natura random

Microelettronica

Parte I: Electronic noise

Definizione IEEE: unwanted disturbances superposed upon a useful signal that tend to obscure its information content.

A seconda del campo, digitale od analogico, ci sono termini specifici, quali

noise induttivo, noise statico, noise temporale, noise di input, noise di switching..

Due classi fondamentali: noise intrinseco e noise estrinseco Noise intrinseco: generato all’interno del dispositivo o circuito.

Nei sistemi lineariquesto tipo di noise e’ dovuto alla natura discreta dei portatori di carica, inevitable.

Una caratteristica importante e’ la sua natura random, per descriverlo si adotta una descrizione statistica.

Noise estrinseco: generato esternamente al dispositivo o circuito, che funziona solamente da antenna ricevente. E’ chiaramente un disturbo.

Esistono due categorie: perturbazioni ambientali e disturbi di cross talk. .

Un confronto tra il noise intrinseco e quello estriseco porta a riconoscre al primo un carattere casuale, mentre a quello estrinseco un carattere, per la maggior parte dei casi, non casuale ma di definita struttura

deterministica , con piu’ strutture sovrapposte.

Bandwidth

Il noise intrinseco e’ presente a tutte le frequenze, crescente alle basse frequenze ( flicker noise). E’ impossibile filtrarlo completamente dato che si estende su tutto lo spettro fino alle piu’ alte frequenze.

Il noise estrinseco ha uno spettro molto piu’ ristretto, per cui o lo si puo’

filtrare o si puo’ spostare la banda del segnale fuori da quella del noise Ampiezza

Il noise intrinseco ha un livello molto basso, decina di nV (rms), ma e’

sempre presente.

Il noise estrinseco puo’ avere livelli anche maggiori di quelli del segnale per cui e’ necessario filtrarlo.

Calcolo del noise

E’ piu’ facile calcolare il livello del noise intrinseco che quello estrinseco.

Nel primo caso si puo’ calcolare a mano individuando tutti i componenti attivi oppure ricorrendo a pacchetti software adatti. Per il noise estrinseco, essendo interferenze elettromagnetiche, sono difficili da calcolare anche se le eq. di Maxwell sono conosciute, perche’ nel dominio del tempo non e’ facilmente definibile la condizione di contorno. Per questo SI FANNO MISURE di noise.

Progettazione Low-Noise

Il noise intrinseco deve essere tenuto conto fin dalla prima fase della

progettazione, accanto alle specifiche elettriche e’ il rapporto segnale rumore che guida la progettazione.

Il noise estrinseco invece e’ tenuto conto nella stesura del layout e della prototipizzazione.

Immunita’ da noise

Il noise influisce sul contenuto di informazione del segnale, per questo la stima di questo ‘danno’ e’ strettamente legata alle funzioni del circuito.

Per un circuito di amplificazione sara’ importante che il primo stadio sia ad alto guadagno e basso rumore.

Per un circuito digitale, dove i segnali logici variano in ampiezza rapidamente, non c’e’ bisogno di amplificazione, per cui sara’ solo necessario limitare i

disturbi sulla ampiezza.

Perche’ il noise e’ un problema?

Il noise e’ un problema perche’ mette un limite fondamentale alle normali operazioni di tutti i circuiti elettronici e sistemi.

Il punto e’ il rapporto S/N, se S/N e’ piccolo il sistema e’ attaccabile dal noise, se S/N e’ grande il sistema e’ quasi immune da noise.

Il noise incide sul funzionamento di un circuito in quanto:

a) fissa un limite inferiore sull’ampiezza del segnale da amplificare b) fissa un limite superiore sul guadagno di un amplificatore

c) fissa un limite sul minimo segnale rivelabile in sensori e ricevitori d) fissa un limite sulla sensitivita’ della misura

e) fissa un limite sul range dinamico del circuito

f) puo’ generare error nella misura della fase del segnale

g) dati binari immagazzinati in memoria possono essere corrotti dal noise IMPORTANTE nella progettazzione digitale sub micron il noise

diventa un punto importante nella progettazione.

