1 Spazi di Lebesgue

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1 SPAZI DI LEBESGUE

Lezioni di Analisi Matematica 6 a.a. 2002-2003

Introduzione

In queste pagine troverete una traccia delle lezioni e dei seminari svolti nell’ambito del Corso di Analisi Matematica 6. Questi fogli sono, appunto, solo uno schema: non ci sono né dimostrazioni, né esercizi svolti, ma solo il testo dei risultati fondamentali e di quegli esercizi che mi sono sembrati più significativi (e non nello stesso ordine in cui sono stati presentati a lezione...). Data la struttura schematica, non troverete le consuete chiacchiere fatte a lezione per spiegare (o tentare di spiegare) meglio gli argomenti, ma solo una lista di teoremi, corollari, lemmi, esercizi e osservazioni.

1 Spazi di Lebesgue

Definizione 1 (Spazi di Lebesgue). Sia Ω un sottoinsieme misurabile di R^N e sia p ∈ [1, ∞). Poniamo L^p(Ω) =

n

u : Ω −→ R misurabili tali che Z

Ω

|u|^p< ∞ o

. Se p = ∞ poniamo invece

L^p(Ω) = {u : Ω −→ R misurabili tali che ess sup |u| < ∞}, dove

ess sup |u| = inf{k > 0 : |u| ≤ k q.o. in Ω}.

Esercizio 1. Se Ω `e limitato e u : Ω −→ R `e continua e limitata, allora u ∈ L^p(Ω) ∀ p ∈ [1, ∞].

Esercizio 2. Sia Ω = B(0, 1) e sai u(x) = _|x|¹ . Allora u ∈ L^p(Ω) se e solo se p < N . Teorema 2. L^p `e uno spazio vettoriale qualunque sia p ∈ [1, ∞].

Su L^p definiamo la seguente quantit`a (che risulter`a essere una norma):

kuk_L^p_(Ω)= kukL^p= kukp=



 µZ

Ω

|u|^pdx

¶_1/p

se p < ∞, ess sup |u| se p = ∞.

Esercizio 3. Sia 1 ≤ p ≤ ∞. Se f, g ∈ L^p, allora max{f, g} ∈ L^p. In particolare, se f ∈ L^p, allora f⁺= max{f, 0} e f⁻ = max{−f, 0} appartengono ad L^p.

Uno dei risultati fondamentali nella teoria degli spazi L^p`e il seguente teorema:

Teorema 3 (Disuguaglianza di H¨older). Siano p, p⁰ ∈ [1, ∞] tali che 1

p+ 1 p⁰ = 1

(con l’ovvia generalizzazione p = 1 se p⁰= ∞ o viceversa) e siano u e v due funzioni misurabili definite su Ω. Allora kuvk1≤ kukpkvkp⁰.

In particolare, se u ∈ L^p(Ω) e v ∈ L^p⁰(Ω), il prodotto uv ∈ L¹(Ω).

Osservazione 4. La disuguaglianza di H¨older permette di dimostrare che kukp`e effettivamente una norma, in quanto vale la disuguaglianza di Minkowski:

ku + vkp≤ kukp+ kvkp ∀ p ∈ [1, ∞].

Di conseguenza, L^p risulta uno spazio metrico, dove la distanza `e definita da dp(u, v) = ku − vkp ∀ u, v ∈ L^p, ∀ p ∈ [1, ∞]

e quindi fn → f in L^p se kfn− f kp→ 0.

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Teorema 5 (Fisher–Riesz). Per ogni p ∈ [1, ∞], L^p(Ω) `e uno spazio di Banach rispetto alla norma kukp. Inoltre L²(Ω) `e uno spazio di Hilbert rispetto al prodotto scalare

hu, vi = Z

Ω

uv dx.

Esercizio 4. Sia fn(x) = _1+nⁿ^√_x. Per quali p fn `e una successione di Cauchy in L^p([0, 1])? (Sol: 1 ≤ p < 2).

La disuguaglianza di H¨older ha utili conseguenze:

Teorema 6. (i) Siano p, q, r ∈ [1, ∞] tali che

1 r = 1

p+1 q. Se u ∈ L^p e v ∈ L^q, allora uv ∈ L^r e

kuvkr≤ kukpkvkq. (ii) Siano p₁, . . . , p_k∈ [1, ∞] tali che

1 p1

+ 1 p2

+ . . . + 1 pk

= 1.

Se ui∈ L^pⁱ, allora Π^k_i=1ui∈ L¹ e

ku1. . . ukk1≤ Π^k_i=1kuikpi. (iii) Se un→ u in L^p e vn → v in L^p⁰, allora unvn → uv in L¹.

