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Academic year: 2021

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Testo completo

(1)

F =r r

∇ U Fx =∂U

∂x, Fy=∂U

∂y , Fz=∂U

∂z b )

c) a)

K1

[ ]

⋅ l

[ ]

0 = m ⋅ l ⋅ t

[

−2

]

[ ]

K1 = m ⋅ l ⋅ t

[

−2

]

K2

[ ]

⋅ l

[ ]

1 = m ⋅ l ⋅ t

[

−2

]

[ ]

K2 = m ⋅ t

[

−2

]

K3

[ ]

⋅ l

[ ]

2 = m ⋅ l ⋅ t

[

−2

]

[ ]

K3 = m ⋅ l

[

−1⋅ t−2

]

∇ ∧r r F =r

0 ⇒

∂Fx

∂z∂Fz

∂x = 0, ∂Fy

∂z∂Fz

∂y = 0, ∂Fx

∂y∂Fy

∂x = 0

U x, y,z

( )

= K1x −1

2K2y2+1 3K3z3

U x, y,z

( )

=

F ⋅ dr r r =

(

K1ˆ i − K2yˆ j + K3z2k ˆ

) (

dxˆ i + dyˆ j + dz ˆ k

)

=

(

K1dx − K2ydy + K3z2dz

)

U O

( )

= U 0,0,0

( )

= 0

U B

( )

= U 0,3,0

( )

= −9J

LOB = U B

( )

− U O

( )

= −9J

d)

(2)

Problema n. 4

P − T − ma0= ma TR = I ˙ ω

 

Forze che agiscono sullo yo-yo:

F r R = r F A + r

F T + r F C

Equazioni cardinali della dinamica:

F r A = r P + r

T

F r T = −ma r 0

F r C = 0

ω =˙ a r R = a

R

TR = I a R T =1

2mR2 a R=1

2ma

m g −/ 1

2m a − / / m a0= / m a 3

2a = g − a0a =2

3

(

g − a0

)

⇒ a =2

3

(

9.8 −1.5

)

= 5.53 ms−2

(3)

Conservazione della componente orizzontale della quantità di moto:

Qi = MVi+ mvi = 0

Ti=1

2MVi2+1

2mvi2= 0

Conservazione dell’energia meccanica:

ΔE = Ef − Ei= 0 ⇒ Ef = Ei ⇒ Tf + Uf = Ti+ Ui

Qf = MVf + mvf = MVA + mvA

Ui= MghM + mghm = Mg ⋅ 0 + mgh = mgh

Tf =1

2MVf2+1

2mv2f =1

2MVA2+1 2mvA2

Uf = Mg⋅ 0 + mg ⋅ 0 = 0

ΔQ = Qf − Qi= 0 ⇒ Qf = Qi

1

2MVA2 +1

2mvA2 = mgh

MVA + mvA = 0 ⇒ vA = −M mVA a)

(4)

1

2MVA2 +1 2mM2

m2 VA2 = mgh

1

2M 1+ M m

  

 VA2= mgh

VA2 = 2m2gh

M M + m

( )

⇒ VA =

2m2gh M M + m

( )

=

2⋅12⋅ 9.8⋅ 4

3 3+ 1

( )

= 2.56ms

−1

€ b )

vA = −M

mVA = −3

12.56 = 7.67ms−1

1

2mvU2 =1

2mvA2 − LTr

T r r= −µr

N = −µmg

LTr =µmg dx

0 d

=µmgx0d =µmgd

1

2m v/ U2 =1

2m v/ A2 −µ / m gd

vU2 = vA2 − 2µgd

vU = vA2 − 2µgd = 58.80 − 2⋅ 0.5 ⋅ 9.8⋅ 5 = 9.80 = 3.13ms−1 1

2m v/ U2 = / m ghM hM =vU2

2g = 9.80

2⋅ 9.8= 0.5m

(5)

c)

t = td + tp= td + p 4

µg = amedia =vA − vU td

td =vA − vU

µg = 7.67 − 3.13

0.5⋅ 9.8 = 0.93s

Tp = 2π l

g = 2π 8

9.8 = 5.68s

t = 0.93 +5.68

4 = 2.35s

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