Noise nei sistemi di comunicazione e industriali

Sorgente Trasmett. Ricevitore Utente

CANALE

Sensore Matching

network Amplifier A/D

converter

Assumendo che la sorgente non induca noise, il segnale che raggiunge

il canale e’ contaminato solo dal noise del trasmettitore. La trasmissione sul canale degrada poi il segnale, conseguentemente il S/N e’ notevolmente ridotto, per cui deve essere amplificato al ricevitore

codifica il segnale decodifica

Nei sistemi di misura e controllo di piccoli segnali da sensori il noise e’ un fattore limitante della risoluzione.

Cenni di teoria dei segnali

Definizione: dal punto di vista della teoria dei circuiti un segnale e’ la forma che l’energia assume per propagarsi attraverso il circuito.

Classificazione: si possono classificare in deterministici o stocastici;

si dividono in due categorie:

1) Segnali periodici in cui il segnale si ripete ad ogni intervallo T (periodo)

€

v(t) = v(t + T)

2) Segnali aperiodici , in cui non c’e’ un periodo T di ripetizione del segnale Es. segnale di un oscillatore

Tipici segnali aperiodici sono i transienti, il noise radio cosmico e i segnali random.

Ogni segnale, sia periodico che random, richiede la specificazione almeno delle seguenti quantita’:

a) valore medio, b) rms, c) fattore di forma ed il peak factor.

Valor medio

€

I_o = 1

T i(t)dt

0 T

∫

Nel caso di un segnale aperiodico, T e’ il tempo per cui il segnale e’ osservato

-1 4

0 [V]e(t)

[ms]

1 2 t

Radice quadratica media o rms

Quantita’ misurabile che e’ introdotta tradizionalmente come il calore dissipato in un resistore: nel caso di un segnale armonico diventa

€

V_rms≡ 1 R

1

TV² cos²ωt dt = 1

0 R

T

∫

^Vdc2

con V ampiezza del segnale armonico.

€

E_o= 1

2ms((4V)(1ms) + (-1V)(1ms)) = 1.5 V

€

V_rms≡ Vdc = V / 2

Valore quadratico medio

€

v ² = (V_rms)² = 1

T v²dt

0 T

∫

€

e ² =(4V)²(1ms) + (-1V)²(1ms)

(2ms) = 8.5 V²

€

E_rms = 8.5 V² = 2.91 V Questo significa che una tensione DC di 2.91 V applicata al resistore R

produce lo stesso calore di un segnale AC come da figura.

Ricordare: la potenza sviluppata in un resistore R da una tensione e(t) puo’ essere scritta come:

€

= 1Ω

€

P = E_rms² / R = e(t)² / R

cioe’ il valore quadratico medio e’ numericamente uguale alla potenza dissipata in una resistenza unitaria, “potenza normalizzata”

IMPORTANTE perche’ dato che in media il valore medio di un segnale

random e’ ZERO e la prima quantita’ significativa e’ il valore quadratico medio Form Factor : il rapporto del valore quadratico medio al valor medio del segnale

Peak Factor: il rapporto tra il valore di picco del segnale e il valore rms.

Correlazione

Nell’analisi del noise importante il concetto di correlazione: due forme d’onda sono dette coerenti se hanno lo stesso andamento, a parte l’ampiezza che puo’ essere diversa

Il noise essendo un segnale random necessita di una trattazione probabilistica.

Da un punto di vista pratico, per il noise si puo’ parlare di coerenza solo quando le sorgenti di noise hanno la stessa origine, per tutti gli altri casi si ha noise scorrelato o incoerente.