(iv) Se un → 0 in L^p e vn è limitata in in L^p⁰, allora unvn→ 0 in L¹. Un altro utile corollario della disuguaglianza di Hölder è il seguente

Teorema 7 (Disuguaglianza di interpolazione). Siano p, q, r ∈ [1, ∞] tali che p < r < q e sia θ ∈ (0, 1) tale che 1

r =θ

p+1 − θ q . Allora L^p∩ L^q⊂ L^r, cio`e se u ∈ L^p∩ L^q, allora u ∈ L^r e

kukr≤ kuk^θ_pkvk^1−θ_q . In particolare L¹∩ L^∞⊂ L²(scegliendo p = 1, q = ∞, r = 2 e θ = 1/2).

Teorema 8 (Convergenza dominata (o di Lebesgue) in L^p).

1 ≤ p < ∞: Supponiamo che un ∈ L^p(Ω), che un → u q.o. in Ω e che esista φ ∈ L^p(Ω) tale che |un| ≤ φ q.o. in Ω.

Allora u ∈ L^p(Ω) e un→ u in L^p(Ω).

p = ∞: Supponiamo che un, u ∈ L^∞(Ω). Allora un → u in L^∞(Ω) se e solo se esiste un insieme misurabile A ⊂ Ω tale che |A| = 0 e un → u uniformemente in Ω \ A.

Vale una sorta di viceversa del Teorema precedente:

Teorema 9. Se fn → f in L^p, 1 ≤ p ≤ ∞, allora esistono una sottosuccessione (fn_k)k ed una funzione h ∈ L^p tali che

• fnk→ f q.o. in Ω;

• |fnk(x)| ≤ h(x) ∀ k e q.o. in Ω.

Osservazione 10. Nel teorema precedente, se p = ∞, si pu`o prendere nk = k. Invece, se p < ∞, in generale, la (f_n_k)_k `e proprio una sottosuccessione, come mostra l’esercizio seguente.

Esercizio 5. Siano Ω = R, p ∈ [1, ∞) e fn= χ[log n,log(n+1)[. Allora fn→ 0 in L^p(R), ma non esiste alcuna h ∈ L^p(R) tale che fn≤ h q.o. in R. (Invece se nk= k² e h(x) = χ_{∪[log k}²_,log(k²_+1)[ il teorema `e verificato).

Teorema 11 (Riflessivit`a). L^p(Ω) `e uno spazio riflessivo per ogni p con 1 < p < ∞.

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La dimostrazione di questo teorema si basa sulla (prima) disuguaglianza di Clarkson: se p ∈ [2, ∞), allora per ogni

f , g ∈ L^p, risulta ¯

¯¯

¯

¯¯

¯¯f + g 2

¯¯

p p

+

¯¯

¯¯f − g 2

¯¯

p p

≤kf k^p_p+ kgk^p_p

2 .

Osservazione 12. `E possibile dimostrare che gli spazi L¹ e L^∞ non sono mai riflessivi, a meno che la misura di Lebesgue in Ω sia sostituita da una misura µ concentrata in un numero finito di atomi, nel qual caso anche L¹(Ω, µ) e L^∞(Ω, µ) risultano riflessivi.

E anche facile convincersi che L` ¹ non sia riflessivo dal seguente Esercizio 6. Sia Ω = (−1, 1) e sia fn = ⁿ₂χ_[−¹

n,_n¹]. Evidentemente kfnk1 = 1 ∀ n. Se L¹(Ω) fosse riflessivo, sarebbe possibile estrarre una sottosuccessione convergente debolmente in L¹. Invece fnconverge (nel senso delle distribuzioni!) alla δ di Dirac concentrata in 0. Difatti L¹ `e contenuto nell’insieme delle misure di Radon, quindi ogni successione limitata in L¹ammette sottosuccessioni convergenti nel senso delle misure.

La riflessivit`a di L^p per 1 < p < ∞ garantisce che da ogni successione limitata in tali spazi si possa estrarre una sottosuccessione debolmente convergente. Ovviamente, in generale, non si potr`a avere la convergenza quasi ovunque al limite debole:

Esercizio 7. Supponiamo di essere in uno dei casi seguenti.

• Ω = (0, π) e fn(x) = sin(nx).

• Ω = R, g ∈ L^p(R) e g_n(x) = n^1/pg(nx).

• Ω = R, h ∈ L^p(R) e hn(x) = h(n + x).

Allora fn→ 0 debolmente in L^p(Ω) ma non q.o.!

