i j j i ij j i 0 δ 1 e e ij = δ indice di Kroneker u vu vu v u v u v u v u vi i⋅ j j = i j i⋅ j= i j ij= i i

(1)

1. FONDAMENTI DI CALCOLO TENSORIALE 1.1 Basi vettoriali non ortogonali

Siano a , bdue vettori non paralleli con origine in O, siano x ,yle componenti scalari di un generico vettore vrispetto a tale base, il vettore vsarà dunque scritto nella forma:

1.2 Basi orto – normali

Si dice base orto – normale quella formata da tre vettori e1, e2, e3di lunghezza unitaria (normalizzati) tra loro ortogonali.

= =

= + +

= ³

1 3 3 2 2 1 1

i vi i vi i

v v

ve e e e e

v

N.B. gli indici ripetuti si intendono sommati

N.B. gli indici non ripetuti si dicono “liberi” e non sono sommati

1.3 Prodotto scalare

In una base qualunque:

Siano v e udue vettori aventi origine in O, e siaϑl’angolo formato tra i due vettori.

Si definisce prodotto scalare la seguente quantità scalare:

( )ϑ ucos v u v =⋅

Nella base orto – normale e_iil prodotto scalare diventa:

≠

= =

=

⋅ i j

j i

ij j

i 0

δ 1 e e

ij =

δ indice di Kroneker

3 3 2 2 1

1u vu vu

v u v u v u

v u

v_i _i⋅ _j _j = _i _j _i⋅ _j= _i _j _ij= _i _i= + +

=

⋅u e e e e δ

v N.B.

i i

i= ⋅ =v

⋅e e v

v ovvero la componente di vlungo l’asse i

1.4 Prodotto vettoriale In una base qualunque:

Siano v e udue vettori aventi origine in O, e siaϑl’angolo formato tra i due vettori.

Si definisce prodotto vettoriale la seguente quantità vettoriale w:

( )

u v u v

w= × = sinϑ

=

= w

w versore di wentrante o uscente dal foglio in base alla regola della mano destra b

a v=x +y

(2)

Nella base orto – normale eiil prodotto scalare diventa:

=

×

−

=

×

=

×

1 3 2

2 3 1

3 2 1

e e e

( 2 3 2 3) (1 1 3 1 3) (2 1 2 1 2) 3 3

2 1

3 2 1

e e

e e e e e e v

u uv vu uv vu uv vu

v v v

u u u v

u v

u_i _i× _j _j = _i _j _i× _j= = − − − + −

=

×

1.5 Prodotto tensoriale o Diade

3 3 3 3 2 3 2 3 1 3 1 3 3 2 3 2 2 2 2 2 1 2 1 2 3 1 3 1 2 1 2 1 1 1 1

1 ee ee ee ee ee ee ee ee ee

e e e e v

u =u_i _iv_j _j=u_iv_j _i _j=uv +uv +uv +uv +uv +uv +uv +uv +uv

Per eseguire il prodotto si tiene fisso un indice e si variano gli altri di volta in volta.

Lo stesso prodotto può essere espresso in forma matriciale:

[ ]=

3 3 2 3 1 3

3 2 2 2 1 2

3 1 2 1 1 1

v u v u v u

v u v u v u v u_i _i

N.B. in generale: uv ≠vu

1.6 Legge di trasformazione da una base ad un’altra e matrice di rotazione

Questa legge permette di trovare la relazione che lega le componenti del vettore v scritto sulla base

{ }ej rispetto a quelle dello stesso vettore scritto sulla base { }ek

=

k k

j j

v v e

v e il vettore è invariante rispetto alla base, cambiano solo le sue componenti

a) Da { }ej ^→{ }ek

( )