Coefficienti di correlazione

€

= 1Ω

€

v

²

= (v

_a

+ v

_b

)

²

= v

_a²

+ 2v

_a

v

_b

+ v

_b²

€

= v

_a

€

= v

_b

€

v² = 1

T

(

A²sin²ωt + 2ABsinωtsin(ωt +φ) + B²sin²(ωt +φ)

)

0 T

∫

^dt

€

= A²

2 + AB cosφ+ B² 2 Tre casi:

1)

€

φ = 0

segnali coerenti o completamente correlati

€

v² = V_rms² = A

2 + B 2



  

 

2

€

v_a= A sinωt

2)

€

φ = π /2

segnali scorrelati

€

v² = A²

2 + B² 2

Per segnali scorrelati la potenza normalizzata totale dissipata nel carico e’

uguale alla somma delle singole potenze normalizzate 3)

€

0 < φ < π /2

segnali parzialmente correlati, il coefficiente di correlazione e’

€

c = v_av_b v_a²v_b²

= v_a²v_b²

(v_a)_rms(v_b)_rms = (ABcosφ) / 2

(A / 2)(B / 2) = cosφ

il coefficiente varia tra -1 e 1, secondo la fase

€

v_b = Bsin(ωt + φ)

Fluttuazioni: approccio probabilistico

Ogni quantita’ fisica ossevata per un certo intervallo di tempo mostra delle

fluttuazioni attorno al suo valo medio. Le fluttuazioni sono un processo random.

Nei circuiti elettrici le fluttuazioni di tensione e corrente sono descritte per mezzo di variabili random. la variabile random e’ il valore istantaneo X della tensione o corrente. Si vuole determinare la probabilita’

€

ΔP che la X prenda un valore tra

€

x e x + Δx., cioe’ la Probability Density Function (PDF)

€

f(X) = lim_{Δx →0}

N→∞

(N.punti in Δx) / Δx N.totale di punti misurati

quindi la probabilita’ di trovare il valore di corrente o tensione in un range infinitesimo

€

dx attorno a x e' ΔP = f(x)dx

Cumulative Disribution Function (CDF)

Descrive la probabilita’ che il valore istantaneo della fluttuazione all’istante t1 sia minore di uno specificato valore x1. cioe’ che

€

F₁(x₁,t₁) = P(X(t₁) ≤ x₁)

€

F1( x1,t1) = P(X (t1) ≤ x1) = f (x)dx

−∞

x₁

per definizione

∫

Come descrivere le fluttuazioni

Le fluttuazioni sono completamente descrivibili dalle PDF e CDF,

pero’ nel caso del noise e’ difficile perche’ in molti casi non sono disponibili.

Si usa una descrizione incompleta basata sulle medie ( o moments).

€

m_n(X ) = Xⁿ(t) = xⁿ

−∞

+∞

∫

^f(x)dx

Per il noise importanti sono il valor medio m1 e la media quadratica m2.

Importante e’ il significato fisico delle quantita’ viste:

-

€

X (t) = X(t) corrisponde all componente DC della fluttuazione -

€

[X(t)]² = X(t) ² da’ la potenza DC normalizzata, in R unitaria -

€

X²(t) = X²(t) identifica la potenza totale normalizzata, dissipata in R unitaria -

€

var X(t){ } ^{= X2}(t) - X(t)[ ]² indica la potenza normalizzata nella componente AC -

€

σ_x = var X(t){ } valore rms della componente AC

La potenza totale normalizzata si puo’ scrivere anche come

€

X²(t) = var X(t){ }+ X(t)[ ]²

Che significa che la potenza totale normalizzata e’ la somma della potenza normalizzata AC e la potenza normalizzata DC

Caratterizzazione delle variabili random

Per una variabile discreta la PDF si ottiene studiando la statistica della quantita’ fluttuante. Le distribuzioni piu’ utilizzate sono:

€

P(n) = m!

n!(m - n)!pⁿ(1- p)^{m -n}

€

P(n) = (λT)ⁿexp(−λT) n!

€

P(n) = 1

2πσ² exp −(n - λ)² 2σ²

 



 



Per una variabile continua la distribuzione normale diventa la gaussiana con media zero

€

dP(X) = 1

2πσ²exp − X² 2σ²

 



 

 dX

Binomiale Poissoniana Normale

Notare: quasi tutto il noise di corrente e tensione ha una PDF gaussiana La ragione principale perche’ la maggior parte delle fluttuazioni presentano una distribuzione normale e’ che ciascuna fluttuazione puo’ essere vista

come la somma macroscopica di un grande numero di variabili random indipendenti.