E facile dimostrare che se f` n → f in L^p, allora kfnkp→ kf kp. Ovviamente se kunkp→ kukp non si pu`o concludere che un→ u (basta prendere due funzioni diverse che hanno norma uguale...). Per`o se in pi`u un → u q.o., vale:

Esercizio 8. Se 1 ≤ p < ∞, ku_nk_p→ kuk_p e u_n→ u q.o., allora u_n→ u in L^p.

Se p = ∞ questo risultato `e falso: basta considerare Ω = [0, 2], un(x) = xⁿ se x ∈ [0, 1], un(x) = 1 se x ∈ (1, 2] e u(x) = χ_[1,2](x).

Teorema 13 (Separabilit`a). L^p(Ω) `e uno spazio separabile per ogni p con 1 ≤ p < ∞.

Pi`u precisamente, si pu`o dimostrare che L^p(Ω) `e separabile se e solo se p < ∞ (a meno che la misura di Lebesgue in Ω sia sostituita da una misura µ concentrata in un numero finito di atomi, nel qual caso anche L^∞(Ω, µ) risulta separabile).

Teorema 14 (Rappresentazione di Riesz). Sia 1 ≤ p < ∞ e sia L ∈ (L^p)⁰. Allora esiste una, ed una sola, u ∈ L^p⁰ tale che

hL, f i = Z

Ω

uf dx ∀ f ∈ L^p, ed inoltre

kLk_(L^p₎⁰ = kuk_Lp0. Al solito, si intende 1⁰= ∞.

Grazie a questo Teorema, sar`a sempre fatta l’identificazione del duale di L^pcon L^p⁰, essendo questi spazi isometrici.

Inoltre si ha adesso una chiara visione di quello che significhi ”convergenza debole” in L^p, per p < ∞:

fn * f ⇐⇒

Z

Ω

fng dx → Z

Ω

f g dx ∀ g ∈ L^p⁰(Ω), qualunque sia p ∈ [1, ∞).

Esercizio 9. Consideriamo le successioni introdotte nell’esercizio 7. Allora

• fn converge debolmente, ma non fortemente a 0 in L²(0, π);

• gn converge debolmente, ma non fortemente a 0 in L^p(R), qualunque sia g ∈ L^p(R);

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1.1 Misura di Ω finita vs Misura di Ω infinita 1 SPAZI DI LEBESGUE

• hn converge debolmente, ma non fortemente a 0 in L^p(R), qualunque sia h ∈ L^p(R).

Un classico risultato di compattezza negli spazi L^p `e una ”generalizzazione” del Teorema Ascoli–Arzel`a, per il cui enunciato diamo prima la seguente

Definizione 15. Per ogni h ∈ R e u ∈ L^p(R^N), poniamo

uh(x) = u(x + h), x ∈ R^N.

Teorema 16 (Fr´echet – Kolmogorov – Riesz). Sia F un insieme limititato di L^p(R^N), 1 ≤ p < ∞. Supponiamo che

h→0limkuh− ukp= 0 uniformemente per ogni u di F

(cio`e ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 tale che ∀ h ∈ R^N tale che |h| < δ risulti kuh− ukp < ε ∀ u ∈ F). Allora F|Ω `e relativamente compatta in L^p(Ω) per ogni Ω ⊂ R^N misurabile e di misura finita.

1.1 Misura di Ω finita vs Misura di Ω infinita

Se la misura di Ω `e finita, ci sono alcuni risultati piuttosto interessanti, tutti conseguenza della disuguaglianza di H¨older.

Teorema 17. Siano |Ω| < ∞ e p ∈ [1, ∞]. Allora L^p(Ω) si immerge con continuit`a in L^q(Ω) per ogni q ≤ p. Pi`u precisamente

kuk_q≤ |Ω|^1−q/pkuk_p. Di conseguenza

(1) L^p(Ω) ,→ L^q(Ω) q ≤ p

e quindi

L^∞(Ω) ⊂ ∩p≥1L^p(Ω).

Quest’ultima inclusione `e stretta, come mostra il seguente

Esercizio 10. Sia Ω = (0, 1) e sia u(x) = log x. Allora u ∈ ∩p≥1L^p(Ω) (ma evidentemente u 6∈ L^∞(Ω)).

Inoltre anche le inclusioni di (1) sono strette:

Esercizio 11. Sia Ω = (0, 1/2) e sia u(x) = (x log²x)⁻¹. Allora u ∈ L¹(Ω), ma u 6∈ L^p(Ω) per alcun p > 1.

