Fig. 5.1 – Satellite ERS in modalità Image Mode

Capitolo 5

Analisi delle immagini reali

5.1 Descrizione dei dati

Le immagini a nostra disposizione sono state acquisite dal sensore SAR montato sulle piattaforme ERS1 ed ERS2 in modalità Image Mode (Fig. 5.1a, 5.2b).

Fig. 5.1 – Satellite ERS in modalità Image Mode

Fig. 5.2 – Schema strutturale del satellite ERS

Le caratteristiche operazionali del satellite ERS sono elencate in tabella 5.1.

Nella tabella 5.2 sono elencate le modalità operazionali del SAR montato a bordo della piattaforma ERS.

along track <=30 m Risoluzione spaziale:

across-track <=26.3 m

Larghezza dello swath: 102.5 km

Swath standoff: 250 km

along track <=1 km;

Accuratezza della localizzazione:

across-track <=0.9 km near swath 20.1°.

mid swath 23°

Angolo d’incidenza:

far swath 25.9°

Tolleranza dell’angolo d’incidenza: <=0.5 °

Tabella 5.1 - Caratteristiche operazionali del satellite ERS

Tabella 5.2 - Modalità operazionali del SAR

Frequenza: 5.3 GHz (C-band)

Lunghezza d’onda: 5.6 cm

Banda: 15.55+-0.1 MHz

Polarizzazione: VV

Le immagini sulle quali saranno applicati i procedimenti di analisi spettrale descritti nei Capitoli precedenti sono state estratte da due acquisizioni SAR diverse, la prima è stata eseguita dalla piattaforma ERS-1 sulla zona costiera sopra Catania (Fig. 5.3, 5.4), mentre l’altra è stata eseguita dalla piattaforma ERS-2 sulla Galizia (Fig. 5.5, 5.6).

Fig. 5.3 – Zona di acquisizione relativa all’immagine ERS-1

Fig. 5.4 – Immagine SAR ERS-1 (Catania)

Fig. 5.5 – Zona di acquisizione relativa all’immagine ERS-2

Fig. 5.6 – Immagine SAR ERS-2 (Galizia)

L’immagine ERS-1 di Catania ha come centro scena le coordinate Latitudine

37.4 N -15.26 E Longitudine ed è stata acquisita il 28 Novembre 1993 alle

09:41:30.

L’acquisizione dell’immagine relativa alla Galizia ha coordinate del centro della scena Latitudine 44.61 N -3.38 W Longitudine ed è stata acquisita il 4 Gennaio 2003 alle 22:23:01.

Le caratteristiche delle immagini sono riportate in Tabella 5.3.

Dimensione immagine 8000x8100 punti

Dimensione pixel 12.5 m

Area della scena 100x100 km

Codifica UINT 16 bit

Numero looks 3

Tabella 5.3 – Caratteristiche delle immagini

Dalle precedenti immagini abbiamo selezionato due aree di 2048X2048 punti (come mostrato nelle Fig. 5.4, 5.6), relative ad una porzione di mare priva di evidenti disomogeneità al fine di analizzare le proprietà della superficie marina (Fig. 5.7, Fig. 5.8).

Fig. 5.7 – Porzione dell’immagine di Catania

Fig. 5.8 – Porzione dell’immagine della Galizia

5.2 Stima della densità spettrale di potenza

Al fine di conseguire una stima dello spettro di potenza delle immagini SAR relative alla superficie marina, si farà uso della tecnica proposta da Welch (esposta nel Par. 3.1.4) in cui la dimensione del sottoblocco di dati viene fissata a 256X256 campioni, questo ci permette di ridurre la varianza della stima mediante una operazione di media dei risultati ottenuti sui vari sottoblocchi, e di conseguire così una densità spettrale rappresentata su un numero di campioni sufficiente per le successive elaborazioni.

Si mostrano nelle Fig. 5.9 e 5.10 gli spettri direzionali ottenuti a partire dalle immagini SAR presentate in precedenza.

Fig. 5.9 – Spettro direzionale relativo all’immagine SAR di Catania

Fig. 5.10 - Spettro direzionale relativo all’immagine SAR della Galizia

Tramite l’interpolazione cartesiano-polare esposta nel Par. 3.2.4, si ottengono delle mappe polari che vengono rappresentate in un sistema di coordinate cartesiane in cui sull’asse orizzontale si avranno i riferimenti angolari e sull’asse verticale i riferimenti frequenziali. Relativamente alle immaigi SAR considerate si otterranno gli spettri direzionali di Fig. 5.11 e 5.12.

Fig. 5.11 – Spettro direzionale in forma polare relativo all’immagine SAR di Catania

K

θ

Fig. 5.12 – Spettro direzionale in forma polare relativo all’immagine SAR della Galizia

5.3 Spettro del rumore

5.3.1 Analisi del rumore nelle immagini SAR

Si analizza il rumore presente in più immagini acquisite dallo stesso sensore.

Viene selezionata sullo spettro direzionale una regione (Fig. 5.13) in cui si suppone sia presente quasi esclusivamente rumore, come esposto nel Par.