( + + )= + +

⋅

+ +

= + +

⋅

+ +

= + +

⋅

=

⋅

= + +

⋅

= + +

⋅

= + +

⋅

=

⋅

=

⋅

3 3 2 3 2 1 3 1 3 3 3 2 2 1 1 3

3 3 2 2 2 1 2 1 3 2 3 2 2 1 1 2

3 3 2 1 2 1 1 1 3 1 3 2 2 1 1 1

3 33 3 32 2 31 1 3 3 2 2 1 1 3

2 23 3 22 2 21 1 3 3 2 2 1 1 2

1 13 3 12 2 11 1 3 3 2 2 1 1 1

v v v v

v v

v v v v

v v

v v v v

v v v

v v v v v v v

v v v v v v v v

v v

j j i

k k i

j j i k k i

α α α

α α

α

δ δ δ

e e e e

e e e e e e

e e e e

e e e e e e

e e e e

Infatti: e_i⋅e_j = e_ie_jcosα =1⋅1⋅cosα =α_i_j

(3)

j j

i i v

v =α [ ] [ ][ ]v = R v =

3 2 1

3 3 2 3 1 3

3 2 2 2 1 2

3 1 2 1 1 1

3 2 1

v v v v

v v

α α α

b) Da { }ek → { }ej

ij i k jk

i i j k k j

v v

α

δ =

⋅

=

⋅ e e e

e

ij i

k v

v =α [ ]^v ⁼[ ]^R^T ^{[ ]}^v ⁼

3 2 1

3 3 3 2 3 1

2 3 2 2 2 1

1 3 1 2 1 1

3 2 1

v v v v

v v

α α α

N.B. La matrice Rdi rotazione è ortogonale ovvero gode della seguente proprietà: R =⁻¹ R^T N.B. Il valore scalare αij =cos( )ⁱ^j e viene detto coseno direttore.

{ }^{e →}ⁱ { }^e^'^j

( ) ( ) ( )

( )

−

′ =

′

+

−

=

−

=

−

′ =

− +

= +

′=

2 1 2

1

2 1

1 2

2

2 1

1

2 cos cos

cos 2 cos

2 cos cos sin

cos

cos 2 cos

sin cos

v v v

v

v v

BC DC v

v v

AB OA v

ϑ π ϑ

π ϑ ϑ

ϑ π ϑ

ϑ ϑ

π ϑ ϑ

ϑ ϑ

1.7 Diadica

Si tratta della somma di più diadi: D=ab+cd+...

- Prodotti Diadica –Vettore:

( ) ( ) ( )

( ) ^v ( ) ( ) ^diadica^diadica

vettore

v

vettore

→

× +

×

=

× +

=

×

→ +

=

× +

×

= +

×

=

×

→

⋅ +

⋅

=

⋅ +

=

⋅

→

⋅ +

⋅

= +

⋅

=

⋅

v d c v b a cd ab v D

wd ub d c v b a v cd ab v D v

v d c v b a cd ab v D

d c v b a v cd ab v D v

- Prodotto scalare tra Diadi:

ab⋅cd=( )b⋅cad=λad

- Doppi prodotti scalari e vettori tra Diadi:

( )( ) ( )( )

( )( )

( )( ) ^diade

vettore

scalare

→

=

×

=

→

=

×

⋅

=

→

=

⋅

×

=

→

=

⋅

=

××

×⋅

⋅⋅

vu d b c a cd ab

u d b c a cd ab

v d b c a cd ab

d b c a cd

ab λ

(4)

1.8 Tensore

Def. ( )1 : Operatore lineare che applicato ad un vettore, restituisce un altro vettore:

u Tv =

Def. ( )² : Entità composta dall’insieme di tre vettori ti, tali che nel passaggio dalle coordinate xi alle coordinate x_i seguono la legge di trasformazione: t_i =α_i_jt_j

3 3 2 2 1

1e t e te

t e t

T= _i _i= + + (*)

Ognuno dei vettori t_i ha tre componenti:

3 33 2 32 1 31 3 3

3 23 2 22 1 21 2 2

3 13 2 12 1 11 1 1

e e e e t

T T T T

p p

k k

j j

+ +

=

+ +

=

+ +

=

(**)

Quindi andando a sostituire le espressioni della (**) nell’espressione (*) ottengo:

3 3 33 2 3 32 1 3 31 3 2 23 2 2 22 1 2 21 3 1 13 2 1 12 1 1

11ee ee ee ee ee ee ee ee ee

e e

T=T_ij _i _j=T +T +T +T +T +T +T +T +T

j i ij i

ie Tee

t

T= = → =

3 2 1

33 32 31

23 22 21

13 12 11

3 2 1

e e e t

t t

T T T

→

=

2

1 j

j ij j ij

i Te Te

t

- Un tensore è invariante rispetto al sistema di riferimento utilizzato: variano solo le sue componenti, quindi una qualsiasi legge scritta in forma tensoriale è valida in ogni sistema.