Osserviamo anche il Teorema di immersione cessa di essere valido nel caso in cui Ω abbia misura infinita; difatti la funzione u(x) = 1/x appartiene a L²(1, +∞) (e ad L^∞(1, ∞)), ma evidentemente non appartiene a L¹(1, +∞).

Inoltre:

Esercizio 12. La funzione f (x) = (√

x(1 + | log x|))⁻¹ appartiene a L²(0, ∞), ma non appartiene ad alcun L^p(0, ∞) per alcun p 6= 2.

Esercizio 13. • Costruire una funzione u ∈ L¹(0, ∞) tale che u 6∈ L²(0, ∞) e u 6∈ L^∞(0, ∞).

• Costruire funzione u ∈ L²(0, ∞) tale che u 6∈ L¹(0, ∞) e u 6∈ L^∞(0, ∞).

Esercizio 14. Sia |Ω| < ∞. Allora

• kf k∞= lim

p→∞kf kp per ogni f ∈ L^∞(Ω);

• se f ∈ ∩p≥1L^p(Ω) e sup

1≤p<∞kf kp< ∞, allora f ∈ L^∞(Ω).

Teorema 18 (Disuguaglianza di Jensen). Sia J : R −→ R una funzione convessa e sia u ∈ L¹(Ω). Allora

J µ 1

|Ω|

Z

Ω

u(x) dx

¶

≤ 1

|Ω|

Z

Ω

J(u(x)) dx.

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3 APPOSSIMAZIONI E CONVOLUZIONI

2 Convergenze

Di seguito saranno ricordate le principali implicazioni relative alla convergenza di funzioni. Se non diversamente specificato, p indicher`a un numero tra 1 e ∞ inclusi.

2.1 Caso Generale

• fn→ f in L^p ⇒ fn→ f in misura;

• f_n→ f in L^∞ ⇒ f_n→ f q.o.;

• fn→ f in L^p ⇒ fn* f debolmente in L^p.

2.2 Misura di Ω finita

Oltre alle implicazioni precedenti, valgono anche le seguenti:

• fn→ f in L^∞ ⇒ fn→ f in L^p;

• fn→ f q.o. ⇒ fn→ f in misura;

• se p > q e fn→ f in L^p ⇒ fn→ f in L^q.

Per interpolazione si pu`o dimostrare che, in certi casi, la convergenza debole implica quella forte:

Esercizio 15. Se |Ω| < ∞, p ∈ (1, ∞), fn∈ L^p(Ω), fn ≥ 0 q.o. e fn* 0 in L^p(Ω), allora fn→ 0 in L^q(Ω) ∀ q < p.

3 Appossimazioni e Convoluzioni

Teorema 19 (Teoremi di densit`a). Sia 1 ≤ p < ∞.

1. Esiste un’infinit`a numerabile di funzioni a gradini le cui combinazioni lineari a coefficienti in Q sono dense in L^p.

2. C_C⁰ `e denso in L^p. 3. C_C^∞`e denso in L^p.

Per dimostrare il punto 3 del Teorema precedente, `e necessario ricorrere alla nozione di convoluzione.

Definizione 20. Siano f ∈ L¹(R^N), g ∈ L^p(R^N), 1 ≤ p ≤ ∞. Definiamo la convoluzione di f con g come f ∗ g(x) =

Z

R^N

f (x − y)g(y) dy.

Osserviamo immediatamente che, cambiando variabile di integrazione, f ∗ g = g ∗ f .

Teorema 21. Siano f ∈ L¹(R^N), g ∈ L^p(R^N), 1 ≤ p ≤ ∞. Allora per q.o. x di R^N la funzione y 7→ f (x − y)g(y)

`e integrabile su R^N (ovvero f ∗ g `e ben definita).

Inoltre f ∗ g ∈ L^p(R^N) e

kf ∗ gkp ≤ kf k1kgkp.

Definizione 22. Siano 1 ≤ p ≤ ∞ e u : Ω −→ R. Diciamo che u ∈ L^p_loc(Ω) se uχK ∈ L^p(Ω) per ogni compatto K contenuto in Ω.

Proposizione 23. Siano f ∈ C_C⁰(R^N) e g ∈ L¹_loc(R^N). Allora f ∗ g `e ben definita in ogni x ∈ R^N e f ∗ g `e continua su R^N. Inoltre se f ∈ C_C^k(R^N), allora f ∗ g ∈ C^k(R^N) e D^α(f ∗ g) = (D^αf ) ∗ g per ogni multiindice α tale che |α| ≤ k.

