Algebre di Lie in caratteristica 0

Algebre di Lie in caratteristica 0

Denis Nardin 21 febbraio 2012

Capitolo 1

Propriet` a generali

In questo seminario parler`o di algebre di Lie su di un campo k algebricamente chiuso e di caratteristica 0. In realt`a non `e davvero necessario richiedere che il campo sia algebricamente chiuso, tutto quello che dir`o a parte un paio di lemmi varr`a anche per campi non algebricamente chiusi e pu`o essere ricavato da quel caso (usando astutamente la teoria di Galois). Tutti gli spazi vettoriali saranno finito-dimensionali salvo dove esplicitamente indicato.

1.1 Sommario

• Definizione di algebra di Lie. Esempi (gl(V ), sl(V ), tn, un, l’algebra di Lie di un’algebra associativa...)

• Definizione di rappresentazione di un’algebra di Lie. Esempi: rappresen- tazioni di definizione, rappresentazione aggiunta. In gl(V ) ogni elemento nilpotente `e ad-nilpotente.

• Definizione di algebra di Lie nilpotente. Teorema di Engel. Definizione di nilradicale.

• Definizione di algebra di Lie risolubile. Propriet`a elementari. Definizione di radicale.

• Definizione di algebra di Lie semisemplice. [gg] = g (senza dimostrazione).

1.2 Algebre di Lie e loro rappresentazioni

Un’algebra di Lie su di un campo k `e uno spazio vettoriale g con una mappa [, ] : g × g → g bilineare tale che

• [a, a] = 0 per ogni a ∈ g (cio`e [, ] `e alternante)

• Vale l’identit`a di Jacobi:

[a[bc]] + [b[ac]] + [c[ab]] = 0 Un po’ di esempi di algebre di Lie:

• Se V `e uno spazio vettoriale finito dimensionale su k, gl(V ) `e l’algebra di Lie ottenuta prendendo come spazio vettoriale gli endomorfismi di V in s`e, e come bracket il commutatore

[a, b] = ab − ba .

Questo `e in qualche senso l’esempio pi`u importante. Indicheremo con gln(k) l’algebra di Lie delle matrici gl(kⁿ).

• Se indichiamo con sl(V ) il sottospazio vettoriale di gl(V ) composto dalle matrici a traccia nulla abbiamo che `e anche una sottoalgebra di Lie.

• Il sottospazio di gln(k) composto dalle matrici triangolari superiori tn(k)

`

e una sottoalgebra di Lie.

• Il sottospazio di tn(k) composto dalle matrici strettamente triangolari superiori u_n(k) `e una sottoalgebra di Lie.

• Pi`u in generale, se A `e un’algebra associativa possiamo dare ad A una struttura di algebra di Lie prendendo come bracket il commutatore

[a, b] = ab − ba .

Questa `e detta algebra di Lie associata all’algebra associativa A.

Un ideale di un’algebra di Lie `e una sottoalgebra I ⊆ g che assorbe il bracket. Si pu`o quozientare per ideali (fai il quoziente come spazi vettoriali e il bracket passa al quoziente). Un esempio importante di ideale `e l’ideale derivato [gg] definito da

[g, g] = Span([xy] | x, y ∈ g) .

Osserviamo che [gl(V ), gl(V )] = sl(V ) e che [tn(k), tn(k)] = un(k).

Una rappresentazione di un’algebra di Lie g `e uno spazio vettoriale V con un omomorfismo di algebre di Lie g → gl(V ). Esempi di rappresenta- zione. La rappresentazione aggiunta di un’algebra di Lie g `e quella data dall’omomorfismo

ad : g → gl(V ) ad(x) = [x·] .

1.3 Algebre di Lie nilpotenti

Un elemento x di g si dice ad-nilpotente se ad x `e nilpotente, ad-semisemplice se ad x `e diagonalizzabile.

Lemma 1. Per ogni x, y ∈ gl(V ) e per ogni i ≥ 1 vale

(ad x)ⁿy =

n

X

i=0

n i



(−1)ⁱxⁱyxⁿ⁻ⁱ.

In particolare ogni elemento nilpotente `e ad-nilpotente.

Dimostrazione. Induzione su n, banale.

Quindi ogni elemento nilpotente di gl(V ) `e ad-nilpotente.

Lemma 2. Sia g ⊆ gl(V ) una sottoalgebra di Lie composta di elementi nilpo- tenti. Allora esiste v ∈ V non nullo tale che gv = 0.