Energia e spettro di potenza Densita’ di potenza spettrale

La densita’ di potenza spettrale e’ una funzione reale, pari, non negativa Sf che fornisce la potenza media totale per Ohm quando integrata sul dominio delle frequenze. IN pratica la densita’ di potenza spettrale e’ la distribuzione relativa della potenza del segnale sttraverso lo spettro.

Se il segnale v(t) ha una rms costante ed e’ applicato ad R unitaria su una bandwidth

€

Δf

€

V_rms²

Δf = V_rms Δf



  

 

2

= S_f(V)

la

€

S_f(V) e’ la densita’ spettrale di tensione, misurata in

€

V / H_z, ugualmente si puo’ definire una densita’ spettrale di corrente espressa in

€

A / H_z

Energia normalizzata

L’energia normalizzata di un segnale v(t) e’ l’energia totale dissipata per Ohm

€

W = v²(t)dt

-∞

+∞

∫

applicando il teorema di Parseval

€

W = | v(t) |² dt

-∞

+∞

∫

⁼ ₂¹_π ^{F(jω)F*(jω)dω =} ₂¹_π ^{| F(jω) |2 dω}

−∞

+∞

∫

−∞

+∞

∫

Questa espressione stabilisce un’equivalenza tra lo spettro di frequenza ed il valore qudratico del segnale.

Densita’ spettrale di energia: rappresenta il modo in cui l’energia di un segnale aperiodico e’ distribuito sullo spettro.

€

S_ω(W) = 1

2π ^{| F(j}ω) |²

e’ una funzione reale, pari, non negativa che integrata sul dominio di tutte le frequenze fornisce l’energia totale media per Ohm.

Spettro di potenza bilaterale ed unilaterale

Tradizionalmente nella teoria dei segnali la potenza di segnali deterministici e’ calcolata in tutto il dominio delle frequenze da

€

−∞ a + ∞, lo spettro

e’ detto bilaterale, nel trattare il noise si e’ limitati a frequenze positive che si estendono da

€

0 a + ∞, lo spettro si dice unilaterale.

CORRELAZIONE

Sorgenti fisiche del noise Thermal noise

Einstein nel 1906 predisse che il moto browniano degli elettroni liberi in un pezzo metallo, in equilibrio termico, deve produrre una f.e.m. fluttuante ai suoi capi. Il fenomeno fu sosservato da J.B. Johnson nel 1929 e lo spettro di potenza calcolato nello stesso anno da Nyquist.

L’origine fisica di questo noise e’ il moto termico, casuale, degli elettroni liberi all’interno di un conduttore. Questo moto porta ad agglomerazioni temporanei di portatori ad uno dei capi del conduttore, questo significa che il potenziale al terminale B sara’ piu’ negativo di quello di A, apparira’ quindi come una differenza di potenziale ai capi AB, VAB.

N.B. la componente DC e’ ZERO, il noise termico e’ sentito come una fluttuazione nella corrente elettrica ( circuito in close loop) o nella tensione ( open loop circuit).

Teorema di Nyquist

Il teorema stabilisce che per resistenze lineari in equilibrio termico

a temperatura T, le fluttuazioni di corrente o tensione sono indipendenti dal meccanismo di conduzione, dal tipo, forma e geometria del materiale.

Il noise dipende soltanto dal valore della resistenza e dalla sua temperatura T ( in Kelvin).

Si danno quattro relazioni:

1) densita’ spettrale del noise di tensione

€

S_p = kT , [W / Hz]

2) densita’ spettrale del noise di corrente

3) densita’ spettrale del noise di tensione, i.e. la potenza di noise fornita ad un resistore di carico identico R, per unita’ di bandwidth

€

S(I_n) = i_n²

Δf = 4kT

R = 4 kTG , [A² / Hz]

€

S(V_n) =v_n²

Δf = 4 kTR , [V²/ Hz]

4) un resistore con noise e’ modellato per mezzo di un identico resistore SENZA noise ed una sorgente di noise esterna.

