Analisi Stocastica 2010/11 – Foglio di esercizi n. 7

Analisi Stocastica 2010/11 – Foglio di esercizi n. 7

Esercizio 1. Sia B = {B_t}_t≥0 un moto browniano reale e definiamo i processi X, Y ponendo X_t:= cos(B_t) e Y_t := sin(B_t).

(a) Si mostri che i processi soddisfano le equazioni differenziali stocastiche







dX_t = −Y_tdB_t − ¹₂X_tdt dY_t = X_tdB_t − ¹₂Y_tdt X₀ = 1 , Y₀ = 0

.

(b) Si deduca che M = {M_t:= X_t+¹₂Rt

0 X_sds}_t≥0 è una martingala in L².

(c) Introducendo il processo a valori complessi Zt:= e^iBt = cos(Bt) + i sin(Bt), si ricavi dal punto (a) che Z soddisfa l’equazione

dZt = i ZtdBt − 1 2Ztdt .

Si noti che questa equazione si può ottenere applicando la formula di Itô alla funzione complessa Φ(x) = e^ix.

Esercizio 2. Sia B = {B_t}_t≥0 un moto browniano reale e siano a, b > 0 e ϑ ∈ R.

Introduciamo il processo X = {X_t}_t≥0 definito da X_t = e^12ϑ2t cos ϑ(B_t− ^b−a₂ )
.

(a) Usando la formula di Itô, si dimostri che X è una martingala.

(b) Indicando con τ := inf{t ≥ 0 : B_t 6∈ (−a, b)} il tempo di uscita di B dall’intervallo (−a, b), si spieghi perché si ha Xτ = e^12ϑ2τcos(ϑ(^a+b₂ )).

(c) (*) Si assuma che E(e^12ϑ2τ) < ∞. Si mostri che si può applicare il teorema d’arresto a X e si deduca che

E(e^12ϑ2τ) = cos(ϑ(^a−b₂ )) cos(ϑ(^a+b₂ )).

Esercizio 3 (Processo di Ornstein-Uhlenbeck). Dato un moto browniano reale B = {B_t}_t≥0, introduciamo il processo stocastico V = {V_t}_t≥0 definito da

V_t := e^−bt



v₀ + σ Z t

0

e^budB_u

 , dove b, σ > 0 e v₀ ∈ R.

(a) Si spieghi perché V è un processo di Itô.

[Sugg.: si esprima Vt= Φ(t, Xt) per un opportuno processo X.]

†Ultima modifica: 3 marzo 2011.

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(b) Si mostri che V risolve l’equazione differenziale stocastica (dV_t = σ dB_t − b V_tdt

V₀ = v₀ .

(c) Si mostri che E(V_t) = v₀e^−bt e Cov(V_s, V_t) = ^σ_2b² (e^−b|t−s|− e^−b(t+s)).

Si noti che l’integrale stocastico che compare nella definizione di V_t è una variabile gaussiana, per ogni t ≥ 0, perché l’integrando è deterministico (cf. foglio di esercizi n. 6). È anzi facile mostrare (esercizio per chi vuole) che V è un processo gaussiano.

(d) Sia U = {U_t}_t≥0 il processo definito da Ut := e^−bt



v0+ σ

√2b(B_e^2bt− B1)

 .

Si mostri che i processi U e V hanno la stessa legge (cioè le loro leggi finito-dimensionali coincidono).

Esercizio 4. Per il processo {X_t= exp((b − ¹₂ σ²) t + σ B_t)}_t≥0 (moto browniano geometrico), si determinino lim sup_t→∞X_t e lim inf_t→∞X_t in funzione di b e σ.

Soluzione 1. (a) È un’applicazione immediata della formula di Itô.

(b) Dato che X₀ = 1, dal punto precedente (o direttamente dalla formula di Itô) si ha

M_t := X_t + Z t

0

X_sds = 1 − Z t

0

sin(B_s) dB_s.

Sappiamo che l’integrale stocastico è una martingala locale, quindi anche {M_t}_t≥0 lo è. Per concludere che è una martingala in L², basta osservare che l’integrando è in M², poiché E(Rt

0 sin(B_s)²ds) ≤Rt

0 ds = t < ∞.

(c) Segue direttamente dal punto (a).

Soluzione 2. (a) Ponendo Φ(t, x) := e^12ϑ2t cos(ϑ(x − ^b−a₂ )), possiamo scrivere X_t= Φ(t, B_t) e per la formula di Itô

dX_t = ∂

∂tϕ(t, B_t) dt + ∂

∂xϕ(t, B_t) dB_t + 1 2

∂²

∂x²ϕ(t, B_t) dt

= e^12ϑ2t 1

2ϑ² cos ϑ B_t− ^b−a₂

dt − ϑ sin ϑ Bt−^b−a₂

dBt

− 1

2ϑ² cos ϑ B_t− ^b−a₂

dt



= −ϑ e^12ϑ2t sin ϑ(B_t− ^b−a₂ )
dB_t,

3

da cui segue che il processo X è una martingala locale. Dato che E

 Z T 0

ϑ e^12ϑ2t sin ϑ(B_t− ^b−a₂ )
 

2dt



≤ ϑ Z T

0

e^12ϑ2tdt = 2

ϑ e^12ϑ2T − 1

< ∞ , per ogni T > 0, l’integrando è in M² e dunque X è una martingala di quadrato integrabile (non solo una martingala locale).

