CAPITOLO 4 – Dimensionamento preliminare della soluzione ad arco singolo centrale

CAPITOLO 4 – Dimensionamento preliminare della soluzione ad

arco singolo centrale

Vogliamo mostrare com’è possibile adottare le trattazioni teoriche esposte nel precedente capitolo per il dimensionamento preliminare di una soluzione arco trave collaborante ad arco singolo centrale.

4.1

Caratteristiche del ponte

Per la realizzazione del ponte si utilizza una soluzione collaborante, ad arco singolo centrale, avente luce complessiva pari a 100 metri.

In sede naturale la via è costituita da una carreggiata unica, dotata di una corsia di marcia più banchina e marciapiede per ogni senso di circolazione. Sul ponte vi è la necessità di sdoppiare la carreggiata, per via della posizione centrale dell’arco, perciò la via in sede artificiale è costituita da due carreggiate separate da uno spartitraffico centrale ciascuna delle quali dotata di una corsia di marcia più banchina e marciapiede pedonale. L’arco è disposto secondo una parabola ed ha un’altezza massima in mezzeria pari a 15 metri, pertanto il ribassamento f/l vale 0,15. L’arco è costituito da una sezione a cassone trapezoidale, le cui dimensioni si mantengono costanti per l’intero sviluppo,

avente la base minore e maggiore rispettivamente pari a 1500 e 1800 mm e altezza di 1000 mm, mentre lo spessore delle pareti è di 16 mm per quelle orizzontali e di 30 mm par quelle laterali.

La trave è connessa all’arco mediante una doppia cortina di sospensione centrale costituita da funi spiroidali chiuse del diametro di 48 mm.

Poiché il ponte è dotato di un unico sistema di sospensione centrale, occorrerà adottare per la trave d’impalcato una soluzione torsiorigida in grado di incassare i carichi trasversali eccentrici. La trave d’impalcato è perciò costituta da un cassone trapezoidale torsiorigido pluricellulare e da sbalzi laterali che sostengono banchine e marciapiedi.

La larghezza della trave d’impalcato fuori tutto è pari a 14800 mm mentre l’altezza è pari a 1250 mm. Il cassone trapezoidale d’impalcato ha la base minore e maggiore rispettivamente pari a 6700 mm e 7800 mm e altezza di 1250 mm. Lo spessore della lamiera superiore è pari a 14 mm mentre lo spessore di quella inferiore è di 10 mm. Anche le anime laterali e quella centrale hanno uno spessore di 10 mm.

Il deck che supporta la pavimentazione è costituito da una piastra ortotropa con irrigiditori trapezoidali chiusi dell’altezza di 250 mm, avente base minore e maggiore rispettivamente pari a 200 e 300 mm e spessore delle pareti di 6 mm, posti a un interasse di 600 mm e lamiera superiore dello spessore di 14 mm.

4.2

Analisi strutturale del ponte al continuo

Caratteristiche meccaniche delle sezioni:

Definite le dimensioni del ponte e gli spessori delle diverse lamiere che compongono le sezioni si calcolano le principali caratteristiche meccaniche per la trave d’impalcato e per l’arco. Per tale scopo è stato utilizzato un appropriato foglio di Mathcad riportato in APPRENDICE e al quale si rimanda per la visione completa dei calcoli di cui si riportano qui solamente i risultati finali. Le principali caratteristiche meccaniche della trave e dell’arco utilizzate per l’analisi sono le seguenti:

Trave d’impalcato:

Area: 0,42470 m2

Posizione del baricentro rispetto all’estradosso: 0,345 m Momento d’inerzia per la flessione longitudinale: 0,11547 m4

Rigidezza torsionale: 0,21485 m4

Arco:

Area: 0,09968 m2

Posizione del baricentro rispetto all’estradosso: 0,388 m

Momento d’inerzia: 0,01039 m4

Il coefficiente K, dato dal rapporto tra le diverse rigidezze, definito al capitolo precedente vale: =0,083 + = t a a J J J

K , essendo tale valore molto prossimo a 0 il ponte si avvicina dunque al caso limite di arco a volta sottile e trave irrigidente ipotizzato da Langer, cosicché la trattazione analitica risulta bene approssimata.

