Appendice C Il metodo Enhanced Reference Stress (ERS).

Appendice C

Il metodo Enhanced Reference Stress (ERS).

1 Introduzione.

Nel 2002, Kim e Budden

Bibliografia.

[1], hanno proposto il metodo Enhanced Reference Stress (ERS) per effettuare il calcolo elasto-plastico dell’integrale J e del COD. Tale metodo è stato validato a fronte dei dati resi disponibili da analisi agli elementi finiti e da prove sperimentali su tubazioni[2].

Il metodo si è rivelato uno strumento molto più potente del metodo GE/EPRI comunemente utilizzato nelle analisi di LBB.

ERS fornisce valori di J e del COD molto più accurati di quelli ottenuti con il metodo GE/EPRI (ciò è dovuto al fatto che ERS può essere utilizzato senza effettuare il fit della curva tensione-deformazione, aspetto, quest’ultimo, che rappresenta il vero punto debole del metodo GE/EPRI) e permette di valutare in modo piuttosto semplice J e COD anche in condizioni di carico combinato Nel metodo GE/EPRI, il calcolo di J e COD richiede la conoscenza delle funzioni di influenza; sfortunatamente per condizioni di carico combinato tali funzioni dipendono oltre che di Rm/t, θ/π e n, anche del fattore di carico λ. L’ aggiunta di

questo parametro, rende molto gravoso lo sforzo computazionale richiesto per il calcolo delle funzioni di influenza; per questo motivo, le soluzioni attualmente disponibili sono in numero limitato e non sono in grado di coprire tutte le combinazioni di carico possibili.

Il metodo ERS, invece, consente di calcolare J e COD per qualsiasi combinazione dei carichi utilizzando semplicemente una formulazione opportuna per il carico di riferimento).

2 Il metodo ERS.

Nei paragrafi seguenti si prende in esame una tubazione con una fessura passante circonferenziale sottoposta a condizione di carico di trazione pura; il risultato ottenuto può essere facilmente generalizzato ad altre condizioni di carico ricorrendo ad un’ opportuna scelta del carico di riferimento.

2.1 L’integrale J.

Si consideri un materiale la cui curva tensione-deformazione è descritta dalla relazione R-O: (1) n       + = 0 0 0 σ σ α σ σ ε ε

La componente plastica dell’integrale J calcolata con il metodo GE/EPRI risulta:

(2) 1 0 1 0 0 1 , , +       ⋅       ⋅       − = n m T m pl P P n t R h R J π θ π θ θ ε ασ

Nell’equazione (1), ε0, σ0, α e n sono costanti,

E

0 0

σ

ε = , E è il modulo di Young del materiale. Nell’equazione (2), Rm, t e θ indicano, rispettivamente, il raggio medio

della tubazione, lo spessore della tubazione e la semiampiezza della fessura; P è l’intensità del carico di trazione e P0 è il carico di collasso calcolato con la relazione

seguente: (3) _            − − = _{σ π θ} − _sinθ 2 1 sin 2 2 1 0 0 R t P _m

La funzione di influenza h1T, dipende dalla geometria e dallo strain hardening

exponent n.

La componente elastica dell’integrale J si calcola con una formula simile alla (2):

(4)

(

)

dove h₁T

(

)

1 per un materiale elastico (n=1) per una data geometria.

(5) 1 0 1 1 ) 1 ( ) ( −       = = n T T el pl P P n h n h J J α

Dato che i valori di h1T(n) e h1T(n=1) sono tabulati in [3], è possibile valutare

) 1 ( ) ( 1 1 = n h n h T T

. I valori di tale rapporto sono riportati in Figura 1(a),(c),(e) al variare di

Rm/t, θ/π e n; si nota come ) 1 ( ) ( 1 1 = n h n h T T

sia fortemente dipendente da θ/π e n e poco influenzato dalla variazione di Rm/t.

Figura 1 Confronto tra il rapporto

) 1 ( ) ( 1 1 = n h n h T T

e G1 per tubazione con

fessura circonferenziale passante soggetta a carico di trazione pura [1].

Ciò ha fatto pensare che la dipendenza da θ/π e n, potesse essere minimizzata introducendo al posto di P0 nella (5) un carico di riferimento ottimizzato PoR.

Le numerose analisi condotte con metodi agli elementi finiti, hanno permesso di stabilire la seguente relazione tra PoR e P0 :

(6) P_oR =γ( Pθ) ₀

con γ fornito da:

(7)

( )

Se si introducono la (6) e la (7) nell’equazione (5), si ottiene:

(8) 1 1 , , −             = n oR m el pl P P n t R G J J π θ α con

( )

(

)

La Figura 1(b),(d),(f) riporta i valori di G1 per vari valori di Rm/t, θ/π e n. Si nota

come la dipendenza da θ/π e n sia stata notevolmente ridotta; inoltre, i valori di G1

rimangono sempre prossimi all’unità. Ciò condente di riscrivere la (8) nel modo seguente: (9) 1 −       ≈ n oR el pl P P J J α

L’equazione (9), così come riportata, può essere applicata solo a materiali che rispettano la relazione di R-O; tuttavia, la (9) può essere estesa a materiali che possiedono una curva tensione-deformazione arbitraria. Per effettuare tale estensione è necessario definire la tensione di riferimento σref:

(10) _y oR ref P P _σ σ =

con σy tensione di snervamento del materiale.