€

v_n² = 4kTRΔf (modello di Thevenin)

€

i_n²= 4kTΔf / R (modello di Norton)

Questa rappresentazione e’ valida per modellare il noise di un resistore come SENTITO ai suoi terminali.

Notare

1) tutte e 4 le definizioni sono equivalenti

2) il teorema di Nyquist e’ valido solo per sistemi lineari in equilibrio con ambiente

3) la densita’ spettrale e’ costante rispetto alla frequenza,

finche’ non si deve imporre delle correzioni quantistiche: white noise 4) la potenza totale di noise di un resistore e’ infinita se la bandwidth e’

infinita, ma le correzioni quantistiche pongono un limite al divergere.

Casi particolari Impedenza arbitraria

Consideriamo una impedenza arbitraria Z=R+jX in equilibrio termico

€

S(I_n) = 4kTℜe(Z^-1) = 4kTR R² +X² Rete one-Port

Per una rete lineare two-terminal con solo resistori, capacita’ e induttanze, la tensione (o corrente)di noise ai terminali puo’ essere calcolata sostituendo ciascun resistore con i suoi modelli. Indi ogni contributo all’output e’ poi

calcolato ed i valori quadratici medi risultanti sono poi sommati.

Un approccio piu’ semplice e’ quello di valutare la parte reale dell’impedenza complessa Z vista guardando verso i terminali e calcolare

€

v_n² = 4kT ℜe(Z)

-∞

+∞

∫

^df formula di Nyquist

Per una rete con solo resistori l’equazione diventa

€

v_n² = 4kTR_eqΔf dove Req indica la resistenza equivalente della rete.

Alta frequenza e bassa temperatura

Il teorema di Nyquist non e’ valido per arbitrariamente alte frequenze, perche’ diverge, per cui si impone una correzione quantica. E’ stato dimostrato che in tutte le situazioni in cui

€

hf / kT >> 1, con f in Hz e T in kelvin la densita’ spettrale diventa

€

S(p) = hf

exp(hf / kT) - 1

K =

€

hf exp(hf / kT) -1

si introduce il fattore di Plank

Il valore quadratico medio della tensione di noise di un circuito aperto fornita ad un resistore si puo’ scrivere come

€

v_n² = 4kT R(f)K(f)df [v²]

f₁ f₂

∫

Proprieta’ del noise termico

- la potenza di noise termico e’ uniforme su tutto il range delle frequenze, almeno fino a

€

f_c = 0.15kT ⋅10³⁴ [Hz]

- l’ampiezza istantanea del noise termico ha una distribuzione gaussiana - il peak factor e’ circa 4 ( se si considerano i picchi che capitano solo nel 0.01% del tempo di osservazione )

DOVE e’ importante il noise termico? il noise termico e’ generato nei

sistemi dissipativi, ( ad esempio sistemi puramente reattivi non generano noise termico), quindi e’ associato ai resistori e semiconduttori leggermente dopati.

Diffusion noise

L’origine fisica del noise di diffusione e’ nella fluttuazione della velocita’

dei portatori causata da collisioni.

Il noise e’ dovuto al processo di diffusione che deriva dalla distribuzione non uniforme dei portatori, ad esempio in un semiconduttore quando simanifesta una maggiore densita’ di portatori su una faccia, causa illuminazione ad es., c’e’ una diffusione verso l’altra che e’ sguarnita.

Non c’e’ bisogno di applicare tensione.

Durante la diffusione gli elettroni scatterano col lattice o impurita’ e cosi’

la velocita’ di diffusione risulta alterata, producendo una fluttuazione.

Un modello di questo noise e’ stato proposto da Becking e Van der Ziel.