La dimostrazione dell’ultima affermazione `e una semplice applicazione del teorema di derivazione sotto il segno di integrale.

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3 APPOSSIMAZIONI E CONVOLUZIONI

Definizione 24 (Mollificatori). Una successione (ρn)n `e detta di mollificatori se ∀ n ∈ N risulta

• ρn∈ C_C^∞(R^N);

• il supporto di ρn `e contenuto in B(0,_n¹);

• ρn≥ 0 eR

R^Nρn= 1.

Esercizio 16. Sia

ρ(x) = (

e^|x|2−1¹ se |x| < 1, 0 se |x| ≥ 1 e sia C = (R

ρ)⁻¹. Allora la successione definita da ρ_n(x) = Cn^Nρ(nx) `e una successione di mollificatori.

Teorema 25. Sia ρn una successione di mollificatori.

1. Se f ∈ C(R^N), allora ρn∗ f → f uniformemente sui compatti di R^N; 2. se 1 ≤ p < ∞ e f ∈ L^p(R^N), allora ρn∗ f → f in L^p(R^N).

L’ultima affermazione garantisce quindi che C^∞(R^N) `e denso in L^p(R^N). Scegliendo poi una successione wn di funzioni C_C^∞(R^N) che convergono puntualmente a 1 su R^N, si dimostra che C_C^∞(R^N) `e denso in L^p(R^N), mostrando che wn(ρn∗ f ) → f . Estendendo poi le funzioni di L^p(Ω) a 0 fuori di Ω si dimostra, come corollario, la terza parte del Teorema 19 su domini qualunque.

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4 SPAZI DI SOBOLEV

4 Spazi di Sobolev

Definizione 26 (Spazi di Sobolev). Sia Ω un aperto di R^N e sia p ∈ [1, ∞]. Definiamo

W^1,p(Ω) =

½

u ∈ L^p(Ω) : ∃ g1, . . . , gn∈ L^p(Ω) tali che Z

Ω

uφxidx = − Z

Ω

giφ dx ∀ v ∈ C_C^∞(Ω), ∀ i = 1, . . . , N

¾ .

Osservazione 27. Nella definizione precedente si possono considerare anche funzioni ”test” φ appartenenti a C_C¹(Ω).

Inoltre la funzione gi `e unica e si chiama deriva i–sima debole di u.

Teorema 28. Per ogni p ∈ [1, ∞], W^1,p(Ω) `e uno spazio di Banach rispetto alla norma kuk_W^1,p_(Ω)= kuk_W^1,p= kuk1,p= kukp+ kDukp

o a quella equivalente

kuk =¡

kuk^p_p+ kDuk^p_p¢_1/p .

Inoltre H¹(Ω) := W^1,2(Ω) `e uno spazio di Hilbert rispetto al prodotto scalare hu, vi =

Z

Ω

uv dx + Z

Ω

Du · Dv dx.

In particolare W^1,p`e uno spazio metrico completo rispetto alla distanza d(u, v) = ku − vk1,p.

Considerando i risultati ottenuti per gli spazi L^p non `e difficile convincersi della validit`a del risultato seguente.

Teorema 29.

• W^1,p`e riflessivo per 1 < p < ∞.

• W^1,p`e separabile per 1 ≤ p < ∞.

E ovvio che prodotto di funzioni L` ^p non sia ancora in L^p. Invece in W^1,pvalgono le seguenti regole di derivazione del prodotto e di derivazione della composizione:

Esercizio 17.

• Se u, v ∈ W^1,p∩ L^∞, allora uv ∈ W^1,pe

∂

∂xi

(uv) = ∂u

∂xi

v + u∂v

∂xi

∀ i = 1, . . . , N.

• Se F ∈ C¹(R), |F⁰| ≤ C e u ∈ W^1,p, allora F ◦ u ∈ W^1,pe

∂

∂xi(F ◦ u) = F⁰(u)∂u

∂xi ∀ i = 1, . . . , N.

Se Ω ⊂ R^N, estendendo a 0 le funzioni fuori di Ω si ha un’immediata immersione di L^p(Ω) in L^p(R^N). Per gli spazi di Sobolev la cosa non `e cos`ı semplice, ma vale il seguente

Teorema 30 (Prolungamento). Sia 1 ≤ p ≤ ∞ e sia Ω ⊂ R^N di classe C¹ e con frontiera limitata (oppure Ω = R^N₊). Allora esiste un operatore di prolungamento lineare e continuo P : W^1,p(Ω) −→ W^1,p(R^N) tale che

1. P u|Ω= u (prolungamento);

2. kP uk_Lp(R^N)≤ Ckuk_L^p_(Ω);

3. kP uk_W^1,p_(R^N₎≤ CkukW^1,p(Ω) (continuit`a),

dove la costante C `e una costante che dipende solo da N e p.

