DA UNA BASE QUALSIASI AL SISTEMA DECIMALE
Il passaggio da una base qualsiasi a quella decimale è molto semplice. Se conosciamo la rappresentazione di un numero in base B, per trasformarlo in base dieci basta scrivere il numero in forma polinomiale ed eseguire i calcoli in base dieci.
Conversione da una base qualsiasi alla base dieci Trasformiamo il numero (1210)tre nel sistema decimale.
(1201)tre = 1 ·33 + 2·3 2 + 1· 3 1 + 0· 3 0 = 27 + 2·9 + 1·3 +0 ·1 = (48)10
CONVERSIONE DA BINARIO A DECIMALE
effettuiamo ora una conversione da numero binario a numero decimale applicando direttamente la defi nizione di numerazione posizionale.
Individuiamo il valore decimale rappresentato del seguente numero binario (1001)2: (1001)2 = 1 · 23 + 0 · 22 + 0 · 21 + 1 · 20 = 1 · 8 + 0 · 4 + 0 · 2 + 1 · 1 = 910
ESERCIZIO Converti in decimale i seguenti numeri espressi in binario:
→ 11112 = _____________ 10
→ 1001 10102 = _____________ 10
→ 1111 00112 = _____________ 10
⇨CONVERSIONE DA OTTALE A DECIMALE
I sistemi di elaborazione utilizzano la notazione binaria ma, generalmente, risulta scomodo trattare lunghe stringhe di bit: diventa utile poter usare sistemi numerici che consentano di esprimere in maniera più compatta lunghe stringhe di 0 e 1.
Uno di questi sistemi è il sistema di numerazione ottale, quindi con b = 8, che utilizza le cifre 8 = {0,1,2,3,4,5,6,7}.
Ogni numero è costituito da una stringa di cifre ottali il cui valore è determinato dal prodotto
della cifra per una potenza della base il cui esponente è dato dalla posizione della cifra nella stringa.
La stringa N8 = (354)8 si scrive come somma di tre termini:
(354)8 = 3 · 82 + 5 · 81 + 4 · 80 = 3 · 64 + 40 + 4 = 192 + 40 + 4 = (236)10
Possiamo vedere ogni singolo termine nel dettaglio:
La stringa
N8 = (5712)8
è invece la somma di quattro termini:
(5712)8 = 5 · 83 + 7 · 82 + 1 · 81 + 2 · 80 = 5 · 512 + 7 · 64 + 8 + 2 = 2560 + 448 + 8 + 2 = (3018)10
Possiamo vedere ogni singolo termine nel dettaglio:
Converti in decimale i seguenti numeri espressi in ottale:
→ (333)8 = _____________ 10
→ (777)8 = _____________ 10
→ (4567)8 = _____________ 10
⇨ CONVERSIONE DA ESADECIMALE A DECIMALE
Il sistema esadecimale ha B = 16 e utilizza generalmente un alfabeto di 16 cifre dove dopo la cifra 9 si “prosegue” con le prime 6 lettere maiuscole dell’alfabeto:
= {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A, B,C,D,E,F}.
La stringa N16 = (3B2)16
si scrive come somma di tre termini:
(3B2)16 = 3 · 162 + B · 161 + 2 · 160 = 3 · 256 + 11 · 160 + 2 = 768 + 176 + 2 = (946)10
Possiamo vedere ogni singolo termine nel dettaglio:
Trasformiamo ora la sequenza
N16 = (13FA)16
Nel corrispondente numero decimale. Con notazione polinomiale, tale sequenza è la somma di quattro termini:
(13FA)16 = 1 · 163 + 3 · 162 + F · 161 + A · 160 = 4096 + 3 · 256 + 15 · 16 + 10 · 1 = 4096 + 768 + 240 + 10 = 511410
Possiamo vedere ogni singolo termine nel dettaglio:
Converti in decimale i seguenti numeri espressi in esadecimale:
→ ( 234)H = ___________ 10
→ (ABC)H = ___________ 10
→ (F16A)H = ___________ 10
Rappresentiamo il numero 100 nelle diverse basi:
Binario: (100)10 = (1100100)2
Ottale: : (100)10 = (144)8
Esadecimale: (100)10 = (64)H
Ricapitolando
→ Un sistema di numerazione è un sistema utilizzato per esprimere i numeri e le operazioni che si possono effettuare su di essi.