4.4. All’interno di questa sezione si andrà a determinare, tramite un processo di media sulle colonne, il vettore S

( ) K relativo allo spettro medio di rumore per quell’immagine. Si esegue il solito procedimento, mantenendo la medesima regione sullo spettro direzionale, anche per le altre immagini, per un totale di tre. Si dimostra che, almeno in relazione alle immagini utilizzate in questa analisi, il rumore calcolato è una caratteristica peculiare del sensore considerato. Infatti le tre immagini SAR ERS-1 presentano un rumore medio pressoché identico, come mostrato in Fig. 5.14(a) e 5.14(b). Un comportamento analogo si presenta nelle tre immagini relative al sensore SAR ERS-2, come mostrato in Fig. 5.15(a) e 5.15(b).

K

θ

Fig. 5.13 – Regione dello spettro direzionale utilizzata per la stima del rumore medio

Fig. 5.14(a) – Spettri di rumore medi relativi a diverse immagini ERS-1 (scala lineare)

Fig. 5.14(b) – Spettri di rumore medi relativi a diverse immagini ERS-1

(scala logaritmica)

Fig. 5.15(a) – Spettri di rumore medi relativi a diverse immagini ERS-2 (scala lineare)

Fig. 5.15(b) – Spettri di rumore medi relativi a diverse immagini ERS-2

(scala logaritmica)

5.3.2 Modellizzazione del rumore

Seguendo il procedimento di stima esposto in 4.4.1 si procede alla rappresentazione dello spettro di rumore medio relativo alle due immagini sopra presentate tramite il modello FARIMA.

Si osserva che i primi punti dello spettro di rumore, relativi quindi alle basse frequenze, non possono essere considerati attendibili; infatti a causa del processo di interpolazione che dalla rappresentazione cartesiana ci ha portato a quella polare, i punti intorno all’origine delle frequenze nello spettro direzionale sono difficilmente interpolabili tramite algoritmo bicubico poiché presentano veloci variazioni nell’arco di un numero molto ridotto di punti.

L’elevata pendenza assunta nei primi punti è una conferma degli errori di cui sopra. Si procede quindi raccordando con una transizione lineare i punti interessati al veloce decadimento alle basse frequenze.

Si riportano nel seguito i risultati relativi alla modellizzazione, in particolare in Fig. 5.16(a) e Fig. 5.16(b) si riporta la rappresentazione tramite il FARIMA dello spettro di rumore relativo all’immagine ERS-1 ed in Fig.

5.17(a) e Fig. 5.17(b) quella relativa all’immagine ERS-2.

Fig. 5.16(a) – Spettro medio di rumore ERS-1 con relativa stima

FARIMA (scala logaritmica)

Fig. 5.16(b) – Spettro medio di rumore ERS-1 con relativa stima FARIMA (scala lineare)

Fig. 5.17(a) – Spettro medio di rumore ERS-2 con relativa stima

FARIMA (scala logaritmica)

Fig. 5.17(b) – Spettro medio di rumore ERS-2 con relativa stima FARIMA (scala lineare)

Riprendendo i concetti di stima del modello FARIMA introdotti in 4.4.1, si osserva che il procedimento è formato dalla stima del parametro d relativo alla parte Fractional Differencing e dalla stima della parte ARMA, la quale avviene come espresso dalla (4.51) e dalla (4.52) tramite la determinazione della risposta impulsiva H z del filtro digitale tale da approssimare al ( ) meglio la componente S

( ) K

dove H z è espresso nella forma: ( )

1 1

( ) (1) (2) ... ( 1)

( ) ( ) (1) (2) ... ( 1)

n m

B z b b z b n z

H z A z a a z a m z

− −

− −

+ + + −

= =

+ + + − (5.1)

La procedura di stima viene fatta ciclare per valori di m e n variabili sull’intervallo ( 1, 20 , alla ricerca della migliore approssimazione che dia )

luogo ad un sistema stabile (tutti poli all’interno del cerchio unitario).

I risultati numerici ottenuti per le immagini SAR considerate sono riportati nelle tabelle 5.4(a), 5.4(b), 5.5(a),5.5(b).

Stima parametro d 0.26641 Ordine polinomio B(z) 16

Ordine polinomio A(z) 18 Errore quadratico medio

minimo 2.9336e+014

Tabella 5.4(a) – Parametri relativi al modello FARIMA per la stima del rumore medio dell’immagine ERS-1

Tabella 5.4(b) – Coefficienti relativi al filtro digitale H z del modello ( ) FARIMA per la stima del rumore medio dell’immagine ERS-1

a(1) 1

a(2) -1.0753 a(3) 0.11517 a(4) -0.81889 a(5) -0.8666 a(6) -0.29892 a(7) 0.18952 a(8) -0.085508 a(9) 0.23336 a10) -0.33787 a(11) 0.21776 a(12) -0.024174 a(13) 0.21281 a(14) -0.16775 a(15) 0.0059979 a(16) -0.032312 a(17) 0.000566 a(18) -0.00086304 a(19) 0.00019274 b(1) 11204

b(2) 26691 b(3) 8905.1 b(4) -47001 b(5) -39070 b(6) -7952.5 b(7) 40293 b(8) 4767.6 b(9) -6480.8 b(10) 5924.3 b(11) 2911 b(12) -9592.9 b(13) 7042.4 b(14) 11969 b(15) 3488.9 b(16) -9482 b(17) -3603.2

