e

l

P

l

P

l o 2 ) )(( ( 2 ) )( ( ) ( 2 2 2 2 2

)

(

)

(

τ λ τ λ τ λ τ λ

τ

c e R T c L R T c L c L o

L

c

e

e

e

P

l

P

− − + + + + − −

_×

_×

_×

+

×

=

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13 Notare che quando l=L, la (9) assumerà l’espressione, tra l’altro attesa, dalla potenza per raggi appartenenti all’ambiente LOS:

(10)

Chiaramente, la LOS power è inversamente proporzionale al quadrato della distanza, ed esponenzialmente alla perdita per trasmissione4.

Notare che:

• 1-T2 _{è la perdita media nella rifrazione}

• λL è il numero medio di rifrazioni che avvengono lungo il percorso diretto ha lunghezza L

Poiché LOS ray non è niente altro che la linea che collega direttamente Trasmettitore e Ricevitore, allora la relativa porzione di potenza di segnale può essere tranquillamente sostituita con il calcolo deterministico della stessa.

Se esistono n oggetti che partecipano alla propagazione, ovvero n interazioni lungo questa linea5, allora le espressioni (8) e (9) si modificano come segue:

(11)

4 _{Non compare alcun riferimento alla Riflessione dato che in LOS non sono possibili fenomeni di riflessione} 5 _{Ci si riferisce alla linea immaginaria che collega direttamente Tx-Rx}

) 1 ( 2 2

)

(

L T o

L

e

P

l

P

=

− −λ −

)

(

)

(

1 2 2 ) 1 ( 2 2 2 2 2 ) 2 2 ( ) 2 2 (

∑

= − − − − − −

₋

₊

=

Δ − − + n i i L L l o

l

e

e

e

L

e

L

T

P

l

P

e R T l R T l λ λ λ λ λ

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3.2- Potenza ricevuta dovuta a cammini multipli

In questa sezione, verrà stimata la potenza ricevuta da percorsi multipli (Multipath Received Power) sfruttando l’equazione (11) analizzata nella sezione precedente. Per un ricevitore a banda larga, la

Multipath Power è semplicemente definita come la somma dei singoli contributi dei singoli percorsi

senza tener conto della fase individuale di ciascun percorso [19]. i.e.,

(12a)

Notare che quest’ultimo integrale non si può calcolare in forma chiusa, allora esso va calcolato per via numerica:

(12b)

dove δ/c costituisce l’unità di tempo. In (12b), si assume che esiste un percorso seguito dai raggi in ogni bin, il quale vale nel caso specifico 5ns6 dato che la larghezza di banda è 200MHz.

Il risultato che otteniamo dalla (12b) verrà comparato con la campagna di misure condotta con strumenti National Instrument al primo piano del Centro Ricerche FIAT di Orbassano, Fig 3.1, inoltre lo stesso calcolo verrà iterato su ambienti diversi, diversi in termini geometrici e morfologici, e verranno comparati con le stime di potenza ottenute tramite l’ausilio del modello deterministico del Ray-Tracing.

∫

∞=

=

L l

P

l

dl

L

P

(

)

(

)

∑

∞ =

+

≅

0

)

(

)

(

i

i

L

P

L

P

δ

15 Nel seguito, sono presentati metodi per il calcolo dei parametri fin ora trovati

• R • T • Λ

3.2.1 Area di interesse dove R, T e λ devono essere stimati

“Data una certa coppia di trasmettitore e ricevitore (Tx, Rx) ci serve identificare tutto ciò che entrerà nella propagazione”; ovvero gli ostacoli che circondano trasmettitore e ricevitore influenzano la stima della potenza ricevuta e quindi la determinazione dei valori medi di R T e λ.;

Quindi per identificarli serve procedere con l’individuazione del percorso a massima lunghezza seguito da un raggio, questo successivamente servirà come indice di quanto è affidabile la scelta di non aver tenuto in considerazione un ostacolo (oggetto) o al contrario considerarlo nella propagazione.

Si assume una soglia (diciamo 10 dB),7 al disotto del quale si può assumere un livello di potenza al ricevitore “abbastanza” degradato. Di conseguenza oltre questa soglia si può assumere trascurabile il raggio.

Il contorno dell’area che il percorso a massima lunghezza attraversa prima che il suo contenuto energetico assumi valori sotto la media è assunto essere una ellissoide. All’interno di tale ellissoide, è lecito aspettarsi che il livello di potenza più basso si abbia quando un dato percorso subisce solo una riflessione in un contesto di n interazioni. Questo è vero su base statistica dal momento che R2T 2(n-1)<R2mT 2(n-m) (assumendo che T≤R).

