Come si può fornire una tale potenza in un

INTRODUZIONE

La fibrillazione è una contrazione disordinata del muscolo cardiaco. Un forte shock elettrico può ripristinare la normale contrazione. Per questo è necessario applicare al muscolo una corrente di 20 A per un tempo di 2 ms.

L’energia corrispondente è 200 J e la potenza 100 kW.

Come si può fornire una tale potenza in un

luogo isolato?

INTRODUZIONE

I condensatori sono dispositivi che immagazzinano energia nella forma di un campo elettrostatico

Vengono utilizzati quando è necessario rilasciare un grande quantità di energia in un tempo molto breve

Inoltre essi vengono usati per produrre campi elettrici e svolgono importanti funzioni nei circuiti elettrici

Sono infine componenti fondamentali degli oscillatori elettromagnetici che sono alla base dei sistemi di trasmissione e ricezione dei segnali radio

LA CAPACITÀ

CONDENSATORE GENERICO CARICO

piatti o armature

q = CV

carica q su un piatto (modulo)

differenza di potenziale fra i piatti (modulo)

Capacità (costante)

LA CAPACITÀ

Condensatore a piatti paralleli Carica di un condensatore

Simboli

Unità di misura della capacità SI C = q

V

coulomb

volt = farad

!

"#

$

%&

microfarad

(

)

picofarad

(

)

C dipende da

•  forma delle armature

•  posizione reciproca delle armature

•  materiale interposto fra le armature

CALCOLO DELLA CAPACITÀ

(1) Si assume che ci sia una carica q sui piatti

(2) Si calcola il campo elettrico fra i piatti in funzione della carica q usando la legge di Gauss

ε

E ⋅ d ^ 

A = q

∫

modulo costante



E e d  A

(3) Si calcola la differenza di potenziale V fra i piatti

V = E ds

+

∫

V

− V

= −V

V

−V

= − 

E ⋅ d  s

i f

∫

su un cammino dal piatto positivo al piatto negativo

(4) Si calcola la capacità C=q/V. C è costante.

ε

EA = q

superficie dove passa il flusso

CONDENSATORE A PIATTI PARALLELI

ε

E ⋅ d ^  A = q

∫

ε

EA = q ^{E =} _ε ^q

0

A = σ ε

V = E ds

+

∫

_ε

0A ds

0 d

∫

_ε

0A _{C =} ^q

V =ε₀ ^A

d (cond. piatti paralleli)

pF/m 85

, 8 F/m 10

85 , Nm 8

10 C 85 ,

8

12 2

0

= ⋅

= ⋅

=

ε

2

Nm² = C Nm

C m

= C

Vm = F m

I piatti di un condensatore sono separati da una distanza d=1,0 mm.

Calcolare l’area dei piatti per avere C=1,0 F

A = Cd ε

⁼

1, 0 F

( ) ( ^{1, 0 ⋅10}

^m )

8,85⋅10

F/m = 1,1⋅10

m

≈ 100 km

Il farad è una unità di misura molto grande

CONDENSATORE CILINDRICO E SFERICO

Lunghezza L>>b

ε

∫

^{q = ε}

^{EA = ε}

^{E 2 ( π rL ) E =} _{2 πε} ¹

0

L q r

V = E ds

+

∫

⁼ _{2 πε} ^q

L

dr

a

r

b

∫ ⁼ _{2 πε} ^q

0

L ln b a

#

$ % &

' (

C = q

V = 2

πε

ln b / a

( )

E = 1 4 πε

q r

V = E ds

+

∫

dr r²

a b

∫

0

1 a − 1

b

#

$% &

'( V = q

4πε₀

b − a

ab

C = q

V = 4 πε

^ab b − a

(condensatore sferico) Condensatore sferico

q = ε

EA = ε

^{E 4} ( π ^r

)

Sfera isolata

b → ∞ C = q

V = 4

πε

Esempi

Un cavo coassiale ha un raggio interno a=0,15 mm ed esterno b=2,1 mm.

Qual è la capacità per unità di lunghezza del cavo?

C

L = 2 πε

ln b / a ( ) ⁼

2 π

( ) ( ^8,85pF/m )

ln 2,1 mm/0,15 mm ( ) ^{= 21pF/m}

Calcolare la capacità della terra come sfera conduttrice.

C = 4 πε

R = 4 ( ) π ( ^8,85⋅10

^F/m ) ( ^{6, 37 ⋅10}

^m ) ^{= 7,1⋅10}

^{F = 710 µ F}

CONDENSATORI IN PARALLELO

spostandosi da (+) a (-) si attraversa un solo elemento dell’insieme

q

= C

V q

= C

V q

= C

V q = q

+ q

+ q

= C (

+ C

+ C

) ^V

ogni elemento ha ai suoi estremi la stessa differenza di potenziale V

la carica totale fornita dalla batteria si suddivide fra gli elementi

q = C

V

C

= q

V = C

+ C

+ C

la capacità equivalente è sempre maggiore della più grande capacità singola dell’insieme

C

= C

n

∑

(parallelo)

CONDENSATORI IN SERIE

spostandosi da (+) a (-) si attraversano tutti gli elementi

la differenza di potenziale V della batteria eguaglia la somma delle singole V_i

la carica q ceduta ad ogni elemento è uguale

V₁ = q

C₁; V₂ = q

C₂ ; V₃ = q C₃

V = V₁+V₂ +V₃ = q 1 C₁ + 1

C₂ + 1 C₃

!

"

# $

%&

C

= q

V = 1

1 / C

+1 / C

+1 / C

la capacità equivalente è sempre minore della più piccola capacità singola dell’insieme

1

C

= 1 C

n

∑

Energia immagazzinata in un campo elettrico

un agente esterno (batteria) compie un lavoro positivo per separare le cariche

esso può essere restituito scaricando il condensatore (ΔU<0)

tale lavoro è immagazzinato come energia potenziale elettrica U (ΔU>0)

Energia necessaria per caricare un condensatore

carica sul condensatore

q !

