Universit`a degli Studi di Roma Tor Vergata.

Universit` a degli Studi di Roma Tor Vergata. Corso di Laurea in Matematica.

Geometria 2 a.a. 2016-17 esercizi

Spazi e sottospazi proiettivi

7.1) Nella retta proiettiva reale numerica, considera i punti A[1, 2], B[3, −1], C[−3, −1], D[6, −2].

Discuti quali di tali punti sono distinti tra loro.

7.2) Considera il piano proiettivo P

.

a) Il punto [4, −1, 2] appartiene al sottospazio di equazione omogenea 2X

+ X

= 0?

b) Determina un sistema di punti indipendenti che generano il sottospazio di equazione 3X

− X

+ X

= 0.

c) Determina una equazione omogenea per la retta passante per [1, 0, 3] e per [2, 1, −1] e una rappresentazione parametrica di tale retta.

d) Determina la dimensione dell’intersezione tra i sottospazi di equazione 3X

−X

+X

= 0 e X

− 4X

= 0, rispettivamente. Descrivi, inoltre, le coordinate omogenee dei punti in tale intersezione.

e) Verifica che i punti A[1, 0, 7], B[2, −1, 5], C[4, −3, 1], D[3, −1, 12] sono allineati e deter- mina una equazione omogenea della retta proiettiva r che li contiene.

7.3) In P

, sia H

il sottospazio di equazioni 3X

+ X

= 0, 2X

+ 3X

= 0, 9X

− 2X

= 0.

a) Determina la dimensione di H

, un sistema di equazioni normali per H

ed il sottospazio vettoriale associato.

b) Discuti se H

` e sghembo rispetto al sottospazio H

di equazione X

+ X

+ X

= 0.

c) Discuti se H

` e sghembo rispetto a H

di equazioni X

− X

= 0, X

− X

= 0.

d) Determina un insieme massimale di punti indipendenti in H

. e) Determina l’equazione della stella di piani di centro H

.

7.4) Nello spazio proiettivo P

, determina l’equazione omogenea di un piano che contenga i punti A[1, 0, 1, 0], B[−1, −1, 0, 5], C[4, 0, 0, 1]. Tale piano contiene il punto D[−8, −2, 2, 8]?

Determina inoltre (se esiste) una retta per C sghemba con la retta proiettiva per A e B.

7.5) In P

, sia H l’intersezione tra i sottospazi di equazione X

−X

+X

= 0 e 2X

−X

−X

= 0, rispettivamente

a) Determina la dimensione di H e una base del sottospazio W di V = R

tale che H = P(W ).

b) Determina un insieme massimale di punti indipendenti in H.

c) Determina l’equazione della stella di piani di centro H.

7.6) In R

, considera i vettori v

= (1, 0, 0, 0, 1), v

= (0, 1, 0, 0, −1), v

= (0, 0, 1, 1, 0), v

= (1, 3, 2, 2, −2), v

= (0, 0, 0, 1, 1). Considera inoltre i sottospazi U

=< v

>, U

=< v

>, U

=< v

, v

>, U

= < v

, v

>.

a) Verifica se le somme U

+ U

+ U

e U

+ U

+ U

sono dirette.

b) In P

, determina la dimensione del sottospazio congiungente P(U

) ∨ P(U

) ∨ P(U

).