Azioni sul ponte:

Per il dimensionamento preliminare si considerano le sole azioni dovute ai carichi permanenti strutturali e portati e ai carichi mobili. Le diverse azioni sono state computate mediante il foglio Mathcad riportato in APPENDICE al quale si rimanda per la visione completa dei calcoli di cui si riportano qui solamente i risultati finali:

Carichi permanenti strutturali: G1 = 400 daN/m2

Carichi permanenti portati: G2 = 370 daN/m2

M = i carichi mobili adottati sono quelli previsti dal modello di carico LM1 e computati in APPENDICE

Calcolo delle sollecitazioni in grado di estremo dovute ai carichi MOBILI:

Definiamo innanzitutto l’andamento della linea d’asse dell’arco: assumiamo che l’arco abbia andamento parabolico, allora la quota dell’asse dell’arco rispetto all’asse della trave può essere calcolata mediante l’equazione:

( )

(

z z

)

l f z ya ⋅ − + ⋅ = 2 2 4

Dove f è la freccia effettiva dell’arco data dalla distanza tra l’asse dell’arco e della trave nella mezzeria. Tenuto dunque conto della posizione del baricentro dell’arco e della trave, l’effettiva freccia utilizzata per i calcoli vale:

Per il calcolo delle sollecitazioni massime si ricorre allo studio delle linee d’influenza precedentemente trattate. Determiniamo innanzitutto la L.d.i. della spinta orizzontale H: consideriamo un carico viaggiante unitario che si muove lungo la linea d’asse del ponte, allora la L.d.i. di H è data dall’espressione:

H zp

( )

1 E Ixt⋅ 0 zp z Pesp l zp⋅

(

−

)

l ⋅z⋅ya z( ) ⌠   ⌡ d zp l z Pesp l zp⋅

(

−

)

l ⋅z⋅ya z( )−Pesp z zp⋅

(

−

)

⋅ya z( ) ⌠    ⌡ d +           ⋅ 0 l z ya z( )2 E Ixt⋅ ⌠    ⌡ d 0 l z 1 E Aa⋅ ⋅cos(θ( )z)2 ⌠    ⌡ d + 0 l z 1 E At⋅ ⌠   ⌡ d + =

Abbiamo visto che per effetto della deformabilità assiale, dell’arco e della catena, avremmo una caduta di spinta proporzionale alla spinta H, secondo il coefficiente di caduta di spinta KC, che dipende dalle sole caratteristiche meccaniche delle sezioni indipendentemente dalla condizione di carico, che nel caso in esame vale:

KC 0 l z 1 E Aa⋅ ⋅cos(θ( )z)3 ⌠    ⌡ d 0 l z ya z( )2 E Ixt⋅ ⌠    ⌡ d 0 l z 1 E Aa⋅ ⋅cos(θ( )z )2 ⌠    ⌡ d + 0 l z 1 E At⋅ ⌠   ⌡ d + 0.01139 = =

La spinta effettiva è allora data da: Heff

( ) ( )

zp =H zp ⋅

(

1−KC

)

.

(

)

m m

In pratica per effetto della deformabilità della struttura si ha una caduta di spinta dell’1,14% che potrebbe essere trascurata sia in via preliminare che definitiva.

Per il tracciamento grafico della L.d.i. di Heff occorre allora risolvere l’integrale di H(zp) per un numero discreto di punti di applicazione del carico zp. Il procedimento è stato opportunamente automatizzato mediante il programma Mathcad e sono state così tracciate le L.d.i. di H e Heff di seguito rappresentate.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 1.5 −1.2 −0.9 −0.6 −0.3 − 0

L.D.I della spinta orizzontale H

Zp H 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 1.5 −1.2 −0.9 −0.6 −0.3 − 0

L.D.I della spinta orizzontale H effettiva

Zp

H

ef

f

Com’è possibile notare la L.d.i. della spinta ha un andamento simile ad una parabola e il suo massimo si ha quando il carico esplorativo è applicato nella mezzeria della trave. Nota dunque la L.d.i. di H è possibile determinare per una data sezione le L.d.i. delle caratteristiche della sollecitazione nella trave e nell’arco.

Consideriamo una sezione generica S del ponte posta a una distanza zS dall’origine: determiniamo allora le espressioni delle L.d.i. delle caratteristiche della sollecitazione nella sezione zS al variare della posizione zP del carico esplorativo.

Al variare della posizione zP del carico esplorativo le reazioni vincolari sono definite dalle seguenti funzioni:

( )

l z z V P P A =1− e

( )

l z z V P P B =

La LLLL.d.i..d.i..d.i._{.d.i. dello sforzo normale NS dell’arco in S, ovvero la legge di variazione dello}

sforzo normale nell’arco nella sezione zS al variare della posizione del carico zP, è definita dalla funzione:

L.d.I. di NS nell’arco:

( )

( )

( )

(

S

)

P P S z z H z N α cos =

La LLLL.d.i..d.i..d.i..d.i. del momento flettente MS nella trave in S è invece fornita dalla funzione:

L.d.I. di MS nella trave:

( )

( )

( )

( )

( )

      − ⋅ = P S S P S S S P S H z z y z m z y z M 0

Dove m_S0

( )

z_P è la L.d.i. del momento flettente in S nella trave appoggiata di pari luce ed è data dalla funzione:

( )

      − ⋅ = l z z z m S P P s0 1 per 0≤ zP ≤zS

( )

      − ⋅ = l z z z m P S P s0 1 per zS <zP ≤l

La LLLL.d.i..d.i..d.i._{.d.i. del taglio TS nella trave in S è fornita dalla funzione:}