7 _{Nel prossimo capitolo verranno mostrati grafici che mostrano come l’assunzione di tale soglia non si è dimostrata poi}

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Come rappresentato in Fig 3.5, la localizzazione del trasmettitore e del ricevitore serve ad identificare i fuochi dell’ellisse il cui contorno funge da riflettore più lontano su cui i raggi rimbalzano con la stessa lunghezza. L’idea di confinare l’area di interesse all’interno di un perimetro di tipo ellissoido venne ai ricercatori quando cominciarono ad affrontare le problematiche del multipath scattering [15].

La rettangolarizzazione dell’ambiente Indorr in esame, semplifica moltissimo il problema di decidere quale sotto-ambiente (rettangolo-stanza) risulta elemento attivo nella propagazione.

Tale operazione si esegue tramite un mathching tra l’immagine ricreata con matlab dell’ambiente e l’immagine che rappresenta l’ellisse (Fig 3.5)

Fig 3.5 Esempio illustrativo del percorso a massima lunghezza relativo al perimetro ellissoidale. Questi sono estensione di muri (con T=1 e R=0) necessarie per

completare la fase di rettangolarizzazione

Questi contorni rettangolari, confinati all’interno dell’ellisse, sono inclusi per la stima di R, T e

λ

Percorso a massima

lunghezza all’interno dell’ellisse

17 Per caratterizzare l’ambiente e facilitare l’operazione di rettangolarizzazione abbiamo sfruttato la funzione rectangle di Matlab.

Qui di seguito viene eseguita una breve descrizione del suo funzionamento:

Width=Width*10; %Larghezza del generico rettangolo (stanza) in dm Length=Length*10; %Lunghezza del generico rettangolo (stanza) in dm WidthFloor=WidthFloor*10; %Larghezza dell’intero piano (insieme delle stanze) LengthFloor=LengthFloor*10; %Lunghezza dell’intero piano (insieme delle stanze)

Con l’uso della funzione rectangle si passano le informazioni su larghezza e lunghezza di una stanza, inoltre è necessario passare le coordinate di uno dei 4 vertici.

Coerentemente con quelle che sono di default le impostazioni degli assi di una matrice in Matlab, si è scelto come vertice da passare alla funzione rectangle quello di posto basso a sinistra.

x=x*10; %Ascissa del vertice basso a sinistra del generico rettangolo (stanza) in dm y=y*10; %Ordinata del vertice basso a sinistra del generico rettangolo (stanza) in dm

color=['r','g','y','c','m','k','b','r']; stan=[]; for i=1:numSTANZE; stanza=rectangle('position',[x(i),y(i),W(i),L(i)],'FaceColor',color(i)); daspect([1,1,1]); xlim([1,WF]); ylim([1,LF]); end

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A questo punto ciascuna stanza è diventata un semplice rettangolo, ovvero una matrice il cui numero di righe corrisponde con la lunghezza della stanza e il numero di colonne con la larghezza.

for i=1:numSTANZE; for ii=y(i):y(i)+L(i)-1; for jj=x(i):x(i)+W(i)-1; stan(ii+1,jj+1)=2*i; end end end

Durante il processo di rettangolarizzazione, si può procedere a fittizie estensioni dei muri, Fig 3.5, assegnando opportunamente i coefficienti di Trasmissione medi T=1 (no perdite per rifrazione) e Riflessione medi R=0 (no riflessione), qualora questi siano tali da non permettere una completa operazione di partizione in rettangoli8. Queste estensioni verranno incluse durante la fase di stima dei parametri medi T e R.

Se chiamiamo il percorso a lunghezza massima con lmax , allora la soglia di potenza, al di sotto della

quale si può ritenere il generico raggio trascurabile, è calcolata come:

(13a)

Dove Pmax è la massima potenza di un raggio che viaggia dal trasmettitore al ricevitore, la quale è

stata derivata dalla (8). Per Pth=10 dB si ha P(lmax)=0.1•Pmax . Un metodo per la determinazione di

lmax è sfruttare la seguente relazioni:

8 _{In realtà questa tecnica potrebbe essere anche adoperata qualora siamo in presenza di ambienti open-space dove non vi}

sono muri veri e propri e magari vi sono mobili (armadi per esempio) che coprono per una parte il settore di una stanza Per facilitare il mathching tra la matrice “piano” e la matrice “ellisse”, si vanno a riempire di multipli di 2 i singoli rettangoli

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=

)

(

log

10

max max 10

l

P

P

P

_th

19 • lmax ≈3L per la zona LOS.

• lmax ≈1.5L per la zona OLOS.