- Un tensore è sempre una matrice ma non è vero il viceversa.

- Il prodotto scalare di una diade per un vettore è un tensore (infatti restituisce un vettore):

( )ab v a( )b v a v

D⋅ = ⋅ = ⋅ =λ

- La matrice di rotazione Rè un tensore infatti restituisce un vettore:

Rv

v = , vj=αjkvk

- Ordine del tensore: è il numero di indici liberi (non sommati)

1.9 Legge di trasformazione delle componenti dei tensori al passaggio da una base ad un’altra Da { }ej ^→{ }ek

n mn j m

ij i T

T =α α

1.10 Tensori simmetrici ed emisimmetrici

ji

ij T

T = Tensori simmetrici

ji

ij T

T =− Tensori emisimmetrici

(5)

Ogni tensore può essere scomposto nella somma di una parte simmetrica e di una parte emisimmetrica:

(ij ji) (ij ji)

ij T T T T

T = + + −

2 1 2

1

1.11 Campi Tensoriali

Ad ogni istante e ad ogni punto dello spazio a n – dimensioni corrisponde un tensore definito.

( )P,t φ

φ= Campo scalare

( )P,t v

v = Campo vettoriale

( )^P,^t

T

T = Campo tensoriale

Se t=0 il campo è detto stazionario.

1.12 Pseudo Tensore di Ricci

Assegnati due vettori v , u ne facciamo il prodotto vettore:

=

j j

i i

u v

e u

e v

⋅ →

=

⋅

=

×

=

×

=

×

=

k ij j i k

ij j i j i j i j j i i

u v

u v u

v u v

e e

w

e e e

e u v w

ijk ij ijk j i

k vu D

w = ε = ε

( )

→

−

→

=

valore stesso lo hanno essi di più o due ovvero 1,2,3 di ne permutazio una

sono non valori i se 0

3,2,1,3,2 1,2,3

di dispari ne permutazio una

sono valori

i se 1

1,2,3,1,2 1,2,3

di pari ne permutazio una

sono valori

i se 1

i,j,k, i,j,k, i,j,k, εijk

L’operatore di Ricci trasforma una diatica in un vettore.

1.13 Prodotto misto E’ uno scalare

ijk k j i k k j i

ijvu ⋅w =vu wε

=

⋅

×u w e

v

[ ]

3 2 1

w w w

u u u

v v v

=

×

⋅u w v

[v w] w [ ]u v v [w u]

u⋅ × = ⋅ × = ⋅ ×

1.14 Doppio prodotto vettoriale

[v w] v(u w) ( )wu v

u× × = ⋅ − ⋅

(6)

1.15 Operatore vettoriale gradiente

∇

∇∇

∇=∇iei

Se la base è orto – normale

- Gradiente dello scalare: ∇∇∇∇

∂

∂ =

=∂

∇

=

3 2 1

x x x xi ⁱ i i

φ φ φ φ φ

φ e e

- Divergenza (scalare): ∇∇∇∇

3 3 2 2 1 1

x v x v x v v v

v_j _j _i _j _ij _i _i

i

i ∂

+∂

∂ +∂

∂

=∂

∇

=

∇

=

⋅

∇

=

⋅v e e δ

- Rotore (vettore): ∇∇∇∇

3 2 1

v v

vx x x

v vj j i i i j i

i ∂

∂

= ∂

×

∇

=

×

∇

=

×

e e e e e e e

v

1.16 Operatore scalare di Laplace Se la base è orto – normale

∇

∇∇

∇⋅∇∇∇∇ ₂

3 2 2 2 2 2 1 2 2

x x

i x

j i ij j j i

i ∂

+∂

∂ +∂

∂

=∂

∇

=

∇

=

∇

⋅

∇

= φ δ φ φ φ φ φ

φ e e

1.17 Teorema di Gauss generalizzato

V

∇

∇∇

∇

∂

⊗

=

⊗

V

dS

dV n

∇

∇∇

∇ = Operatore gradiente

= Qualunque campo vettoriale in V

n = Versore della normale nel punto generico della frontiera ∂V V = Dominio chiuso della frontiera ∂V

