Processi Stocastici 2010/11 – Foglio di esercizi n. 8

Processi Stocastici 2010/11 – Foglio di esercizi n. 8^†

Esercizio 1 (Processo di Ornstein-Uhlenbeck). Dato un moto browniano reale B = {Bt}t≥0, introduciamo il processo stocastico V = {Vt}t≥0definito da

Vt := e^−bt

� v0 + σ

�t 0

e^budBu

� , dove b, σ > 0 e v0∈ R.

(a) Si spieghi perché V è un processo di Itô.

[Sugg.: si esprima Vt= Φ(t, Xt)per un opportuno processo X.]

(b) Si mostri che V risolve l’equazione differenziale stocastica

�dVt = σdBt− b Vtdt V0= v0

.

(c) Si mostri che E(Vt) = v0e^−bte Cov(Vs, Vt) =^σ_2b²(e^−b|t−s|− e^−b(t+s)).

Si noti che l’integrale stocastico che compare nella definizione di Vt è una variabile gaussiana, per ogni t ≥ 0, perché l’integrando è deterministico (cf. foglio di esercizi n. 6).

È anzi possibile mostrare (esercizio per chi vuole) che V è un processo gaussiano.

(d) Sia U = {Ut}t≥0il processo definito da

Ut := e^−bt

� v0+ σ

√2b(B_e2bt− B1)

� .

Si mostri che i processi U e V hanno la stessa legge (cioè le loro leggi finito- dimensionali coincidono).

Esercizio 2. Sia (Ω, F, {Ft}t∈[0,∞), P)uno spazio di probabilità filtrato standard su cui sono definiti un {Ft}t∈[0,∞)-moto browniano reale B = {Bt}t∈[0,∞)e un processo continuo e adattato X = {Xt}t∈[0,∞)che risolve l’equazione





dXt = 1

�1 + X_t²dBt + Xt

1 + X_t²dt X0 = 0

. (0.1)

Introduciamo la funzione ϕ : R → R definita da ϕ(x) :=

� x

−∞

e^−z2dz . (0.2)

Ricordiamo che limx→+∞ϕ(x) =√π. Definiamo il processo Y = {Yt}t∈[0,∞) ponendo Yt:= ϕ(Xt).

†Ultima modifica: 7 giugno 2011.

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(a) Si mostri che Y è un processo di Itô con differenziale stocastico











dYt = e^−Xt2

�1 + X_t²dBt

Y0=

√π 2

.

(b) Si deduca che Y è una martingala di quadrato integrabile.

Ricordiamo che �Y �t =

� t 0

e^−2X2s 1 + X_s²ds.

(d) Si spieghi perché il processo M = {Mt}t∈[0,∞)definito da Mt:= Y_t²− �Y �tè una martingala. Si deduca che per ogni tempo d’arresto τ e per ogni t ≥ 0 si ha

E(Yτ²∧t)− E(�Y �τ∧t) = π 4.

Consideriamo infine il tempo d’arresto τ := inf{t ≥ 0 : |Xt| ≥ a}, dove a > 0 è un numero fissato.

(e) (*) Si giustifichino le seguenti disuguaglianze, valide per ogni t ≥ 0:

Yτ²∧t ≤ π , �Y �τ∧t ≥ e^−2a2 1 + a²(τ∧ t) .

Si deduca che E(τ ∧ t) ≤ e^2a2(1 + a²)^3π₄, per ogni t ≥ 0, e si concluda che E(τ) < ∞.

Esercizio 3. Su uno spazio di probabilità filtrato standard (Ω, F, {Ft}t∈[0,1), P)è definito un {Ft}t∈[0,1)-moto browniano reale B = {Bt}t∈[0,1)(con insieme dei tempi ristretto a [0, 1)). Definiamo i processi continui e adattati M = {Mt}t∈[0,1), X = {Xt}t∈[0,1)ponendo

Mt :=

� t 0

1

1− sdBs, Xt:= (1− t) Mt, ∀t ∈ [0, 1) .

(a) Si mostri che X è un processo di Itô che risolve la seguente equazione differenziale

stocastica: 





dXt = dBt− Xt

1− tdt X0 = 0

, (�)

(b) Si calcoli E(Mt²). Si deduca che Xt→ 0 in L²per t ↑ 1.