Dimostrazione. Per induzione su dim g. Infatti se dim g = 1 `e ovvio. Prendiamo ora h sottoalgebra massimale di g. Allora h agisce in modo naturale sullo spazio g/h, per cui per ipotesi induttiva (dato che dim h < dim g e ogni elemento di h

`e ad-nilpotente) abbiamo che esiste x ∈ g r h tale che [hx] ⊆ h. Ma allora h ⊕ x

`e una sottoalgebra che contiene propriamente h, quindi `e g. In particolare h `e un ideale. Per ipotesi induttiva

W = {v ∈ V | hv = 0}

`e non banale. Inoltre xW ⊆ W con un rapido conto (h(xv) = [hx]v + x(hv) = 0 per ogni v ∈ W ). Ma x `e nilpotente, quindi ha il nucleo non banale. Perci`o preso v ∈ W tale che xv = 0, da cui la tesi.

La serie centrale di un’algebra di Lie `e la successione di ideali g^[0]= g, g^[n+1]= [gg^[n]] .

Un’algebra di Lie `e detta nilpotente se g^[n]= 0 per qualche n ≥ 0.

Esempio: un(k) `e nilpotente.

Le algebre di Lie nilpotenti sono caratterizzate dal teorema di Engel:

Teorema 1. Sia g un algebra di Lie. Allora `e nilpotente se e solo se ogni elemento `e ad-nilpotente.

Dimostrazione. Infatti se `e nilpotente `e evidente che ogni elemento `e ad-nilpotente (se g<sup>[n]</sup> = 0, allora (ad x)<sup>n</sup> = 0 per ogni x ∈ g). Viceversa per induzione sup- poniamo ogni elemento di g `e ad-nilpotente. Consideriamo ad g. Questa `e una sottoalgebra di gl(g) fatta di elementi nilpotenti. Allora possiamo trovare x ∈ g tale che (ad y)x = [yx] = 0 per ogni y ∈ g. Perci`o ky `e un ideale. Allora l’al- gebra g/y `e composta di elementi ad-nilpotenti e ha dimensione strettamente minore della dimensione di g. Per induzione la tesi.

Un ideale di g `e ad-nilpotente se `e composto da elementi ad-nilpotenti.

Lemma 3. Sia g algebra di Lie. Allora la famiglia degli ideali ad-nilpotenti ha un massimo (chiamato il nilradicale di g).

Dimostrazione. Prendiamo una filtrazione in ideali g= I0⊇ I1⊇ · · · ⊇ In= 0 in modo che I_i/I_i+1 sia un g-modulo irriducibile. Allora sia

Ki= ker(g → gl(Ii/Ii+1))

e poniamo N = ∩ⁿ_i=1Ki. N `e chiaramente un ideale ed `e composto da elementi ad-nilpotenti (se x ∈ N , abbiamo che (ad x)ⁿ= 0).

Sia ora I un ideale ad-nilpotente. Abbiamo che Ii/Ii+1`e una I-rappresentazione, per cui l’insieme

W = {v ∈ Ii/Ii+1| Iv = 0}

`e non banale, per il teorema precedente. Ma si vede immediatamente che gW ⊆ W (perch`e I `e un ideale) e per l’irriducibilit`a di I_i/I_i+1 abbiamo che `e tutto, perci`o I ⊆ ker Ki.

1.4 Algebre di Lie risolubili e semisemplici

Consideriamo la successione gⁿ data da

g⁰= g, gⁿ⁺¹= [gⁿgⁿ] .

Un’algebra di Lie si dice risolubile se gⁿ = 0 per qualche n ≥ 0. Esempio: tn

`e risolubile.

Esempio: tn(k) `e risolubile.

Analogamente al teorema di Engel c’`e una caratterizzazione delle algebre di Lie risolubili.

Teorema 2. Un’algebra di Lie `e risolubile se e solo se il suo ideale derivato [gg]

`e nilpotente.

Dimostrazione. No dimostrazione.

Noi saremo interessati agli ideali risolubili di un’algebra.

Proposizione 1. • Se g `e un’algebra risolubile allora ogni sottoalgebra e ogni algebra quoziente `e risolubile.

• Se I `e un ideale risolubile di g tale che g/I `e risolubile allora g `e risolubile.

• Se I, J sono due ideali risolubili di g allora I + J `e un ideale risolubile.

Dimostrazione. Il primo fatto `e banale (se h ⊆ g abbiamo che hⁿ ⊆ gⁿ e analogamente per i quozienti). Il secondo segue dal fatto che

(g/I)ⁿ= 0 ⇒ gⁿ⊆ I

Il terzo `e perch`e I `e un ideale di I + J e (I + J )/I ∼= J/(J ∩ I).

Osserviamo quindi che esiste un unico ideale risolubile massimale, chiamato radicale di g.

Un’algebra di Lie si dice semisemplice se il suo radicale `e banale.

Proposizione 2. Se g `e un’algebra di Lie semisemplice allora [gg] = g.

In particolare l’unica rappresentazione unidimensionale `e quella banale, per- ch`e se ρ : g → gl₁(k) `e una rappresentazione allora

ρ(g) = ρ([gg]) ⊆ [gl₁(k), gl₁(k)] = sl₁(k) = 0 .