L.d.I. di TS nella trave:

( )

(

( )

)

( )

( )

(

)

( )

      − ⋅ = P S P S S P S H z z z t z z T

α

α

tan tan 0

Dove t_S0

( )

z_P è la L.d.i. del taglio in S nella trave appoggiata di pari luce ed è data dalla funzione:

( )

l z z t P P s0 =− per 0≤ zP ≤zS

( )

l z z t P P s0 =1− per zS <zP ≤l

Consideriamo ad esempio una sezione S posta a 25 metri dall’origine e calcoliamo i valori assunti dalle caratteristiche della sollecitazione in S per un numero discreto di punti P attraverso il programma Mathcad. Operando in tal modo si ottengono le seguenti L.d.i.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 1.5 −1.2 −0.9 − 0.6 −0.3 − 0 Linea di influenza di Ns N s 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0.6 −0.4 −0.1 − 0.1 0.4 0.6 Linea di influenza di Ts T s 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 10 −−7 4 − 1 −2 5 Linea di influenza di Ms x M s

OSS. Si osserva che la L.d.i. di MS è massima quando il carico P agisce direttamente sulla sezione S, ponendo allora zp=zs, nell’espressione della L.d.i. del momento flettente in S precedentemente definita, e facendo variare ora zs si ottiene il diagramma inviluppo del massimo momento flettente positivo:

( )

( )

_{( )}

( )

( )

      − ⋅ = S S S S S S S S S H z z y z m z y z M 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 10 − 8 − 6 − 4 − 2 − 0

Inviluppo dei massimi momenti positivi

x In v il u p p o M s

Dall'analisi del diagramma inviluppo si osserva che vi sono due sezioni pericolose, simmetriche rispetto alla mezzeria della struttura, la cui posizione può essere determinata annullando la derivata della funzione Ms rispetto a zs cioè:

( )

_{( )}

( )

( )

( )

0 0 _=            − ⋅ = S S S S S S S S S S S z H z y z m z y dz d dz z dM

Data la complessità delle funzioni che compaiono nell'espressione di Ms possiamo procedere per via numerica: mediante il programma di calcolo Mathcad si è trovato che la derivata del momento si annulla nella sezione ZMAX1 =20,5m e nella sezione simmetrica rispetto al centro del ponte posta a distanza ZMAX2 =79,5m.

Tracciamo allora le l.d.i. delle sollecitazioni per la sezione critica SCR posta a distanza dall’origine ZMAX1=20,5 m 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 1.5 −1.2 −0.9 − 0.6 −0.3 − 0 Linea di influenza di Ns x N s 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0.6 −0.4 −0.1 − 0.1 0.4 0.6 Linea di influenza di Ts x T s 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 10 −−7 4 −1 −2 5 Linea di influenza di Ms x M s

Osservando la L.d.i. del momento flettente vi vede che essa si annulla in corrispondenza dell’ascissa z = 41,07 m, allora per massimizzare il momento flettente nella sezione critica SCR occorrerà caricare la trave tra l’origine e la suddetta sezione.

OSS. se si assume come sezione di verifica, ai fini del predimensionamento, la sezione di massimo momento flettente positivo, e i carichi agenti (permanenti e mobili) possono essere supposti uniformemente distribuiti o al più concentrati, è immediato calcolare il massimo momento flettente positivo sulla trave e procedere alla verifica del ponte. Per massimizzare il momento flettente positivo dovuto ai carichi mobili nella sezione SCR=20,5m consideriamo l'intera carreggiata caricata trasversalmente dal modello di carico LM1 come mostrato nella prima figura seguente e longitudinalmente tra la sezione iniziale e la sezione z = 41,07 m, come mostrato nella seconda figura a seguito:

Figura 4.1: disposizione trasversale e longitudinale dei carichi mobili LM1 che consente di massimizzare

il momento flettente positivo nella trave d’impalcato.

L’azione dovuta ai carichi mobili uniformemente distribuiti a metro quadro può essere riportata a un carico distribuito lineare al metro applicato all’asse e a un momento torcente distribuito al metro lineare sempre applicato all’asse come segue:

m KN m m KN m m KN qeq 2,5 / (3 1,5 1,5 1,5 1,5) 9 / 3 49,5 / 2 2⋅ + + + + + ⋅ = = m m KN m m m KN mt_eq (9 2,5) / 3 4,4 85,8 / 2⋅ ⋅ = ⋅ − =

Mentre gli assi tandem possono essere raggruppati, in prima approssimazione, in un singolo carico concentrato applicato all’asse e in un momento torcente concentrato come segue:

(

)

KN KN P_eq =2⋅ 300+200 =1000 m KN KN m KN m M_Teq =4,4 ⋅600 −2,9 ⋅400 =1480 ⋅

Possiamo quindi calcolare le sollecitazioni dovute ai carichi mobili nella sezione critica, SCR=20,5m, utilizzando le L.d.i. precedentemente definite. SeγQ =1,35è il coefficiente parziale di sicurezza per i carichi mobili si ha che:

I momenti flettenti allo SLU dovuti ai carichi mobili uniformi al metro e concentrati nella sezione SCR=20,5m sono dati da:

( )

z dz KNm M q M _P z P S eq Q Q 11210 1 0 = ⋅ ⋅ =

γ

_∫

M_P =γ_Q⋅P_eq⋅M_S

(

z_MAX1

)

=11718KNm Il momento flettente totale allo SLU dovuto ai carichi mobili concentrati nella sezione SCR=20,5m è dato da:

KNm M

M

MTOT = Q + P =22928

I tagli allo SLU dovuti ai carichi mobili uniformi al metro e concentrati nella sezione SCR=20,5m sono dati da:

( )

z dz KN T q T P z P S eq Q Q 104 1 0 = ⋅ ⋅ =

γ

_∫

TP =γQ⋅Peq⋅TS

(

zMAX1

)

=205KN

Il taglio complessivo allo SLU dovuto ai carichi mobili uniformi al metro nella sezione SCR=20,5m è dato da:

KN T

T

T_TOT = _Q + _P =309

Le spinte agli SLU dovute ai carichi mobili uniformi al metro e concentrati sono date da:

( )

z dz KN H q H _P z P S eq Q Q 1995 1 0 = ⋅ ⋅ =

γ

_∫

H_P =γ_Q⋅P_eq⋅H

(

z_MAX1

)

=1673KN

Calcolo delle sollecitazioni in grado di estremo dovute ai carichi PERMANENTI strutturali e portati:

Esaurito il calcolo delle sollecitazioni in grado di estremo dovute ai carichi mobili, occupiamoci dell’analisi dei carichi permanenti strutturali e portati.

Occorre innanzitutto fare delle osservazioni: un ponte è in generale una successione di schemi statici per via delle fasi costruttive necessarie alla sua costruzione allora il calcolo dovrà necessariamente articolarsi per fasi per rappresentare fedelmente la struttura reale.

I diversi carichi devono perciò essere fatti agire su schemi statici diversi per seguire l’evoluzione del ponte durante le fasi costruttive. Nei ponti arco trave si costruisce in genere prima la trave su pile provvisorie poi l’arco su appoggi provvisori (appoggiati sulla trave in corrispondenza delle sottostanti pile provvisorie) dopodichè si collegano trave e arco mediante la pendinatura e infine si eseguono le opere di finitura quali la posa in opera della pavimentazione, dei marciapiedi, delle barriere di ritenuta e dei parapetti. Una volta ultimata la costruzione, si regolano gli sforzi nei pendini in modo tale che sotto l’azione dei carichi permanenti strutturali e portati la trave d’impalcato si comporti come una trave continua appoggiata in corrispondenza dei punti di attacco dei pendini assumendo una configurazione pressoché rettilinea.

Allora occorre calcolare le sollecitazioni nella struttura come segue:

1) Si calcolano le sollecitazioni flettenti e taglianti nella trave d’impalcato supposta appoggiata in corrispondenza dei punti di attacco dei pendini.

2) Di fatto le reazioni di appoggio determinate al punto precedente coincidono con gli sforzi da applicare ai pendini per l’ottenimento dello schema statico di trave continua su appoggi intermedi considerato al punto precedente. S’impone quindi a ciascun pendino una deformazione in grado da produrre in esso uno sforzo assiale pari al valore della relativa reazione vincolare determinata nella trave continua su appoggi intermedi e una volta applicati gli sforzi a tutta la cortina si determina lo sforzo normale nell’arco che deve coincidere necessariamente con quello che si avrebbe nel sistema arco trave caricato uniformemente dai carichi strutturali e portati.

3) Si sommano gli effetti sulla struttura ottenuti ai punti 1 e 2.

4) Si fanno ora agire sul sistema collaborante ottenuto i carichi mobili.

5) Si sommano gli effetti ottenuti al punto 3 con gli effetti ottenuti al punto 4 e si esegue la verifica della struttura.

Le sollecitazioni complessive sulla struttura, dovute ai diversi carichi agenti, possono essere ottenute mediante sovrapposizione degli effetti calcolati sui diversi schemi statici per i diversi carichi. Vediamo dunque in dettaglio le diverse fasi:

FASE1: trave d’impalcato continua su appoggi intermedi

Consideriamo la sola trave d’impalcato continua su appoggi intermedi, soggetta ai carichi permanenti strutturali e non strutturali:

Carichi permanenti strutturali: G1 =59,2KN/m

Carichi permanenti portati: G₂ =54,48KN/m

Coeff. parziale di sicurezza per i carichi permanenti strutturali:

γ

_G1 =1,35 Coeff. parziale di sicurezza per i carichi permanenti portati:

γ

G2 =1,50

L’azione al metro dovuta ai carichi permanenti strutturali e permanenti allo SLU vale: m

KN G

G

G =

γ

G1⋅ 1+

γ

G2⋅ 2 =161,64 /

Le sollecitazioni possono essere calcolate rapidamente mediante un programma FEM, nel caso in esame si è ricorsi a SAP2000:

Il momento flettente positivo massimo sulla prima campata è pari a: 300 KNm Il momento flettente negativo massimo sul primo appoggio è pari a: 410 KNm Il momento indotto dai carichi mobili nella sezione critica vale invece: 22928KNm

OSS. Le sollecitazioni flettenti e taglianti dovute ai carichi permanenti e strutturali, pensati agenti sulla sola trave d’impalcato supposta continua su appoggi intermedi, sono piccole rispetto alle sollecitazioni flettenti e taglianti dovute ai carichi mobili agenti sul sistema collaborante arco trave e possono essere trascurate per la verifica preliminare della trave d’impalcato.

FASE2: applicazione della presollecitazione alla cortina di sospensione e calcolo della spinta per i carichi permanenti strutturali e portati

Si prendono le reazioni di appoggio della fase1 e si applicano alla cortina di sospensione: se si ipotizza che la cortina di sospensione sia continua, il che equivale a trasferire il carico uniforme dalla trave all’arco, allora la spinta allo SLU dovuto ai carichi permanenti uniformi al metro può essere calcolata attraverso una delle due seguenti formule:

( )

z dz KN H G H _P l P S G 13325 0 = ⋅ =

_∫

KN f l G H_G 13509 8 2 = ⋅ ⋅ =

Il valore ottenuto con le due formule differisce di poco, ciò è dovuto al fatto che ricorrendo alla linea d’influenza della spinta si tiene conto della deformabilità della struttura mentre nel secondo caso si considera una sola condizione di equilibrio.

FASE3: si sommano gli effetti prodotti dalle fasi 1 e 2 Lo stato di sollecitazione sulla struttura è così composto:

- la trave è soggetta allo stato di flessione e taglio della fase1, che può essere trascurato, più la spinta HG

- i pendini sono soggetti a sforzi assiali di trazione uguali alle reazioni vincolari della trave continua su appoggi intermedi

- l’arco e soggetto a sola compressione variabile lungo l’asse dovuta alla spinta HG

FASE4: si fanno agire sul sistema arco trave i carichi mobili

Gli effetti sono quelli determinati in precedenza per i carichi mobili mediante le L.d.i.

FASE5: si sommano gli effetti dei punti 3 e 4

Nella sezione critica SCR=20,5m per la disposizione dei carichi mobili impiegati si ha che:

La spinta totale allo SLU è: H H KN

f l G H_{TOT Q P} 17177 8 2 = + + ⋅ ⋅ =

Il momento flettente allo SLU è M_TOT =M_Q +M_P =22928KNm Il taglio allo SLU è: T_TOT =T_Q+T_P =309KN

Analisi del regime torsionale

Il regime torsionale della trave d’impalcato è separato da quello di flessione e taglio del sistema collaborante arco trave pertanto può essere analizzato separatamente.

In pratica tutte le azioni torcenti finiscono nel cassone d’impalcato che si comporta come una trave torsiorigida vincolata alle imposte mediante ritegni torsionali. Il problema può essere affrontato ricorrendo alla teoria approssimata di Bredt.

Per il calcolo delle sollecitazioni torcenti nella trave d’impalcato si ricorre, per uniformità di trattazione, ancora all’analisi della L.d.i. del momento torcente. Tracciamo tale L.d.i. per la sezione critica SCR=20,5m: il momento torcente nella sezione S quando un carico unitario è applicato nella sezione P è dato dalle seguenti relazioni:

( )

1 _+1      − − = l z z m_{ts P} p per 0≤ z_P ≤z_S

( )

      − − = l z z mts P 1 p per zS <zP ≤l

La L.d.i. del momento torcente per la sezione SCR=20,5m è mostrata di seguito:

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0.8 −0.56 −0.32 −0.08 −0.16 0.4 Linea di influenza di Mt in S x M t

Nota la L.d.i. del momento torcente è immediato calcolare la sollecitazione torcente nella sezione SCR per la configurazione assunta per i carichi mobili applicati indicata precedentemente:

( )

z dz M m

(

z

)

KNm m m M _{P Q Teq tS MAX} z P tS teq Q t 1 2990 0 1 = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =

γ

_∫

γ

Verifiche di sicurezza della trave e dell’arco:

Per un’accurata verifica della struttura, se pur preliminare, occorre tenere debitamente in conto degli effetti prodotti dallo shear lag. In pratica quando la sezione non è compatta, come avviene nel caso dei ponti a trave unica con larghezze d’impalcato elevate, non si può più ritenere valida l’ipotesi di conservazione delle sezioni piane pertanto non è a rigore valida la classica formula di Navier e la relativa distribuzione ipotizzata per le tensioni longitudinali. Il problema può essere aggirato considerando ancora valida la distribuzione alla Navier ma introducendo le cosiddette sezioni efficaci o collaboranti correggendo il valore del momento d’inerzia ovvero del modulo di resistenza della sezione. Attraverso una procedura di calcolo standardizzata si decurtano porzioni delle sezioni di piattabande superiori e inferiori e delle anime e si calcolano le caratteristiche inerziali della sezione efficace facendo riferimento alle effettive porzioni collaboranti. Note le caratteristiche meccaniche efficaci si eseguono le verifiche di sicurezza.