(c) Fissiamo ε ∈ (0, 1). Si spieghi perché il processo M² = {Mt²}t∈[0,1−ε] è una submartingala continua. Si deduca che per ogni c > 0 si ha

P

� sup

t∈[0,1−ε]|Mt| > c

�

≤ 1− ε ε c² . [Sugg.: Si applichi un’opportuna disuguaglianza.]

Per n ∈ N poniamo

εn := 1

2ⁿ, ∆n := εn· sup

t∈[0,1−εn]|Mt| .

3

(e) Si mostri che q.c. si ha ∆n> (εn)^1/4solo per un numero finito di n ∈ N.

(Da ciò segue, in particolare, che ∆n→ 0 q.c. per n → ∞.)

(f) Si mostri che per ogni n ∈ N e per ogni t ∈ [1 − εn−1, 1− εn]si ha |Xt| ≤ 2 ∆n. Si deduca che Xt→ 0 q.c. per t ↑ 1.

Esercizio 4.Sia {Bt}t∈[0,∞)un moto browniano reale, definito su uno spazio di probabilità completo (Ω, F, P). Per M, t0, h > 0introduciamo i seguenti eventi:

A^{(M )}_t0,h := �

|Bt0+h− Bt0| ≤ Mh} , C_t^{(M )}_0,h := A^{(M )}_t0,h ∩ A^{(M )}t0+h,h∩ A^{(M )}t0+2h,h = �

|B(t₀+ih)+h− B(t₀+ih)| ≤ Mh , per i = 0, 1, 2} . (a) Si mostri che P(A^{(M )}_t,h )≤ M√

h, per ogni M, t, h > 0.

(b) Si mostri che P(C_t,h^{(M )})≤ M³h^3/2, per ogni M, t, h > 0.

Per M > 0 e n ∈ N introduciamo gli eventi

D^{(M )}_n :=

2ⁿ

�

k=1

C^{(M )}k

2n,_2n¹ , G^{(M )} := lim sup

n→∞ D_n^{(M )}. (c) Si mostri che P(D^{(M )}n )≤ M³2^−n/2, per ogni M > 0 e n ∈ N.

(d) Si mostri che P(G^{(M )}) = 0, per ogni M > 0. In altri termini, q.c. si verifica solo un numero finito di eventi D^{(M )}n .

(e) (*) (facoltativo) Sia f : [0, ∞) → R una funzione continua tale che esiste s ∈ (0, 1) in cui f è derivabile. Si mostri che esiste una costante M > 0 tale che per ogni n∈ N esiste k ∈ {1, . . . , 2ⁿ} tale che |f(^k+i₂n +₂¹n)− f(^k+i₂n)| ≤ M₂¹n, per i = 0, 1, 2.

Si proceda nel modo seguente:

- Si mostri che esiste L > 0 tale che |f(s + h) − f(s)| ≤ L h per ogni h ∈ [0, 1].

- Per n ∈ N sia k ∈ {1, . . . , 2ⁿ} tale che ^k2⁻¹ⁿ ≤ s < 2^kn. Applicando la disu- guaglianza triangolare, si mostri che |f(^k+i+1₂n )− f(^k+i₂n)| ≤ L (2i + 3)₂¹n e si concluda ponendo M := 7L.

(f) Si concluda che q.c. il moto browniano non è derivabile in nessun punto s ∈ (0, 1).

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Soluzione 1. (a) Posto Xt:= v0+ σ�t

0e^budBue Φ(t, x) := e^−btx, possiamo scrivere Vt= Φ(t, Xt). Dato che Φ è di classe C^1,2, segue dalla formula di Itô che V è un processo di Itô.

(b) Basta applicare la formula di Itô a Φ(t, Xt), con le notazioni del punto precedente.