(b) Per la continuità delle traiettorie del moto browniano, si ha che B_τ ∈ {−a, b}, quindi Bτ −^b−a₂ ∈ {−^a+b₂ ,^a+b₂ } e dato che il coseno è una funzione pari segue che Xτ = e^12ϑ2τ cos ϑ(^a+b₂ )
.

(c) Dato che X è una martingala e τ un tempo d’arresto, possiamo applicare il teorema d’arresto al tempo d’arresto limitato τ ∧ t, ottenendo

E(X0) = E(Xτ ∧t) . (0.1)

per ogni t ≥ 0. Si osservi che X₀ = cos ϑ(^b−a₂ )
, e ricordando il punto precedente si vede che la relazione cercata non è altro che E(X₀) = E(X_τ).

Dato che τ < ∞ q.c., si ha lim_t→∞τ ∧ t = τ q.c., e quindi lim_t→∞X_{τ ∧t} = X_τ q.c.. Occorre dunque mostrare che è possibile passare al limite t → ∞ nella relazione (??). Questo segue dal teorema di convergenza dominata, perché

|X_{τ ∧t}| ≤ e^{12ϑ2(τ ∧t)} ≤ e^21ϑ2τ, per ogni t ≥ 0, e per ipotesi E(e^12ϑ2τ) < ∞.

Soluzione 3. (a) Posto X_t := v₀ + σRt

0 e^budB_u e Φ(t, x) := e^−btx, possiamo scrivere V_t= Φ(t, X_t). Dato che Φ è di classe C^1,2, segue dalla formula di Itô che V è un processo di Itô.

(b) Basta applicare la formula di Itô a Φ(t, X_t), con le notazioni del punto precedente. In alternativa, si può applicare la formula di integrazione per parti stocastica ai processi di Itô X_t= v₀+ σRt

0 e^budB_u e Y_t = e^−bt. Dato che dXt = σ e^btdBt e dYt= −b e^−btdt, si ha dhX, Y it = 0 e dunque

dV_t = X_tdY_t + Y_tdX_t + dhX, Y i_t = X_tdY_t + Y_tdX_t

= −b e^−bt



v₀ + σ Z t

0

e^budB_u



dt + e^−btσ e^btdB_t = −b V_tdt + σ dB_t. Questo mostra che il processo V risolve l’equazione data, visto che V0 = v0. (c) Dato che l’integrale di Wiener ha media nulla, si ha E(Vt) = e^−btv0. Usando

la proprietà di isometria si ottiene per s < t E(V_tV_s) = e^−bte^−bsv₀² + σ²e^−b(s+t)

Z s 0

e^2budu = v²₀e^−b(t+s) + σ²

2b e^−b(t+s) e^2bs− 1

= v₀²e^−b(t+s) + σ²

2b e^−b(t−s)− e^−b(t+s)
,

per cui Cov(V_s, V_t) = E(V_sV_t) − E(V_s) E(V_t) = ^σ_2b² (e^−b(t−s)− e^−b(t+s)).

4

(d) Basta mostrare che i processi V⁰ = {V_t⁰ := Rt

0 e^budB_u}_t≥0 e U⁰ = {U_t⁰ :=

√1

2b(B_e^2bt−B1)}t≥0hanno la stessa legge. Essendo entrambi processi gaussiani di media nulla, basta mostrare che le covarianze coincidono. Come già calcolato nel punto precedente, per s < t si ha

Cov(V_s⁰, V_t⁰) = E(V_s⁰V_t⁰) = Z s

0

e^2budu = e^2bs− 1 2b . Analogamente, per il processo U⁰ si ha per s < t

Cov(U_s⁰, U_t⁰)

= 1

2b Cov(B_e2bs, B_e2bt) − Cov(B₁, B_e2bt) − Cov(B_e2bs, B₁) + Cov(B₁, B₁)

= 1

2b(e^2bs− 1 − 1 + 1) = 1

2b(e^2bs− 1) .

Soluzione 4. Per la legge dei grandi numeri per il moto browniano, si ha B_t/t → 0 q.c. per t → ∞, quindi per ogni ε > 0 esiste q.c. t₀ = t₀(ω) < ∞ tale che per ogni t ≥ t₀ si ha |σB_t/t| ≤ ε. Di conseguenza per t ≥ t₀ si ha

exp



b − 1

2σ²− ε

 t



≤ X_t ≤ exp



b − 1

2σ²+ ε

 t

 .

È quindi chiaro che se (b −¹₂σ²) > 0 si ha X_t→ +∞ q.c., mentre se (b −¹₂σ²) < 0 si ha X_t → 0 q.c. (si osservi che X_t ≥ 0). Infine, se (b −¹₂σ²) = 0 si ha X_t = e^{σ Bt}. Ricordando che q.c. lim sup_t→∞B_t = +∞ e lim inf_t→∞B_t = −∞, segue che q.c.

lim sup_t→∞Xt= +∞ e lim inft→∞Xt= 0.