Stima parametro d 0.39186 Ordine polinomio B(z) 13

Ordine polinomio A(z) 14 Errore quadratico medio

minimo 7.6956e+013

Tabella 5.5(a) – Parametri relativi al modello FARIMA per la stima del rumore medio dell’immagine ERS-2

Tabella 5.5(b) – Coefficienti relativi al filtro digitale H z del modello ( ) FARIMA per la stima del rumore medio dell’immagine ERS-2

a(1) 1

a(2) -3.2512 a(3) 4.1461 a(4) -2.7376 a(5) 0.76919 a(6) 0.38012 a(7) -0.086451 a(8) -0.9235 a(9) 1.5598 a10) -1.4331 a(11) 0.80837 a(12) -0.30465 a(13) 0.086766 a(14) -0.01701 a(15) 0.0031477 b(1) -2914.4

b(2) 18515

b(3) 7262

b(4) -78728 b(5) 64941 b(6) 2692.9 b(7) -27787 b(8) 25819

b(9) 3077

b(10) -26956 b(11) 25032 b(12) -11048 b(13) -3864.8 b(14) 3959.1

5.4 Modellizzazione dello spettro omnidirezionale dell’immagine SAR

Nel paragrafo 4.4 abbiamo supposto di modellare lo spettro direzionale dell’immagine SAR come:

( , )

( )

( , )

S K θ = S K S K θ (5.2) dove S

( ) K è un contributo di rumore dovuto al sistema di acquisizione SAR ed alle successive elaborazioni, mentre S

( , ) K θ è un contributo informativo legato alle condizioni della superficie marina.

Dopo aver stimato il contributo S

( ) K relativo al rumore su entrambe le immagini SAR considerate, si può estrarre dallo spettro dell’immagine SAR la componente S

( , ) K θ . Rappresentando in forma polare tali contributi, si può facilmente pervenire allo spettro omnidirezionale S

( ) K sommando su θ per valori di K costante.

Come esposto in 3.2.4, prima di procedere al calcolo dello spettro omnidirezionale si esegue un filtraggio dello spettro direzionale tale da isolare il più possibile la zona dello spettro contenente informazione. Si mostrano nel seguito i risultati del filtraggio dello spettro.

Fig 5.18 – Filtraggio sullo spettro direzionale immagine ERS-1

Fig 5.19 – Filtraggio sullo spettro direzionale immagine ERS-2

A partire dagli spettri direzionali opportunamente filtrati come nelle figure sopra, si procede alla riduzione del rumore e quindi alla determinazione della densità spettrale di potenza S

( , ) K θ

Da questa dsp si può dunque determinare lo spettro omnidirezionale S

( ) K

I risultati ottenuti per le immagini SAR considerate sono mostrati nelle figure 5.20 e 5.21.

Fig. 5.20 – Spettro omnidirezionale S

( ) K relativo all’immagine

ERS-1 di Catania

Fig. 5.21 – Spettro omnidirezionale S

( ) K relativo all’immagine ERS-2 della Galizia

Come esposto in 4.4.2 si farà uso del modello frattale costruito sulle funzioni di Weierstrass, per modellizzare lo spettro omnidirezionale S

( ) K dell’immagine SAR della superficie marina. I risultati ottenuti da tale rappresentazione sono mostrati nelle figure 5.22 e 5.23.

Fig. 5.22 – Spettro omnidirezionale S

( ) K relativo all’immagine

ERS-1 di Catania e relativa modellizzazione

Fig. 5.23 -

Spettro omnidirezionale S

( ) K relativo all’immagine ERS-2 della Galizia e relativa modellizzazione

Ricordiamo che il modello di Weierstrass è perfettamente caratterizzato una volta determinati 6 parametri frattali. Le ricerca del modello da utilizzare era orientata alla minimizzazione dell’errore quadratico medio. I risultati ottenuti sono presentati nelle tabelle 5.6 e 5.7.

Tabella 5.6 – Parametri frattali per S

( ) K relativo all’immagine ERS-1 di Catania

s

K

ε

b

N

σ

Errore quadratico medio 1.3469e-2 Errore relativo 0.63%

Tabella 5.7 – Parametri frattali per S

( ) K relativo all’immagine ERS-2 della Galizia

Si fa presente che l’errore relativo è stato calcolato come area sottesa dalla funzione S

( ) K − S ˆ

( ) K divisa per l’area sottesa dalla funzione

mare

( )

S K il tutto espresso in percentuale, dove ˆ S

( ) K è lo spettro modellizzato. Dal calcolo degli errori, sono stati scartati i primi punti degli spettri omnidirezionali, in quanto, come precedentemente osservato, rappresentano stime poco attendibili a causa degli errori introdotti dall’interpolazione cartesiano-polare.

s

K

ε

b

N

σ

Errore quadratico medio 3.784e-3 Errore relativo 0.45%