In alternativa, si può applicare la formula di integrazione per parti stocastica ai processi di Itô Xt = v0+ σ�t

0e^budBu e Yt= e^−bt. Dato che dXt = σ e^btdBt e dYt=−b e^−btdt, si ha d�X, Y �t= 0e dunque

dVt = XtdYt+ YtdXt+d�X, Y �t = XtdYt+ YtdXt

=−b e^−bt

� v0 + σ

� t 0

e^budBu

�

dt + e^−btσ e^btdBt = −b Vtdt + σ dBt. Questo mostra che il processo V risolve l’equazione data, visto che V0= v0. (c) Dato che l’integrale di Wiener ha media nulla, si ha E(Vt) = e^−btv0. Usando la

proprietà di isometria si ottiene per s < t E(VtVs) = e^−bte^−bsv₀²+ σ²e^−b(s+t)

� s 0

e^2budu = v0²e^−b(t+s) + σ²

2be^−b(t+s)� e^2bs− 1�

= v₀²e^−b(t+s)+ σ² 2b

�e^−b(t−s)− e^−b(t+s)� ,

per cui Cov(Vs, Vt) = E(VsVt)− E(Vs) E(Vt) =^σ_2b²(e^−b(t−s)− e^−b(t+s)).

(d) Basta mostrare che i processi V^�={Vt^�:=�t

0e^budBu}t≥0e U^�={Ut^�:=^√1_2b(Be^2bt− B1)}t≥0hanno la stessa legge. Essendo entrambi processi gaussiani di media nulla, basta mostrare che le covarianze coincidono. Come già calcolato nel punto precedente, per s < t si ha

Cov(V_s^�, V_t^�) = E(V_s^�V_t^�) =

� s 0

e^2budu = e^2bs− 1 2b . Analogamente, per il processo U^�si ha per s < t

Cov(U_s^�, U_t^�)

= 1 2b

�Cov(B_e2bs, B_e2bt)− Cov(B1, B_e2bt)− Cov(Be^2bs, B1) + Cov(B1, B1)�

= 1

2b(e^2bs− 1 − 1 + 1) = 1

2b(e^2bs− 1) .

Soluzione 2. (a) Y è un processo di Itô perché è funzione C² (in effetti C^∞, anzi analitica) del processo di Itô X. Chiaramente Y0= ϕ(0) =^√₂^π. Dato che ϕ^�(x) = e^−x2, ϕ^��(x) =−2xe^−x2 e d�X�t=_1+X¹ 2

t dt, applicando la formula di Itô si ottiene dYt = ϕ^�(Xt)dXt+ 1

2ϕ^��(Xt)d�X�t

= e^−Xt2

� 1

�1 + X_t²dBt + Xt

1 + X_t²dt

�

− X^te^−Xt2 1

1 + X_t²dt = e^−X2t

�1 + X_t²dBt.

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(b) Il processo Y è una martingala locale perché è un integrale stocastico. Per mostrare che è una martingale di quadrato integrabile, basta mostrare che il processo inte- grando è in M²e non solo in M²loc. Ma questo è immediato perché tale processo è limitato: infatti

��

��

� e^−X2t

�1 + X_t²

��

��

� ≤ 1 , ∀t ≥ 0 , =⇒ E

�� T 0

e^−Xt2

�1 + X_t²dt

�

≤ T < ∞ , ∀T > 0 . (c) Abbiamo mostrato a lezione che Yt²−�Y �tè una martingala, per qualunque integrale

stocastico Yt=�t

0ϕsdBscon integrando {ϕs}s≥0∈ M². In alternativa, applicando la formula di Itô si ottiene

dMt = 2YtdYt+d�Y �t − d�Y �t = 2 ϕ(Xt) e^−Xt2

�1 + X_t²dBt, che mostra che M è una martingala locale. Dato che il processo integrando

�

2 ϕ(Xt) e^−X2t

�1 + X_t²

�

t≥0

è limitato (si osservi che la funzione ϕ è limitata) segue che M è una vera martingala (di quadrato integrabile).

Dato che τ ∧ t è un tempo d’arresto limitato e M è una martingala continua con M0= Y₀²=^π₄, per il teorema d’arresto si ha E(M0) = E(Mτ∧t), ossia

π

4 = E(Yτ²∧t)− E(�Y �τ∧t) .

(d) La prima disuguaglianza segue immediatamente dal fatto che la funzione ϕ è limitata:

ϕ(x)≤ ϕ(+∞) =√

πe dunque Y_s²= ϕ(Xs)²≤ π per ogni s ≥ 0, in particolare per s = τ∧ t. Per la seconda disuguaglianza, osserviamo che

�Y �τ∧t =

� τ∧t 0

e^−2Xs2

1 + X_s²ds = �t 0

e^−2Xs2

1 + X_s²1_[0,τ∧t](s)ds .