La (10), consente di riscrivere la (9) nella forma generale seguente:

(11) ref ref el pl E J J σ ε ≈

essendo εref la deformazione di riferimento valutata alla tensione σref sulla curva

effettiva tensione-deformazione del materiale.

A questo punto è possibile calcolare il valore dell’integrale J sommando alla

componente plastica Jpl fornita dalla (11), la componente elastica Jel. La British

Energy [4],raccomandadi correggere Jel tramite il fattore seguente:

(12) y ref r ref ref r _{con L} E L σ σ ε σ = = Ω 2 2 1

Combinando la (11) e la (12) si ottiene la relazione seguente per stimare l’integrale J:

(13) ref ref r ref ref el E L E J J ε σ σ ε 2 2 1 + = 2.2 Il COD.

Per un materiale R-O (equazione (1)), il metodo GE/EPRI fornisce la seguente

relazione per il calcolo della componente plastica del COD:

(14) n m T m pl P P t R n h R _      ⋅ ⋅ = 0 2 0 (_π, , ) θ θ αε δ

(15) _      ⋅ = ⋅ = 0 2 0 ( 1) P P n h R T m el αε θ δ

Il rapporto tra la (14) e la (15) fornisce:

(16) 1 0 2 2 ) 1 ( ) ( −       = = n T T el pl P P n h n h α δ δ

I valori di h2T(n) e h2T(n=1) sono tabulati in [3], perciò è possibile calcolare il

rapporto ) 1 ( ) ( 2 2 = n h n h T T .

Figura 2 Confronto tra il rapporto

) 1 ( ) ( 2 2 = n h n h T T

e G2 per tubazione con

I valori di tale rapporto sono riportati in Figura 2 al variare di Rm/t, θ/π e n; come nel caso dell’integrale J, ) 1 ( ) ( 2 2 = n h n h T T

risulta fortemente dipendente da θ/π e n.

Anche in questo caso, l’introduzione nella (16) del carico di riferimento ottimizzato

PoR, riduce la dipendenza dai parametri θ/π e n. Si ottiene, infatti, la relazione

seguente: (17) 1 2 , , −             = n oR m el pl P P n t R G π θ α δ δ Il parametro

₍

( )

₎

G γ con γ fornito dalla (7), è

diagrammato in Figura 2per diversi valori di Rm/t, θ/π e n. Esso risulta prossimo

all’unità, per cui la (17) è ben approssimata dalla relazione seguente:

(18) 1 −       ≈ n oR el pl P P α δ δ

La (18), può essere estesa a materiali con curva tensione-deformazione arbitraria seguendo lo stesso procedimento utilizzato nel caso dell’integrale J. Si ottiene per δpl

un’espressione identica alla (11):

(19) ref ref el pl E σ ε δ δ ≈

A questo punto è possibile calcolare il valore del COD sommando alla componente

plastica δpl fornita dalla (11), la componente elastica δel. Anche in questo caso la

British Energy [4]raccomandadi correggere δel tramite il fattore seguente:

(20) y ref r ref ref r L con E L σ σ ε σ = = Ω 2 2 1

Combinando la (19) e la (20) si ottiene la relazione seguente per stimare il COD: (21) ref ref r ref ref el E L E ε σ σ ε δ δ 2 2 1 + =

La (23) può essere impiegata per il calcolo del COD se L_r ≤1. Per L_r ≥1, Langston [5] ha dimostrato che il metodo ERS, tende a sovrastimare il valore del COD (aspetto non conservativo ai fini di un’analisi di LBB). Per risolvere il problema il COD è calcolato utilizzando per la valutazione della εref non i dati della curva tensione

vera-deformazione vera, ma quelli ricavati dal seguente fit della porzione plastica della

curva σ-ε: (22) _y n y p per σ σ σ σ ε ε _≥         = 1 2 . 0

dove εp0.2 e σy rappresentano la deformazione dello 0.2% e la tensione corrispondente

a tale deformazione. Se si conoscono la tensione vera di rottura σu,t e l’allungamento

percentuale a rottura εu,t, n1 può essere calcolato con la relazione seguente:

(23)

[

(

_[

)

_]

]

La Figura 3 mostra una rappresentazione schematica del fit della curva tensione-deformazione ottenuto utilizzando le equazioni (22) e (23). Si nota come la curva di

fit tenda a sottostimare la deformazione per un dato valore di tensione; ciò consente

Figura 3 Diagramma schematico di una curva tensione-deformazione e del fit con legge di potenza [1]

Se si utilizza la legge di potenza (22), si ottiene la seguente espressione del COD valida per L_r ≥1: (24)

( )

Bibliografia.

[1] Kim Y. J., Budden P. J., “Reference Stress Approximations for J and COD of Circumferential Through-Wall Cracked Pipes”, International Journal of

Fracture, 2002: 116, 195-218.

[2] Kishida K., Zahoor A., "Crack Opening Area Calculations for Circumferential Through-Wall Pipe Cracks”, EPRI Special Report

NP-5959-SR, Electric Power Research Institute, Palo Alto, CA, 1988.

[3] Kumar V., German M. D., “Elastic-Plastic Fracture Analysis of Through-Wall and Surface Flaws in Cylinders”, EPRI Report NP-5596, 1988. [4] R6, Assessment of the Integrità of Structures Containing Defect, Revision 4,

British Energy, 2001.

[5] Langston D. B., “A Reference Stress Approximation for Determining Crack Opening Displacement in Leak-Before-Break Calculations”, Nuclear Electric