⊗ = Operazione generica di prodotto (scalare, vettoriale, tensoriale)

V

∇

∇∇

∇

∂

⋅

=

⋅

V

dS dV n v v

V

∇

∇∇

∇

∂

×

=

×

V

dS dV n v v

V

∇

∇∇

∇

∂

=

V

dS

dV φ

φ n

V

∇

∇∇

∇

∂

⋅

=

⋅

V

dS dV n T T

(7)

1.18 Derivata covariante

( ) ( ) ( )

λ

λ λ d

P P Q

d

v

v = v −

∇ lim_→0

La derivata covariante è un tensore.

(8)

2. ANALISI DELLA TENSIONE 2.1 Modello del corpo continuo

Consideriamo un corpo continuo in equilibrio sotto l’azione di un sistema di forze di massa e di superficie: se si opera una sconnessione ideale con un pianoΠ_nle due porzioni V₁ V₂generatesi in generale, non saranno più in equilibrio, se ne deduce che le due porzioni V₁ V₂si scambiavano delle mutue azioni attraverso il piano Π_ncapaci di mantenere il corpo in equilibrio. Supponiamo che le risultanti di tali azioni siano:

- Forza: ∆Rn

- Momento: ∆Mn

Ammettiamo ora che esistano finiti i seguenti limiti: ^{( )}ⁿ

n n

ASn R =S t

∆

lim→0 ^lim₀ =⁰

∆

→ n

n

ASn S

M

Questa ipotesi permette di definire il modello di corpo continuo ovvero l’esistenza di un vettore sforzo nell’intorno di ogni punto P, di una qualsiasi sezione. Ciò permette di applicare la teoria infinitesima dell’Analisi allo studio dei corpi continui deformabili.

( )n

t = Vettore detto sforzo o tensione agente su ∆Sn nell’intorno del punto P.

{ }^t( )ⁿ = Insieme di tutti gli sforzi agenti sulla stella dei piani di centro P è detto tensione nel punto P

2.2 Tensore degli sforzi (di Cauchy)

Si consideri ora un tetraedro elementare di volume dV con la faccia dS_n giacente sul piano di sezione Πn, rispetto alla quale è stato definito il vettore sforzot^{( )}ⁿ . Sulla faccia dS_nagisce quindi un forza

( ) n

n dS

dR =tⁿ (reazione all’azione di V₂ su V₁) mentre sulle tre facce coordinatedS_jagiscono tre forze dR_j =t_jdS_j(reazione all’azione del resto del continuo sulle rispettive facce dS_j). Ne segue che su ogni faccia coordinata agisce un vettore sforzo t per _j un totale di tre vettori sforzo ognuno di tre componenti: l’insieme delle componenti dei tre vettori sforzo danno origine al tensore di tensione T_ij.

Si imponga ora l’equilibrio alla traslazione del tetraedro elementare sottoposto alle seguenti forze:

- ( )tⁿdS_n = Forza agente sulla superficie dS_ndi normale n - t_jdS_j = Forze agenti relativamente sulle tre facce dS_j - f = Vettore di campo applicato al tetraedro

(9)

Equilibrio: dR_n−dR_j−fdV=0

(Le forze si intendono positive nella direzione positiva degli assi coordinati)

( )

( )j ^{( )} j j ^{( )} i^{( )} j ji

j

j j

T n t dSdh

dV dS dS

=

⋅

=

⋅

=

≈

=

⋅

=

+

=

n n

T n t t

e n t e

n f t t

3 0 1

Tensore degli sforzi: T =tjej

- Il teorema di Cauchy associa al vettore sforzo agente in P sulla superficie dS, i tre vettori sforzo agenti sulle rispettive superfici infinitesime coordinate di una terna ortonormale locale prefissata in P.