Oltre allo shear lag un altro aspetto di cui tener conto è la classe di appartenenza della sezione. Le sezioni metalliche possono essere suddivise in 4 classi in funzione della capacità di rotazione: 1 − = y r C

θ

θ

θ

Essendo ϑre ϑy le curvature corrispondenti rispettivamente al raggiungimento della

deformazione ultima e allo snervamento. In funzione della capacità di rotazione si distinguono le sezioni nelle seguenti classi:

Sezioni di classe 1 quando la sezione è in grado di sviluppare una cerniera plastica con

capacità rotazionale Cϑ

≥

3.

Sezioni di classe 2 quando la sezione è in grado di sviluppare il proprio momento

resistente plastico, ma con capacità rotazionale limitata. Possono generalmente classificarsi come tali le sezioni con capacità rotazionale Cϑ

≥

1,5.

Sezioni di classe 3 quando nella sezione le tensioni calcolate nelle fibre estreme

compresse possono raggiungere la tensione di snervamento, ma l’instabilità locale impedisce lo sviluppo del momento resistente plastico.

Sezioni di classe 4 quando, per determinarne la resistenza flettente, tagliante o normale,

è necessario tener conto degli effetti dell’instabilità locale in fase elastica nelle parti compresse che compongono la sezione. In tal caso nel calcolo della resistenza la sezione geometrica effettiva può sostituirsi con una sezione efficace.

Le sezioni di classe 1 e 2 si definiscono compatte, quelle di classe 3 moderatamente snelle e quelle di classe 4 snelle. In funzione del tipo di sezione cambiano i modi di analisi e di verifica della sezione. Nel caso in cui le sezioni critiche della struttura siano tutte di classe 1 o 2 è possibile analizzare la struttura utilizzando indifferentemente il metodo elastico, plastico o elasto-plastico mentre per sezioni di classe 3 può essere impiegato il solo metodo elastico ed infine per le sezioni di classe 4 si può adottare il solo metodo elastico impiegando le sezioni efficaci.

Nei ponti a struttura metallica ci si trova in genere a operare con sezioni metalliche di classe 4 ed occorre allora tener conto oltre agli effetti dello shear lag dei fenomeni di instabilità che riducono la capacità resistente della sezione: in pratica la sezione non è in grado di raggiungere lo snervamento delle piattabande esterne prima che si verifichino fenomeni di instabilità. Per le sezioni di classe 4 si opera in maniera del tutto analoga a quanto visto per lo shear lag depurando la sezione dalle parti che si instabilizzano in campo elastico ed eseguendo le verifiche in termini di sezioni efficaci. Si tiene quindi conto in maniera congiunta dello shear lag e dell’instabilità della sezione in campo elastico. Tuttavia sarebbe auspicabile operare almeno con sezioni di classe 3 in grado di attingere al momento resistente elastico per ottimizzare l’impiego del materiale. È quello che comunemente si fa con le sezioni metalliche da ponte inserendo irrigiditori per governare i fenomeni d’instabilità. In via preliminare si può eseguire la verifica con il metodo elastico supponendo la sezione in classe 3 e considerando i soli effetti dello shear lag andando poi ad irrigidire la sezione in modo tale che essa sia in grado di attingere al momento elastico, di fatto si irrigidirà la sezione in modo tale da portarla in classe 3. La concezione, il comportamento e il conseguente calcolo della struttura deve essere dominato secondo le nostre volontà e non standardizzato secondo procedure obbligate.

Supponendo quindi che la sezione sia di classe 3, salvo poi procedere ad un opportuno dimensionamento degli irrigiditori e al controllo della stabilità dei componenti della

sezione, eseguiamo la verifica di resistenza della sezione tenendo conto dei soli effetti prodotti dallo shear lag nel classico piano delle tensioni.