V = ! q ! C

Incremento di carica

d ! q

dU = ! V d ! q

Trasferimento di una carica q finita

U = dU ∫ ^{= q} _C ^{" d " q}

0 q

∫ ^{= q}

2

2C = C

V

2C = 1

2 CV

Energia immagazzinata in un campo elettrico

L’energia è immagazzinata nel campo condensatore

a piatti paralleli ^{u =} _Ad^{U =}

12CV² Ad =

12

(

)

Ad = 1

2ε₀^E2

densità di energia

Volume (valida in generale)

q

= q

+ q

^C

^V

= C

V + C

V

V = V

C

C

+ C

= ( 6, 30 V ) ( ^{3, 55 µ F} )

3, 55 µ F + 8, 95 µ ^F

( ) ^{= 1, 79 V}

U

=

C

V

=

( 3, 55 µ ^F ) ( ^{6, 30 V} )

^{= 70, 5 µ J}

U =

C V

+

C V

=

( 3, 55 µ F + 8, 95 µ ^F ) ( ^{1, 79 V} )

^{= 20, 0 µ J}

A C₁=3,55 µF viene applicata V₀=6,30 V. C₂=8,95 µF. Trovare la differenza di potenziale comune. Trovare l’energia immagazzinata prima e dopo

CONDENSATORI CON DIELETTRICO

Senza dielettrico q ; V (costante)

C

= q V

Con dielettrico

κ

q ; V (costante)

C =

κ

V =

κ

C

= q V

q (costante); V

q (costante); V / κ

C = q

V / κ_e =κ_eC₀

κ

CONDENSATORI CON DIELETTRICO

maggiore efficacia

nell’immagazzinare la carica

limite alla differenza di potenziale applicata

Condensatori in presenza di dielettrico

C

= κ

ε

^A

d

^πκ

^ε

L

ln b / a

( ) ^C

^{= 4πκ}

^ε

ab b − a

Equazioni dell’elettrostatica con dielettrico E = 1

4

πκ ε

r² (carica puntiforme) E =

σ

κ ε

DIELETTRICI DAL PUNTO DI VISTA ATOMICO

dielettrici polari

momenti di dipolo intrinseci dielettrici non polari

campo elettrico indebolito all’interno

effetto della carica indotta cariche indotte

momenti di dipolo indotti dal campo elettrico

Esempio

Condensatore a piatti paralleli, C₀=13,5 pF, V=12,5 V. Un piatto di porcellana viene inserito (k_e=6,5). Calcolare l’energia immagazzinata con e senza dielettrico

U

= q

2C

=

C

V

=

( 13, 5⋅10

F ) ^{( 12, 5V )}

^{= 1055pJ}

U

= q

2C = q

2 κ

^C

⁼ U

κ

⁼

1055pJ

6,5 = 162 pJ

Le armature attirano il dielettrico e compiono un lavoro di 893 pJ

I DIELETTRICI E LA LEGGE DI GAUSS

Senza dielettrico ε₀ E ⋅ d^ 

A =ε₀E₀A = q

∫

E

= q ε

^{A =}

σ ε

Con dielettrico

q q EA A

d

E⋅ = = − ʹ′

∫

0 ε

ε ^{! !}

carica netta

A q A E q

0

0 ε

ε

− ʹ′

=

carica libera sulle armature

carica superficiale indotta

ε

E ⋅ d ^ 

∫ A ^{= q − $ q → ε}

∫ ^κ

^{E ⋅ d  A  = q}

carica libera

• Forma più generale della legge di Gauss

• L’integrale di flusso è relativo a (riduzione del campo elettrico)

• q è la sola carica libera. La presenza del dielettrico è compresa in

• Il vettore viene chiamato vettore spostamento elettrico e la legge di Gauss assume la forma semplificata

κ_e  E

κ

κ

ε

^{E } 

D

D ⋅ d  

A = q

∫

Il campo nel dielettrico viene ridotto

E = E

κ

⁼

q κ

ε

^A

Legge di Gauss in presenza di dielettrici

I DIELETTRICI E LA LEGGE DI GAUSS

Esempio

A=115 cm², d=1,24 cm, b=0,78 cm, k_e=2,61, V₀=85,5 V. Calcolare la capacità C₀ prima dell’inserimento della piastra.

C₀ =ε₀^A d

C₀ =

(

) (

)

1,24 ⋅10⁻²m =

= 8, 21⋅10⁻¹²F = 8, 21pF

Calcolare la carica libera sui piatti

q = C

V

= 8, 21⋅10 (

F ) ^{( 85, 5V ) = 702 pC}

Calcolare il campo elettrico nelle zone vuote tra i piatti e la piastra

ε

∫ κ

^{E }

^{⋅ d A = ε }

^{( ) 1 E}

^{A = q}

E₀ = q

ε A = 7, 02 ⋅10⁻¹⁰C 8,85⋅10⁻¹² F/m

( ) (

)

ESEMPIO

Calcolare il campo elettrico nella piastra dielettrica

ε

∫ κ

^{E ⋅ d  A = −  ε}

^κ

^{EA = −q}

E = q

κ

ε

A = E

κ

⁼

6, 90 kV/m

2,61 = 2, 64 kV/m

Calcolare la differenza di potenziale fra i piatti con piastra posizionata

V = E ds = E

( d − b )

+

−

∫ + Eb = 52, 3V

Calcolare la capacità con la piastra posizionata

C = q

V = 7, 02 ⋅10

C

52,3V = 13, 4 pF