Dove L è la distanza tra trasmettitore e ricevitore come mostrato in Fig 3.5.

Queste due relazioni per lmax sono state derivate da numerose valutazioni della (8) per diversi valori

dei suoi parametri. In alternativa è possibile fare uso di modelli ad hoc derivati dirattamente da campagne di misura sul calcolo della potenza ricevuta, e per questi risulta [1]:

(13b)

3.3 – Descrizione Geometrica e Morfologica di un Ambiente

Le informazioni necessarie ad un tool di propagazione deterministico/statistico possono essere classificate in due tipi:

1) descrizione geometrica della scena;

2) descrizione morfologica della scena, cioè proprietà dei materiali costituenti gli oggetti presenti in essa.

3.3..1– Descrizione Geometrica

Da un punto di vista geometrico i tipici scenari di microcelle e picocelle sono abbastanza complessi poiché sono coinvolti un gran numero di oggetti differenti sia fermi come edifici, lampioni, cabine telefoniche, alberi, che in movimento come persone e autoveicoli. Ognuno di questi è coinvolto nel fenomeno della radio propagazione sebbene con una differente influenza.

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

L

l

P

_th max 10

log

10

α

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Come conseguenza, senza semplificazioni è impossibile simulare la radio propagazione in tali ambienti anche ricorrendo a metodi elettromagnetici approssimati. Quindi, solitamente i dati disponibili non contengono informazioni relative agli oggetti più piccoli (questo per evitare di generare un database “inutilmente enorme”).

Dunque, il livello di dettaglio nei modelli geometrici deve essere in relazione ai dati disponibili e all’approccio elettromagnetico usato. In molti casi, le sole informazioni disponibili sugli edifici riguardano le loro pareti esterne (forma geometrica e posizione), a volte includono anche informazioni relative ai materiali interni alle pareti. Questo potrebbe essere sufficiente per una predizione della propagazione outdoor ma non per una predizione indoor, che richiede l’ausilio di informazioni sulla struttura interna all’edificio (muri, piani, porte, finestre).

I dati riguardanti il terreno devono essere sempre tenuti in considerazione in modelli geometrici outdoor, specialmente in piccoli ambienti urbani e in aree collinari dove il terreno non può essere assunto piatto. In altri casi, come in microcelle e picocelle il terreno può essere considerato piatto. I dati su edifici e terreni possono essere ottenuti negli uffici comunali o nelle sedi di provincia e regione, da planimetrie disegnate o da files creati allo scopo.

21

3.2.2.– Modelli Morfologici

Le proprietà riflettenti di terreno e materiali costituenti superfici di edifici devono essere considerate in funzione dell’accuratezza delle predizioni. Esse possono essere ottenute da misure [18, 28] o possono essere calcolate [27, 29] da proprietà elettriche e rugosità dei materiali corrispondenti. Le proprietà elettriche sono:

• Permittività relativa, ε ; _r • Permeabilità relativa, μ ; _r • Conducibilità, σ;

Tabelle di proprietà elettriche di materiali possono essere trovate in letteratura [18, 20, 30]. Esse variano con la frequenza. Come esempio, parametri elettrici tipici a 1.8 GHz per comuni superfici esterne di edifici sono [18]:

Calcestruzzo: ε = 6.5, μ = 0.95, σ = 0.01 S/m , _{r r} Mattone: ε = 4.26, μ = 1.03, σ = 0.01 S/m , _{r r}

Pietra calcarea: ε = 0.21, μ = 0.006, σ = 0.03 S/m . _{r r}

Queste proprietà caratterizzano superfici lisce. Per tener conto della rugosità di certe superfici dovrebbe essere incluso nel modello un parametro di rugosità σ_h. Poiché l’inserimento di questa caratteristica complica di molto le espressioni utilizzate nel calcolo del campo elettrico (presentate nel capitolo 2) senza apportare un sostanziale aumento della precisione nella predizione della propagazione, noi consideriamo come lisce tutte le superfici coinvolte nell’ambiente in analisi.

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3.3.2.– Stima di R e T

Appena la figura dell’ellisse è determinata, è possibile procedere al calcolo dei coefficienti di riflessione e trasmissione medi per ogni oggetto (diciamo k oggetti su un totale di n) che è contenuto all’interno del perimetro ellissoidale.

Quindi segue che R e T sono calcolati usando la formulazione:

Dove Ri , Ti e Si sono i coefficienti di riflessione, trasmissione e dimensione rispettivamente

dell’oggetto i-esimo. Nel caso bidimensionale (2-D), Si è la lunghezza dell’oggetto i-esimo (ovvero

se fosse un muro allora la sua lunghezza).