Con l’applicativo Mathcad appositamente dedicato, e già ampliamente chiamato in causa, si sono calcolate le caratteristiche meccaniche efficaci della sezione tenendo conto degli effetti dello shear lag di seguito riportate:

Area efficace: 0,395 m2

Posizione del baricentro rispetto all’estradosso della sezione efficace: 0,341 m Momento d’inerzia efficace per la flessione longitudinale: 0,11025 m4

Rigidezza torsionale: 0,21485 m4

Riepilogando, si hanno poi le seguenti sollecitazioni nella trave nella sezione critica:

La spinta totale allo SLU è: H_TOT =17177KN

Il momento flettente allo SLU è MTOT =22928KNm

Il taglio allo SLU è: T_TOT =309KN

Momento torcente: M_t =2990KNm

Verifica di resistenza della trave d’impalcato

Tensione normale nella piattabanda superiore dovuta alla flessione: σ_sup Mtot Ixteff⋅

(

yt ht−

)

−72N mm 2 ÷ ⋅ = =

Tensione normale nella piattabanda inferiore dovuta alla flessione:

σ_inf Mtot Ixteff⋅yt 188 N mm 2 ÷ ⋅ = =

Tensione normale uniforme dovuta alla spinta:

σ_N Htot Ateff 44 N mm2 ⋅ = =

Tensione tangenziale nella piattabanda superiore dovuta alla torsione: τ_sup Mtor 2⋅Ω_t⋅_sp1 −12N mm 2 ÷ ⋅ = =

Tensione tangenziale nella piattabanda inferiore dovuta alla torsione: τ_inf Mtor 2⋅Ω_t⋅_sp2 −17N mm 2 ÷ ⋅ = =

Tensione tangenziale nelle anime dovuta alla torsione:

τ_a Mtor 2⋅Ω_t⋅_sa −17N mm 2 ÷ ⋅ = =

Tensione tangenziale nelle anime sulla fibra neutra dovuta al taglio:

τ_n Ttot Sn⋅ Ixteff 3⋅ ⋅sa 8 N mm 2 ÷ ⋅ = =

Tensione tangenziale totale nelle anime sulla fibra neutra:

τ_anime Ttot Sn⋅ Ixteff 3⋅ ⋅sa Mtor 2⋅Ω_t⋅_sa + =25 N⋅ ÷ mm2 = Tensione ideale nelle anime sulla fibra neutra:

σ_idanime= 3⋅τ_anime2=43 N⋅ ÷ mm2

Tensione ideale nella piattabanda superiore:

σ_idsup =

(

σ_sup + σ_N

)

2+3⋅τ_sup2=35 N⋅ ÷ mm2

Tensione ideale nella piattabanda inferiore:

σ_idinf =

(

σ_inf+ σ_N

)

2+3⋅τ_inf2=234 N⋅ ÷ mm2

Le tensioni ideali calcolate nei diversi punti della sezione critica della trave sono tutte inferiori alla tensione di calcolo del materiale:

2 2 / 338 05 , 1 / 355 mm N mm N f f m y d =

γ

= =

Verifica di resistenza dell’arco:

La condizione di carico che massimizza lo sforzo normale nell’arco è diversa da quella che massimizza il momento flettente nella trave: essendo lo sforzo normale nell’arco dato da:

( )

( )

( )

(

z

)

z H z N_S

α

cos

= si evince che per massimizzare tale caratteristica della

sollecitazione occorre massimizzare la spinta H. Dall’analisi della L.d.i. della spinta H si vede che per massimizzare la spinta occorre caricare la trave in modo uniforme per tutta la sua lunghezza e porre i carichi concentrati nella sezione di mezzeria. Adottando tale distribuzione dei carichi si ottengono i seguenti contributi per la spinta:

Spinta dovuta ai carichi permanenti: KN

f l G H_G 13509 8 2 = ⋅ ⋅ =

Spinta dovuta ai carichi mobili uniformi:

HQ Q qeq HS

( )

zP dzP KN l 5509 0 = ⋅ ⋅ =

γ

_∫

Spinta dovuta ai carichi mobili concentrati: H_P =γ_Q⋅P_eq⋅H

( )

l/2 =1739KN

Spinta totale massima: H_TOT =H_G +H_Q +H_P =20761KN

Il massimo sforzo normale nell’arco si ha quando il coseno dell’angolo tangente alla linea d’asse assume valore minimo ovvero in corrispondenza delle imposte e vale:

( )

(

)

KN H N TOT MAX S 24193 0 cos = = α

La tensione normale uniforme nelle pareti dell’arco vale quindi: 2 / 243N mm A N eff SMAX MAX S = =

σ

Poiché la tensione normale massima nell’arco è inferiore alla tensione di calcolo del materiale, la sezione dell’arco è verificata.