Tramite prolungamenti e convoluzioni si dimostra il

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Teorema 31 (Densit`a ristretta). Siano Ω di classe C¹e 1 ≤ p < ∞. Data u ∈ W^1,p(Ω), esiste una successione di funzioni un∈ C_C^∞(R^N) tale che un|Ω→ u in W^1,p(Ω).

In realt`a l’ultimo teorema pu`o essere migliorato notevolmente, senza ipotesi su Ω:

Teorema 32 (Meyers–Serrin). Sia 1 ≤ p < ∞ e sia u ∈ W^1,p(Ω). Allora esiste una successione di funzioni un∈ C^∞(Ω) ∩ W^1,p(Ω) tale che un→ u.

Esercizio 18. Sia p ∈ [1, ∞] e sia f ∈ W^1,p(Ω). Allora f⁺, f⁻, |f | ∈ W^1,p(Ω).

Esercizio 19. Sia Ω = B(0, 1) e sia u(x) = |x|^α, α ∈ R. Allora u ∈ W^1,p(Ω) se e solo se α > 1 − N/p.

Esercizio 20. Sia 1 ≤ p ≤ ∞ e sia (un)n una successione in W^1,p. Supponiamo che un* u in L^p e che Dun * g in (L^p)^N. Allora u ∈ W^1,pe Du = g.

Teorema 33 (Caratterizzazione di W^1,p). Sia 1 < p ≤ ∞ e sia u ∈ L^p(Ω). Allora sono equivalenti i fatti seguenti:

1. u ∈ W^1,p(Ω);

2. esiste C tale che ¯

¯¯

¯ Z

Ω

u∂φ

∂x1

dx

¯¯

¯¯ ≤ Ckφk^p⁰;

3. Esiste C tale che per ogni aperto ω compattamente contenuto in Ω e per ogni h ∈ R^N tale che |h| < dist(ω, Ω^C) risulta

ku(· + h) − ukL^p(ω)≤ C|h|.

In 2 e 3 la miglior costante C `e kDukp.

Osservazione 34. Se p = 1 valgono le seguenti relazioni: 1 ⇒ 2 ⇔ 3. Le funzioni che verificano 2 o 3 per p = 1 sono le funzioni a variazione limitata.

Teorema 35 (Sobolev (Gagliardo-Niremberg)). Sia p < N e sia p^∗= pN

N − p

µ1 p^∗ =1

p− 1 N

¶ . Allora esiste γ = γ(N, p) > 0 tale che

µZ

R^N

|u|^p^∗dx

¶_1/p^∗

≤ γ µZ

R^N

|Du|^pdx

¶_1/p

∀ u ∈ W^1,p(R^N).

In altre parole, W^1,p(R^N) si immerge con continuit`a in L^p^∗(R^N).

Esercizio 21. Il valore di p^∗ dato dal Teorema di Sobolev `e l’unico valore di q per cui kukq ≤ γkDukp

con γ = γ(N, p) (si consideri ut(x) = u(tx)).

Per interpolazione si ottiene il seguente corollario.

Corollario 36. Sia p < N . Allora W^1,p(R^N) si immerge con continuit`a in L^q(R^N) per ogni q ∈ [p, p^∗]. Pi`u precisamente, se ¹_q = ^α_p +^1−α_p∗ , allora

kukq ≤ γkuk1,p, dove γ `e la costante del Teorema di Sobolev.

Come corollario del Teorema di Sobolev, si ottiene anche il seguente

Teorema 37 (Caso p = N ). Per ogni q ∈ [N, ∞) esiste C = C(N, q) > 0 tale che µZ

R^N

|u|^qdx

¶1/q

≤ C µZ

R^N

|Du|^Ndx

¶1/N

∀ u ∈ W^1,N(R^N).

In altre parole, W^1,N(R^N) si immerge con continuit`a in L^q(R^N) ∀ q ∈ [N, ∞).

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Questo risultato `e ottimale, nel senso che esistono funzioni di W^1,N che non stanno in L^∞:

Esercizio 22. Sia Ω = B(0, 1/2) e sia u(x) = (− log |x|)^α con 0 < α < 1 − 1/N . Allora u ∈ W^1,N(Ω), ma evidentemente u ∈ L^∞(Ω). Un altro esempio simile `e dato dalla funzione u(x) = log log(1 + |x|⁻¹) che appartiene a W^1,n(B(0, 1)).