Ri e Ti possono essere a loro volta calcolati nel seguente modo [1]:

∑

∑

∑

= = =

₌

=

k i i i k i i k i i i

R

s

S

R

S

R

1 1 1

∑

∑

∑

= = =

₌

=

k i i i k i i k i i i

T

s

T

T

S

T

1 1 1

(14)

23

(15a)

(15b)

dove ε = εr + j60λσ è la costante di permittività magnetica complessa, εr è la costante dielettrica relativa normalizzata, σ è la conduttività, e χ è un coefficiente che tiene conto delle perdite per rifrazione e tipicamente si sceglie un valore fisso pari a 0.5 [9].9 Si nota che (15a) è una funzione dell’angolo di incidenza; esso è considerato una variabile uniformemente distribuita tra [0,π/2] [25]. Dunque, per un certo materiale, si può trovare il valore medio del coefficiente di riflessione e trasmissione mediando appunto le (15a)-(15b) su un range di angoli compreso tra [0, π/2] nel seguente modo:

9 _{N.B: da no confondere il significato di}

λ

_{che in questo caso è associato al concetto di lunghezza d’onda e non alla}

distanza media in spazio libero di un raggio fin ora inteso.

⎪

⎪

⎩

⎪

⎪

⎨

⎧

−

+

−

−

−

+

−

−

=

;

cos

sin

cos

sin

;

cos

sin

cos

sin

)

,

(

2 2 2 2

θ

ε

θ

ε

θ

ε

θ

ε

θ

ε

θ

θ

ε

θ

θ

ε

i i i i i i i

R

Polarizzazione Orizontale Polarizzazione Verticale

)

1

(

)

,

(

_i2 i

R

T

ε

θ

=

χ

−

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3.3.4– Stima di

λ

Lo stesso concetto di usare il perimetro elissoidale per stimare R e T, viene ora adoperato per la stima del parametro λ . La conoscenza della funzione distribuzione densità di probabilità (PDF) della lunghezza di un raggio è necessaria ai fini della stima del valore medio di una variabile random (λ). L’appendice 3.B mostra la distribuzione di probabilità geometrica di un raggio all’interno del perimetro rettangolare definito da una stanza. La distanza media libera può essere stimata come segue:

(16)

Dove ρA, ρW, ρL sono le lunghezze medie dei raggi tra: pareti adiacenti (quattro possibili casi), pareti opposte in larghezza, pareti opposte in lunghezza.

Con l’ausilio dell’Appendice 3.B segue che:

∫

=

2 / 0

)

,

(

/

2

π

θ

θ

ε

π

R

d

R

_i

∫

=

/2 0

)

,

(

/

2

π

θ

θ

ε

π

T

d

T

_i L W A

ρ

ρ

ρ

λ

6

1

6

1

6

4

1

₌

₊

₊

25

(17a)

(17b)

(17c)

Per un rettangolo i nel piano, la distanza media libera 1/λi è calcolata basandosi sulla lunghezza (a) e larghezza (b) del rettangolo stesso. Ogni rettangolo che è contenuto all’interno dell’ellisse sarà poi usato per la stima del valore medio λ in maniera proporzionale all’area effettiva del rettangolo che rientra nell’ellisse, come indicato in Fig 3.5.

Quindi [19]

(18)

Dove αi è la regione del rettangolo i-esimo che si sovrappone all’zona occupata dall’ellisse, la cui area è Ai=ai•bi;

3

ln

6

ln

6

2 2 2 2 2 2 2 2

_a

_b

b

b

a

a

a

b

a

b

a

b

b

a

A

+

+

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

₊

₊

+

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

₊

₊

=

ρ

2 3 2 2 2 2 2 2 2 2

3

3

3

2

ln

a

b

b

a

a

b

a

b

b

a

a

a

b

W

+

+

−

+

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

₊

₊

=

ρ

2 3 2 2 2 2 2 2 2 2

3

3

3

2

ln

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

b

a

L

+

+

−

+

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

₊

₊

=

ρ

∑

∑

= =

=

_r i i r i i i 1 1

1

α

λ

α

λ

Implementazione di un software di calcolo della copertura elettromagnetica di reti wireless Wi-Fi

L’assunzione che viene fatta è che l’ellisse confina completamente con i rettangoli.

Si potrebbe pensare di avere situazioni in cui solo una porzione del perimetro di un rettangolo viene sovrapposto all’ellisse, ovvero nel caso si abbia un corridoio si potrebbero avere solo due linee parallele, lungo x o y, che sono sovrapposte all’ellisse. In questo caso la distanza media libera andrebbe calcolata come:

• 1/λi=ρW se abbiamo due linee parallele lungo x

27

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