Dato che per s ≤ τ si ha per definizione |Xs| ≤ a, l’integrando è minorato da ^e1+a^−2a22

e quindi

�Y �τ∧t ≥ e^−2a2 1 + a²

� t 0

1[0,τ∧t](s)ds = e^−2a2 1 + a²(τ∧ t) .

Combinando queste disuguaglianze con la relazione ^π₄ = E(Y_τ²_∧t) − E(�Y �τ∧t) dimostrata al punto precedente, si ottiene

E(τ∧ t) ≤ e^2a2(1 + a²) E(�Y �τ∧t) = e^2a2(1 + a²)�

E(Yτ²∧t)− π 4

� ≤ e^2a2(1 + a²)3π 4 . Per il teorema di convergenza monotona, dato che (τ ∧ t) ↑ τ per t → ∞, si ottiene infine

E(τ ) = lim

t→∞E(τ∧ t) ≤ e^2a2(1 + a²)3π 4 < ∞ .

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Soluzione 3. (a) Per definizione M è un processo di Itô con differenziale stocastico dMt = _1−t¹ dBt. Si noti che Xt = F (t, Mt), con F (t, x) := (1 − t)x. Dato che F (t, x) =˙ −x, F^�(t, x) = (1− t) e F^��(t, x) = 0, applicando la formula di Itô si ottiene

dXt = ˙F (t, Mt)dt + F^�(t, Mt)dMt+ 1

2F^��(t, Mt)d�M�t

= −Mtdt + (1 − t) dMt =− Xt

1− tdt + (1 − t) 1 1− tdBt, cioè proprio l’equazione (�).

(b) Per l’isometria dell’integrale stocastico E(M_t²) = E(�t 0

1

(1−s)²ds) =_1−t¹ − 1 =1−t^t . Di conseguenza �Xt�²2= E(X_t²) = (1− t)²E(M_t²) = (1− t)t → 0 per t ↑ 1, cioè Xt→ 0 in L².

(c) Per ogni ε ∈ (0, 1) fissato, il processo {Mt}t∈[0,1−ε] è una martingala di qua- drato integrabile, in quanto integrale stocastico del processo (deterministico!) {1−t¹ }t∈[0,1−ε]∈ M²[0, 1− ε]. Dato che x �→ x²è una funzione convessa, segue che {Mt²}t∈[0,1−ε] è una submartingala (continua per costruzione). Dalla disuguaglianza massimale si ottiene allora

P

� sup

t∈[0,1−ε]|Mt| > c

�

= P

� sup

t∈[0,1−ε]

Mt²> c²

�

≤ E(M₁²_−ε)

c² = 1− ε ε c² , poiché E(M_t²) =_1−t^t per il punto precedente.

(d) Usando le definizioni di ∆n, εne il punto precedente, si ottiene

P�

∆n> (εn)^1/4�

= P

� sup

t∈[0,1−εn]|Mt| > (εn)^−3/4

�

≤ 1− εn

εn(εn)^−3/2 ≤ (εn)^1/2 = 1 (√

2)ⁿ, quindi �

n∈NP�

∆n > (εn)^1/4�

< ∞. Per il lemma di Borel-Cantelli, q.c. si ha

∆n> (εn)^1/4solo per un numero finito di n ∈ N.

(e) Dato che εn−1= 2 εn, si ha

sup

t∈[1−εn−1,1−εn]|Xt| = sup

t∈[1−εn−1,1−εn]|(1 − t)Mt| ≤

� sup

t∈[1−εn−1,1−εn]|1 − t|

�

·

� sup

t∈[0,1−εn]|Mt|

�

= (1− (1 − εn−1))

� sup

t∈[0,1−εn]|Mt|

�

= 2 εn

� sup

t∈[0,1−εn]|Mt|

�

= 2 ∆n. Per il punto precedente, q.c. ∆n→ 0 per n → ∞, quindi per q.o. ω ∈ Ω si ha che per ogni η > 0 esiste n0= n0(ω) <∞ tale che |∆n(ω)| <^η2 per ogni n > n0(ω).

Per la stima appena mostrata, segue che |Xt(ω)| ≤ η per ogni t ∈ [1 − εn−1, 1− εn], qualunque sia n > n0(ω), vale a dire |Xt(ω)| ≤ η per ogni t ∈ [1 − εn0(ω), 1). Questo mostra che, per t ↑ 1, Xt(ω)→ 0; dunque Xt→ 0 q.c..