Teorema 38 (Morrey). Sia p > N . Allora esiste C = C(N, p) > 0 tale che kuk∞≤ Ckuk1,p ∀ u ∈ W^1,p(R^N).

In altre parole W^1,p(R^N) si immerge con continuit`a in L^∞(R^N).

Inoltre

|u(x) − u(y)| ≤ CkDukp|x − y|^1−1/p per q.o. x, y ∈ R^N.

Di conseguenza le funzioni di W^1,p con p > N ammettono un rappresentante continuo (concetto profondamente diverso dall’essere continue quasi ovunque!).

Corollario 39. Se p > N e u ∈ W^1,p(R^N), allora

|x|→∞lim u(x) = 0.

In particolare, le funzioni di W^1,p(R), p > 1, tendono a 0 all’infinito.

Teorema 40 (Differenziabilit`a q.o.). Sia N < p ≤ ∞ e sia u ∈ W_loc^1,p(R^N). Allora u `e differenziabile q.o. e il suo gradiente distribuzionale coincide col gradiente ”classico”.

Inoltre

Teorema 41. u ∈ W_loc^1,∞ ⇔ u ∈ Liploc. E come corollario

Teorema 42 (Rademacher). Se u ∈ Liploc, allora `e derivabile q.o..

Il teorema fondamentale di compattezza negli spazi di Sobolev `e il seguente (che si dimostra tramite il Teorema di Ascoli–Arzel`a e il Teorema 16).

Teorema 43 (Rellich–Kondrachov). Sia Ω limitato e di classe C¹. Allora

• se p < N , allora W^1,p(Ω) ,→ L^q(Ω) ∀ q ∈ [1, p^∗);

• se p = N , allora W^1,p(Ω) ,→ L^q(Ω) ∀ q ∈ [1, ∞);

• se p > N , allora W^1,p(Ω) ,→ C⁰(Ω), e tutte le immersioni sono compatte.

In particolare W^1,p(Ω) ,→,→ L^p(Ω) qualunque sia p, e quindi se un `e una successione che converge debolmente in W^1,pad u, allora un→ u nei rispettivi spazi di immersione compatta.

Definizione 44. Sia Ω un aperto di R^N e sia p ∈ [1, ∞). Definiamo

W₀^1,p(Ω) = la chiusura di C_C^∞(Ω) in W^1,p(Ω).

Teorema 45 (Disuguaglianza di Poincar´e). Sia Ω un aperto limitato. Allora esiste C = C(N, p) > 0 tale che kukp≤ CkDukp ∀ u ∈ W₀^1,p(Ω).

Osservazione 46. In realtà è sufficiente che Ω sia limitato in una direzione. 4 Corollario 47. Se Ω è un aperto limitato kDuk_p è una norma equivalente a kuk_1,p.

Ricordiamo anche la seguente

(10)

4.1 Il caso N = 1 4 SPAZI DI SOBOLEV

Proposizione 48 (Disuguaglianza di Poincar´e–Wirtinger). Sia 1 ≤ p < N . Allora esiste C = C(N, p) tale che Ã

1

|B(x, r)|

Z

B(x,r)

|f − (f )x,r|^p^∗

!_1/p^∗

≤ Cr Ã

1

|B(x, r)|

Z

B(x,r)

|Df |^p

!_1/p

per ogni B(x, r) ⊂ Ω e per ogni f ∈ W^1,p(Ω), dove (f )x,r=_|B(x,r)|¹ R

B(x,r)f . Indichiamo ora con W^−1,p⁰ lo spazio duale di W₀^1,p.

Teorema 49 (Rappresentazione di W^−1,p⁰). Sia L ∈ H^−1,p⁰(Ω). Allora esistono f0, f1, . . . , fN ∈ L^p⁰(Ω) tali che per ogni u ∈ W^1,p(Ω)

L(u) = Z

Ω

f0u dx + XN i=1

Z

Ω

fi∂u

∂xidx.

Se Ω `e limitato, si pu`o prendere f0= 0.

Corollario 50. Sia 1 ≤ p < ∞ e sia Ω limitato. Allora un * u in W^1,p se e solo se R

Dun· V →R

Du · V per ogni campo vettoriale V ∈ (L^p⁰)^N. In particolareR

Dun· Dv →R

Du · Dv per ogni v ∈ W^1,p⁰. Esercizio 23. Provare che per ogni u ∈ H²(Ω) ∩ H₀¹(Ω) risulta

Z

|Du|²dx ≤ µZ

Ω

u²dx

¶_1/2µZ

Ω

|∆u|²dx

¶_1/2 .