Si consideri un semiconduttore n-type con un gradiente di densita’ di elettroni. Se si divide il volume in tanti elementi infinitesimi

€

(ΔxΔyΔz). Causa le collisioni gli elettroni hanno la possibilita’ di passare da un elemento all’altro in una serie di eventi indipendenti.

La densita’ spettrale di corrente e’ quindi

€

S(I) = 4q²D_nn(x)ΔyΔz Δx

Microscopicamente se vale la relazione di Einstein

€

D_n = kT q µ_n

mobilita’

elettroni la densita’ spettrale di corrente diventa

€

S(I) = 4kT ΔR

con

€

ΔR essendo la resistenza dell’elemento infinitesimo

€

ΔxΔyΔz

€

ΔR = Δx qµ_n n(x)ΔyΔz

Si puo’ dire che per i portatori maggioritari, soltanto, il noise di diffusione si identifica con quello termico, se vale la legge di Einstein.

Dal punto di vista macroscopico, se la relazione corrente-tensione segue la legge di Ohm allora si puo’ parlare di noise termico, altrimenti e’ noise di diffusione.

Il noise di diffusione e’ un white noise, come quello termico.

Il noise di diffusione e’ indotto dalle collisioni random, mentre quello termico e’ dovuto al moto termico dei portatori.

Dov’e’ importante il noise di diffusione?

Il noise di diffusione e’ dominante in tutti i dispositivi in cui la caratteristica I-V non segue la legge di Ohm. Ad esempio il canale di un FET. Se il bias e’

tale che il FET operi in regime ohmico, allora il noise e’ termico, se opera in regime di saturazione allora e’ di diffusione.

Shot noise

La natura fisica dello shot noise e’ nella natura discreta dei portatori.

In dispositivi elettronici con barriere di potenziale, la corrente attraverso il dispositivo e’ limitata solo a quegli elettroni che possiedono sufficiente energia per superare la barriera di potenziale. Il passaggio delle cariche

attraverso la barriera e’ costituito da una serie di eventi casuali indipendenti.

Sebbene macroscopicamente la “corrente” sembri essere costante, microscopicamente il suo valore istantaneo fluttua attorno alla media, questa fluttuazione e’ chiamata shot noise.

Lo shot noise appare in tutti i dispositivi dove c’e’ una raccolta di cariche, passaggio di corrente attraverso una barriera.

Schotty per primo ricavo’ l’espressione dello shot noise in un tubo a vuoto.

Il teorema di Carson spiega lo shot noise come dovuto a eventi elementari come l’arrivo di un elettrone al terminale collettore. La corrente istantanea e’ la omma di impulsi elementari di Dirac di peso q

€

I(t) = q δ(t - t_i)

i

∑

il cui valor medio e’

€

I(t) = I₀ = λq

n. medio elettroni raccolti per secondo

La densita’ spettrale di corrente dello shot noise e’ quindi

€

S(I) = 2qI₀ , [A² / Hz]

Lo shot noise e; un white noise, tuttavia se si tiene conto del tempo di transito degli elettroni c’e’ una frequenza du cutoff a

€

ω₀ ≅ 3.5 / T_t

Lo shot noise si puo’ modellare come un generatore di corrente di noise il cui valore quadratico medio e’

€

i_n² (t) = 2qI₀ Δf , [A²] essendo Io la corrente media DC che fluisce attraverso il dispositivo.

Shot noise nelle giunzioni PN

La corrente di una giunzione PN e’ dovuta essenzialmente alla iniezione di portatori minoritari nella regione di bulk, seguita dalla loro diffusione e ricombinazione.