- Quindi in qualsiasi punto P interno al volume o giacente sulla sua frontiera (superficie di contorno), e ad ogni versore normale n uscente da P è associato il vettore sforzo unitario t^{( )}ⁿ , agente sulla superficie dS di normale n e tale da soddisfare l’equazione t^{( )}ⁿ =n⋅T;

- Ne segue che l’insieme {n ;t^{( )}ⁿ} di tutti i t^{( )}ⁿ associati ai vari nuscenti da P, determina lo stato di tensione in P.

- Per determinare lo stato di sollecitazione in un punto P sarà sufficiente determinare i vettori sforzo relativi alle tre facce coordinate in P e la legge di trasformazione delle coordinate consentirà di legare a tali vettori il vettore sforzo relativo a qualsiasi altro piano nel punto P.

mn jn im

ij T

T =α α

2.3 Significato delle componenti della Tensione

( )

ji j i

i ji j i i

n jn j i i

n mn jm j i i

n m mn j j i i

T n t

m j

T n t

=

⋅

=

⋅

=

e e

e e e e

T n tⁿ

δ

gli indici nsono muti ovvero si sommano quindi posso dare loro il nome che voglio

Trovo la tensione agente nel punto generico P appartenente alla superficie dS1 coordinata all’asse 1della terna.

( ) ( ) ( ) ( )

3 13 2 12 1 11 1 1

1 1 1

e e e e t t

e t

e e e t

T e t

1 1 1 1

T T T T T

T

j j j ij i

j i ij

+ +

=

⋅

=

δ

(10)

Attuando la stessa operazione per gli assi restanti ottengo:

=

3 2 1

33 32 31

23 22 21

13 12 11

3 2 1

e e e t

t t

T T T

- Le nove componenti Tijdel Tensore di Cauchy sono costituite dalle componenti dei tre vettori sforzo agenti sulle facce coordinate.

- Pertanto la generica componente Tij del Tensore di Cauchy rappresenta la componente del vettore sforzo agente sulla faccia coordinata individuata dall’asse i normale ad essa e lungo la direzione

ema j− .

- Le componenti Tij aventi indici uguali (sulla diagonale) sono dette tensioni normali e vengono spesso indicate con la lettera σ .

- Le componenti Tij aventi indici diversi (fuori diagonale) sono dette tensioni tangenziali.

2.4 Equilibrio alla traslazione

Il volume infinitesimo V ′ di contorno ∂V ′ appartenente al volume Vsarà in equilibrio a traslazione se risulterà nulla la risultante delle forze agenti sia sul volume che sulla superficie:

fdV = Vettore delle forze di campo

( )ⁿdS

t = Vettore sforzo

Poiché analizziamo il modello di continuo il simbolo di sommatoria è sostituito da quello di integrale:

0 R =

( ) + = → ⋅ + =  →

∂′ ′

GAUSS

CAUCHY 0

0

V V

dV dS dV

dS f n T f

tⁿ

′ V

∇∇∇

∇⋅ + =0

′ V

dV dV f T

Data l’arbitrarietà del volume infinitesimo V ′, l’integrale precedente è nullo se è nulla la funzione integranda:

∇

∇∇

∇⋅T+f=0

( ) ⁰⁰

0 0

= +

∇

= +

∇

= +

∇

= +

⋅

∇

n n in i

n n n in i

n n n mn i im

n n n m mn i i

f T

e e e

e e

e e e e δ

Affinché risulti nulla l’ultima equazione deve necessariamente risultare zero la relazione entro la parentesi poiché il versore è sicuramente un’entità non nulla.

=0 +

∇iTin fn

( )

=

∂ +

∂

in n i

n in i

T n t

f

x T 0

Le eq. t_i=n_nT_in rappresentano le condizioni al contorno, il simbolo sopra – segnato sta ad indicare che quella forza che agisce sul volume infinitesimo è nota.