Ricordiamo anche il fatto che le funzioni di Sobolev, anche se definite quasi ovunque, hanno significato anche su

∂Ω in base alla teoria delle tracce:

Teorema 51 (Teorema di traccia). Sia 1 ≤ p < ∞ e sia Ω = R^N₊ oppure un aperto limitato di classe C¹. Allora esiste un operatore lineare e continuo T : W^1,p(Ω) −→ L^p(∂Ω) tale che

• T u = u_|∂Ω per ogni u ∈ W^1,p(Ω) ∩ C⁰(Ω);

• esiste C = C(N, p) tale che

kT uk_L^p_(∂Ω)≤ Ckuk_W^1,p_(Ω) per ogni u ∈ W^1,p(Ω) (continuit`a).

Ricordiamo infine la seguente definizione.

Definizione 52. Siano 1 ≤ p ≤ ∞ e m ∈ N. Definiamo per ricorrenza lo spazio W^m,p(Ω) =

½

u ∈ W^m−1,p(Ω) : ∂u

∂xi

∈ W^m−1,p(Ω) ∀ i = 1, . . . , N

¾ , dotato della norma kukm,p=P

0≤|α|≤mkDukp.

Come prima, W^m,p(Ω) risulta uno spazio di Banach, riflessivo per 1 < p < ∞, separabile per 1 ≤ p < ∞, e W^m,2:= H^m risulta uno spazio di Hilbert rispetto al prodotto scalare hu, vi =P

0≤|α|≤m

RD^αu · D^αv.

Non saranno riportati i teoremi relativi agli spazi W^m,p, lasciando a chi legge il compito di estendere i risultati precedenti a questi spazi.

4.1 Il caso N = 1

In questa sezione il dominio naturale dell funzioni sar`a un intervalloSia I di R.

Cominciamo con il seguente miglioramento del Teorema di Morrey.

Teorema 53. Sia 1 ≤ p ≤ ∞. Allora, comunque presa u ∈ W^1,p(I), esiste ˜u ∈ C(I) tale che u = ˜u q.o. su I e inoltre vale la formula del Teorema Fondamentale del Calcolo

˜

u(x) − ˜u(y) = Z _x

y

u⁰(t) dt ∀ x, y ∈ I.

La funzione ˜u `e chiamata ”rappresentante continuo di u”.

(11)

4 SPAZI DI SOBOLEV 4.1 Il caso N = 1

Teorema 54. Sia 1 ≤ p ≤ ∞. Allora esiste C = C(n, |I|) (dove |I| ≤ ∞) tale che kuk∞≤ Ckuk1,p ∀ u ∈ W^1,p(I), cio`e W^1,p(I) ,→ L^∞(I) ∀ p.

Inoltre, se I `e limitato,

W^1,p(I) ,→,→ C(I) ∀ p ∈ (1, ∞], W^1,p(I) ,→,→ L^q(I) ∀ p ∈ [1, ∞).

Proposizione 55. Sia u ∈ L^p(I), con 1 < p ≤ ∞. Allora sono equivalenti:

1. u ∈ W^1,p(I);

2. esiste C tale che ¯

¯¯

¯ Z

Ω

u∂φ

∂x1dx

¯¯

¯¯ ≤ Ckφk^p⁰;

3. Esiste C tale che per ogni aperto ω compattamente contenuto in I e per ogni h ∈ R^N tale che |h| < dist(ω, I^C) risulta

ku(· + h) − ukL^p(ω)≤ C|h|.

In 2 e 3 la miglior costante C `e ku⁰kp.

Osservazione 56. Se p = 1 valgono le seguenti relazioni: 1 ⇒ 2 ⇔ 3: le funzioni che verificano 1 sono le funzioni assolutamente continue, mentre quelle che verificano 2 o 3 sono le funzioni a variazione limitata.

Corollario 57. Sia u ∈ L^∞(I). Allora u ∈ W^1,∞(I) ⇔ ∃ C > 0 tale che |u(x) − u(y)| ≤ C|x − y| per q.o. x, y ∈ I.

Esercizio 24. Provare direttamente che se u ∈ W^1,p(0, 1) per qualche p ∈ (1, ∞), allora

|u(x) − u(y)| ≤ |x − y|^1−1/p µZ ₁

0

|u⁰(t)|^pdt

¶1/p

per q.o. x, y ∈ [0, 1].

Esercizio 25. Siano a, b > 0. Allora u(x) = |x| appartiene a W^1,p(−a, b) per ogni p ∈ [1, ∞].