Per modellare il noise e’ necessario quindi tener conto di sorgenti di noise di diffusione e Generazione-Ricombinazione, (approccio collettivo)

Altro modo e’ l’approccio corpuscolare, in cui si considerano i singoli eventi di passaggio di portatori attraverso la barriera ( Campbell’s theorem). i due approcci sono equivalenti.

tradizionalmente si usa un modello che fa riferimento alla corrente di giunzione espressa come

€

I = I_S exp qV kT



  

  − 1



  

 

scomponendo I in due correnti

€

I_Sexp qV kT



  

  e

€

- I_S, ognuna con le sue fluttuazioni indipendenti, poiche’ i valori quadratici medi sono additivi, si ha:

€

i_n,tot² = (2qI_Sexp(qV

kT) + 2qI_S)Δf = 2q(I +2I_S)Δf

Usando la conduttanza per piccoli segnali low-frequency di una giunzione forward biased (I>>IS)

€

g_m = dI dV= qI

kT

si ottiene la relazione

€

i_n,tot² ≅ 2qIΔf = 2kTg_mΔf , [A²]

Questa relazione mostra come lo shot noise di una giunzione, F-B, e’ meta’ del

noise termico generato da un resistore uguale alla resistenza piccoli segnali della giunzione

Shot noise in Metal-Semiconductor Junctions Nei diodi Schottky la corrente e’ dovuta ai portatori maggioritari.

Si deve tener conto di due categorie di portatori:

- Portatori che vanno dal metallo al semiconduttore, incontrano una barriera di potenziale E0. Si ha una corrente -IS che e’ quasi indipendente dalla

tensione V applicata.

- Portatori che vanno dal semiconduttore al metallo, incontrano una barriera di altezza

€

q(Φ_e− V), dove

€

Φ_c e’ il potenziale di contatto e V la tensione applicata al metallo.

La densita’ spettrale totale di corrente e’ la somma dei due contributi

€

S(I_tot) = 2q(I + 2I_S) = 2kTg_m(I + 2I_S)(I + I_S)

Notare:

1)lo shot noise non doipende dalla temperatura.

2) Poiche’ lo shot noise dipende solo dalla corrente DC attraverso il dispositivo, agendo sulla corrente di bia si puo’ controllare il noise.

3) un diodo a giunzione genera sempre shot noise.

Proprieta’ dello shot noise

Lo shot noise e’ un white noise fino a frequenze vicino all’inverso del tempo di transito; lo shot noise mostra una distribuzione delle ampiezze istantanee di tipo gaussiano.

Il rapporto delle fluttuazioni alla corrente DC puo’ essere ridotto aumentando il numero di elettroni che raggiungono il terminale collettore.

Lo sho nois puo’ essere ridotto ipoteticamente se la grandezza di ogni singola carica si potesse ridurre.

Lo shot noise e’ sempre generato nei fotomoltiplicatori, nei tubi a vuoto e nei diodi a giunzione.

Lo shot noise e’ sempre associato a portatori che attraversano una barriera di potenziale. Gli effetti dello shot noise sono piu’ marcati quando la corrente media attraverso il dispositivo e’ molto bassa.

Quantum noise

La natura discreta ( quantica) della radiazione elettromagnetica e’ la causa principale del noise quantico.

L’energia em e’ radiata od assorbita in termini di fotoni, la cui energia e’

esprimibile come

€

E = hf, con h = costante di Plank.

In un sistema che scambia energia termica o em con il suo ambiente ( es. bolometri o rivelatori ottici ), lo scambio reciproco di energia

tra rivelatore ed ambiente ha una fluttuazione, dovuto al numero random di fotoni scambiati per secondo. Cio’ e’ chiamato noise quantico.

In piu’ la relazione di Heisenberg mi dice piu’ misuro precisamente l’energia, meno precisamente conosco il tempo in cui il sistema ha questa energia e v.v.

Il noise quantico e’ trascurabile alle frequenze usuali, ma diventa importante nella regione dell’infrarosso, come pure a basse temperature.

Ricordare la correzione quantica alla densita’ spettrale di Nyquist di un resistore

€

S(p) = hf

exp(hf / kT) -1 [W / Hz]

per hf>>kT S(p) la densita’ spettrale tende a zero, cosa che non possibile perche il limite inferiore di noise e’ fissato dalla relazione di Heisenberg.