→ Un sistema di numerazione è di tipo additivo/sottrattivo se a ogni simbolo è associato un valore e il numero rappresentato è dato dalla somma o dalla differenza dei valori dei simboli che vengono accostati tra loro.
→ Un sistema si chiama posizionale se una stessa cifra ha un valore diverso (peso) a seconda della posizione: la cifra all’estrema destra prende il nome di cifra meno significativa mentre la cifra all’estrema sinistra è detta cifra più significativa.
→ Il sistema di numerazione binario (in base 2) si compone di due simboli, dove ogni cifra, denominata bit (binary digit), può assumere due valori rappresentati dai simboli logici 0 e 1
→ In una configurazione binaria il bit più a sinistra si chiama LSB (Least Significant Bit), o bit meno significativo, mentre il bit più a destra si chiama MSB (Most Significant Bit), o bit più significativo.
→ La conversione tra un numero espresso in una qualunque base e il formato decimale è immediata applicando la definizione, sommando cioè ogni termine ottenuto dal prodotto della cifra con il suo peso:
N10 = c m–1 · b m–1 + cm–2 · b m–2 + ... +c2· b2 + c1· b1 + c0 b0
ESERCIZI
DA UN SISTEMA DI NUMERAZIONE QUALSIASI AL SISTEMA DECIMALE 1 Converti le seguenti rappresentazioni binarie nel formato in base 10 equivalente:
→ (1101)2 = ____________10
→ (1011)2 = ____________10
→ (11001)2 = ____________10
→ (10101)2 = ____________10
2 Converti le seguenti rappresentazioni binarie nel formato in base 10 equivalente:
→ (1010)2 = ____________10
→ (1111)2 = ____________10
→ (11101)2 = ____________10
→ (11011)2 = ____________10
→ (100001)2 = ____________10
→ (1101011)2 = ____________10
3 Converti le seguenti rappresentazioni binarie nel formato in base 10 equivalente:
→ (01101111) 2 = ____________10
→ (11000011)2 = ____________10
→ (11101110)2 = ____________10
→ (11110001)2 = ____________10
→ (10101010)2 = ____________10
→ (11000011)2 = ____________10
4 Converti le seguenti rappresentazioni esadecimali nel formato in base 10 equivalente:
→ (11) H = ______________ 10
→ (22)H = ______________ 10
→ (33)H = ______________ 10
→ (44) H = ______________ 10
5 Converti le seguenti rappresentazioni esadecimali nel formato in base 10 equivalente:
→ (AB)H = ______________ 10
→ (FF) H = ______________ 10
→ (12D) H = ______________ 10
→ (31A1) H = ______________ 10
→ (1234) H = ______________ 10
→ (2288) H = ______________ 10
6 Converti le seguenti rappresentazioni ottali nel formato in base 10 equivalente:
→ (77)8 = ______________ 10
→ (456)8 = ______________ 10
→ (2123)8 = ______________ 10
→ (4567)8 = ______________ 10
7 Converti le seguenti rappresentazioni ottali nel formato in base 10 equivalente:
→ (22)8 = ______________ 10
→ (123) 8 = ______________ 10
→ (2143)8 = ______________ 10
→ (11111)8 = ______________ 10
→ (12345)8 = ______________ 10
→ (23456)8 = ______________ 10
8 Converti le seguenti rappresentazioni ottali nel formato in base 10 equivalente:
→ (44)8 = ______________ 10
→ (246) 8 = ______________ 10
→ (1357) 8 = ______________ 10
→ (20402) 8 = ______________ 10
→ (23755) 8 = ______________ 10
→ (46325) 8 = ______________ 10
9 Converti le seguenti rappresentazioni esadecimali nel formato in base 10 equivalente:
→ (4A)H = ______________ 10
→ (5B )H = ______________ 10
→ (6C)H = ______________ 10
→ (7E)H = ______________ 10
10 Converti le seguenti rappresentazioni esadecimali nel formato in base 10 equivalente:
→ (BA )H = ______________ 10
→ (EE)H = ______________10
→ (123 )H = ______________10
→ (ABC )H = ______________10
→ (2525 )H = ______________10
→ (3AFC)H = ______________10
