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UNIVERSIT ` A DI ROMA “TOR VERGATA”

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UNIVERSIT ` A DI ROMA “TOR VERGATA”

Laurea in MATEMATICA ANALISI MATEMATICA 4

Prof. P. Cannarsa

II esonero 7 giugno 2019

Esercizio 1.

1) Siano x, y > 0. Determinare la superficie laterale, A(x, y), della superficie ottenuta come rotazione del segmento

σ x,y (t) = ty + (1 − t)x t ∈ [0, 1]

intorno all’asse z. [punti 8]

2) Giustificare il fatto che la funzone A ha massimo sull’insieme Q = (x, y) ∈ R + × R + : x 2 + y 2 = 1

e determinare i punti nei quali tale massio viene assunto. [punti 10]

Esercizio 2. Sia X :]τ − , τ + [→ R la soluzione massimale del problema di Cauchy ( X 0 (t) = 3 2 t 2 X(t) + X 3 (t)

X(0) = 1 . (?)

(a) Dimostrare che

(i) X(t) > 0 per ogni t ∈]τ − , τ + [ [Punti 2]

(ii) X ` e crescente su ]τ − , τ + [ e dedurne che τ − = −∞ [Punti 3]

(iii) lim t→−∞ X(t) = 0. [Punti 4]

(b) Sia Y la soluzione massimale del problema ( Y 0 (t) = Y 3 (t)

Y (0) = 1 2 .

(i) Dimostrare che X > Y su [0, τ + [ e dedurne che τ + < +∞. [Punti 4]

(ii) Osservato che l’equazione in (?) ` e di Bernoulli, calcolare Z τ

+

0

e t

3

dt. [Punti 5]

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