Verifiche di stabilità fuori piano dell’arco:

Per la verifica di stabilità dell’arco fuori piano possiamo adottare il metodo dei coefficienti β proposto dall’eurocodice e discusso al precedente capitolo. Assimiliamo dunque l’arco a una trave caricata di punta e applichiamo il metodo: il valore dello sforzo normale critico in corrispondenza degli appoggi che genera instabilità nell’arco è fornito dall’espressione: x cr EJ s N _ ⋅      ⋅ = 2

β

π

Dove, il coefficiente correttivo β è dato dal prodotto: 2 1

β

β

β

= ⋅

Il coefficiente β1 dipende dal rapporto f/l e dall’andamento del momento d’inerzia, se

costante o variabile secondo la legge

) cos( 0 B z z J J ϕ

= , ed è riportato nel prospetto

seguente:

Essendo il momento d’inerzia costante ed il rapporto f /l =0,15interpolando linearmente tra i valori 0,1 e 0,2 si ottiene per β1 il valore:

595 , 0 1 , 0 1 , 0 2 , 0 54 , 0 65 , 0 54 , 0 1 =      − − − + = l f β

Il coefficiente β2 dipende invece dal sistema adottato per trasferire i carichi

In via cautelativa possiamo assumere che tutti i carichi siano assorbiti dall’arco e porre che

β

₂ =1, allora il coefficiente correttivo vale:

595 , 0 2 1 = =β β β

Pertanto lo sforzo normale che genera instabilità nell’arco vale:

KN EJ s Ncr x 87701 2 = ⋅       ⋅ =

β

π

Mentre il massimo sforzo normale cui è sottoposto l’arco vale:

( )

(

)

KN H N TOT MAX S 24193 0 cos = =

α

Si ha quindi un fattore si sicurezza nei confronti dell’instabilità pari a: =3,63

SMAX cr

N N

, la

4.3

Analisi strutturale del ponte mediante FEM e confronto con i risultati

ottenuti dal modello al continuo

Una volta definite in via preliminare le dimensioni del ponte mediante l’analisi semplificata al continuo sopra svolta, è possibile analizzare la struttura in maniera più accurata mediante un modello discreto agli elementi finiti ed eseguire un raffronto critico dei due metodi e dei risultati ottenuti. Per lo studio del ponte agli FEM è stato impiegato un modello a telaio piano. La trave d’impalcato e l’arco sono stati modellati mediante elementi beam a sezione costante mentre i pendini sono stati modellati mediante elementi beam sempre a sezione costante alle cui estremità sono stati rilasciati entrambi i momenti flettenti per ottenere un comportamento a biella. Le caratteristiche meccaniche delle sezioni sono quelle in precedenza elencate. I carichi sono i medesimi visti per il modello al continuo. Il modello FEM impiegato per l’analisi è mostrato nella figura sottostante.

Nella figura successiva è mostrato l’inviluppo del momento flettente My (M33) ottenuto per i carichi mobili per gli SLU, si fa notare come tale diagramma abbia stesso andamento del diagramma inviluppo per il momento flettente positivo determinato per il modello al continuo nelle pagine precedenti mediante le L.d.i.

Per confrontare i risultati ottenuti con il modello al continuo e il modello FEM consideriamo quali parametri di paragone il valore del momento flettente massimo nella trave e la spinta (calcolata per i soli permanenti e per i carichi complessivi) e raccogliamo i dati nella seguente tabella:

Modello M. positivo MAX allo

SLU nella trave H dovuta a G1 e G2

H dovuta a G1, G2 e ai

Mobili

Continuo 22928 KNm 13509 KN 20603 KN

Discreto FEM 21098 KNm 13488 KN 20844 KN

Com’è possibile osservare, dai dati riportati in tabella, si ha un’ottima corrispondenza tra i risultati forniti dal modello al continuo approssimato e il modello discreto agli FEM. I valori delle spinte, per le diverse combinazioni di carico considerate, risultano pressoché identici mentre una certa differenza si ha per il valore del massimo momento flettente positivo in campata. Nel modello al continuo si ha una sovrastima di tale momento rispetto al valore effettivo dovuta al fatto di aver supposto la rigidezza flessionale dell’arco nulla. Nell’analisi al continuo si sottostima allora il momento sull’arco che è supposto nullo. A ciò si può ovviare se si ripartisce il momento flettente ottenuto dall’analisi al continuo tra la trave e l’arco proporzionalmente alle loro rigidezze come segue:

KNm J J J M M t a a TOT arco =1893 + = KNm J J J M M t a t TOT trave =21036 + =

Raccogliamo nuovamente in una tabella i dati ottenuti:

Modello Momento positivo MAX allo SLU nella trave

Momento massimo sull’arco allo SLU

Continuo 22928 KNm 0 KN

Continuo ridistribuito 21036 KNm 1893KNm

Discreto FEM 21098 KNm 1766KNm

Come possiamo osservare operando tale ridistribuzione, per il modello al continuo, si ottiene una stima in sostanza esatta del momento flettente sulla trave e molto ben approssimata del momento flettente per l’arco.

4.4

Conclusioni

Abbiamo quindi mostrato come il modello al continuo, nonostante le ipotesi semplificative introdotte, consenta di ottenere un’ottima stima delle sollecitazioni nella struttura permettendo una procedura di dimensionamento-verifica assai affidabile e precisa. Le due analisi al continuo e agli FEM, condotte in parallelo, consentono inoltre un doppio controllo sui modelli e sui risultati ottenuti assai importante e utile.