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Soluzione 4. (a) Dato che Bt0+h− Bt0∼ N(0, h), si ha (Bt0+h− Bt0)/√

h∼ N(0, 1) e dunque

P(|Bt0+h− Bt0| ≤ Mh) = P�����Bt0+h√− Bt0

h

��

�� ≤ M

√h

�

=

� M√ h

−M√ h

e^−x2/2

√2π dx

≤

� M√ h

−M√ h

√1

2πdx = 2

√2πM√ h≤ M√

h .

(b) Per l’indipendenza degli incrementi del moto browniano e per il punto precedente P(A^{(M )}_t,h ∩ A^{(M )}t+h,h ∩ A^{(M )}t+2h,h) = P(A_t,h^{(M )})· P(A^{(M )}t+h,h)· P(A^{(M )}t+2h,h)≤ (M√

h)³= M³h^3/2. (c) Per il punto precedente

P(D^{(M )}_n ) = P

�₂n

�

k=1

C^{(M )}k 2n,_2n¹

�

≤

2ⁿ

�

k=1

P

� C^{(M )}k

2n,_2n¹

�

≤ 2ⁿM³

�1 2ⁿ

�3/2

= M³ 2^n/2. (d) Per il punto precedente�

n∈NP(D^{(M )}n )≤ M³�

n∈N2^−n/2<∞, quindi P(G^{(M )}) = 0per il Lemma di Borel-Cantelli.

(e) • Se f è derivabile in s ∈ (0, 1) esiste finito il limite di (f(s+h)−f(s))/h, per h → 0; in particolare, esistono costanti L^�, ε > 0tali che |f(s+h)−f(s)|/h ≤ L^�per ogni h ∈ [0, ε]. Dato che la funzione f è continua, essa è limitata nell’intervallo [s, s+1]; di conseguenza, esiste L^��> 0tale che |f(s+h)−f(s)|/h ≤ L^��per ogni h∈ [ε, 1]. Ponendo L := max{L^�, L^��} si ha dunque che |f(s+h)−f(s)|/h ≤ L per ogni h ∈ [0, 1].

• Applicando la disuguaglianza triangolare e quanto appena mostrato, possiamo scrivere

��

��f

�k + i + 1 2ⁿ

�

− f

�k + i 2ⁿ

����� ≤

��

��f

�k + i + 1 2ⁿ

�

− f(s)

��

�� +

��

��f

�k + i 2ⁿ

�

− f(s)

��

��

≤ L�����k + i + 1 2ⁿ − s

��

�� +

��

��k + i 2ⁿ − s

��

��

� , e se ^k₂⁻¹n ≤ s <2^kn si ottiene

��

��k + i + 1 2ⁿ − s

��

�� +

��

��k + i 2ⁿ − s

��

�� ≤i + 2 2ⁿ +i + 1

2ⁿ = (2i + 3)1 2ⁿ.

Per i = 0, 1, 2 si ha 2i + 3 ≤ 7; ponendo M := 7L, abbiamo dunque mostrato che |f(^k+i+1₂n )− f(^k+i2ⁿ)| ≤ M2¹ⁿ.

(f) Sia ω ∈ Ω tale che la funzione t �→ Bt(ω)sia derivabile in un punto s = s(ω) ∈ (0, 1).

Per il punto precedente, esiste M = M(ω) > 0 tale che per ogni n ∈ N esiste k = k(ω)∈ {1, . . . , 2ⁿ} tale che |B^k+i_2n+_2n¹ (ω)− B^k+i_2n(ω)| ≤ M2¹ⁿ, per i = 0, 1, 2.

Questo significa precisamente che ω ∈ C^{(M )}k

2n,_2n¹. Quindi ω ∈ D^{(M )n} , per ogni n ∈ N, e dunque ω ∈ G^{(M )}. Abbiamo mostrato l’inclusione di eventi

{s �→ Bsè derivabile in qualche punto s ∈ (0, 1)} ⊆ �

M∈N

G^{(M )}.

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Per i punti precedenti, P(G^{(M )}) = 0per ogni M > 0 e dunque P(�

M∈NG^{(M )}) = 0.