Paradosso

Si assuma un amplificatore ideale, lineare enoiseless, con guadgno G e tempo di propagazione

€

τ. Il suo input e’ eccitato da una qualche sorgente, mentre all’output c’e’ un rivelatore ideale per misurare l’energia di outout E0 ed il corrispondente tempo t0 con l’accuratezza

€

ΔEΔt = h / 4π

€

E

_i

= E

_o

/ G e t

_i

= t

₀

- τ

Quindi si puo’ scrivere

€

ΔE_iΔt_i = ΔE_oΔt₀/ G = h / 4πG

di conseguenza

Ma questo non e’ possibile e quindi una conclusione e’ che e’ impossibile avere un amplificatore linerae senza noise. L’amplificatore deve aggiungere del noiseal fine di soddisfare la relazione di Heisenberg. E;

sto provato che il noise che l’ampl. deve aggiungere e’ di tipo gaussiano e densita’ spettrale

€

S_n(p) = hf , [W / Hz], che e’ esattamente il noise quantico.

Si puo’ provare che la Temperatura di noise di input di un ampl non puo’ essere inferiore a

€

T = ln2 -1 / G 1-1 / G



  

 

−1hf k

Noise Generation-Recombination (R-G)

Il noise G-R ha origine nella fluttuazione statistica dei portatori dovuta alla generazione, ricombinazione, intrappolamento e rilascio casuale di portatori in un semiconduttore.

La rottura e formazione dei legami covalenti (G-R)sono dovuti a fotoni o fononi, mentre i difetti reticolari del bulk sono trappole che catturano e rilasciano dopo un certo

tempo i portatori aggiungendo fluttuazioni al fenomeno G-R..

Come conseguenza della fluttuazione nella densita’ dei portatori, si genera una fluttuazione nella corrente ,

€

ΔN la fluttuazione nei portatori,

€

τ₀ la vita media dei portatori fluttuanti e

€

H(t) un sorgente di fluttuazione di portatori

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d(ΔN)

dt = -ΔN τ₀ + H(t)

Lo spettro di potenza diventa quindi, per i soli portatori maggioritari

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S(p) = 4ΔN² 1

1+ ω²τ₀² , [W / Hz]

il modello e’ una sorgente di noise di corrente con

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N il n. medio di portatori ,

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I² la corrente media DC attraverso il dispositivo e

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τ la costante di tempo caratteristica del processo G-R

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i_n² = 4I²τ

N(1 +ω²τ₀²) , [A²]

Il noise G-R e’ proporzionale al quadrato della corrente DC

Lo spettro del noise G-R e’ piatto fino ad una frequenza di circa 1/

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τ, con

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τ il tempo caratteristico , circa 1 ns. Oltre la frequenza 1/

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τ lo spettro crolla a 20dB/decade.

Il noise G-R e’ importante nei casi le concentrazionei dei portatori sono

piccole, e cioe’ nei semiconduttori a basso drogaggio, in quelli intriseci e negli strati di carica spaziale delle giunzioni, cioe’ dove il fenomeno di conduttanza non e’ generato dai portatori rilasciati dalle impurita’.

1/f noise ( Fliker Noise e/o excess noise)

Il noise 1/f non e’ ancora ben capito, e’ un fenomeno che si presenta anche sistemi non elettronici, es chimica, meccanica, nel cosmo etc ed ha diverse origini,

nei dispositivi elettronici e’ sempre condizionato dal passaggio di una corrente in un mezzo discontinuo.

Diversi modelli sono stati proposti per il noise 1/f , ma nessuno soddisfacente, dal punto di vista pratico lo si modella come un generatore di corrente con valore quadratico medio

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i_n² = KI^α

fⁿ Δf , [A²]

con K costante dipendente dal dispositivo, alpha costante con un range da 0.5-2, n=1 per noise di potenza costante per ottava, ma puo’ essere 2 per le fluttuazioni nella velocita’ di rotazione della terra o 2.7 per la radiazione galattica, I e’ la corrente attraverso il dispositivo.

La PDF del fliker noise non e’ gaussiana Nota Bene

Lo spettro e’ dipendente dalla frequenza, aumentando per frequenze basse, mai raggiungendo lo zero.

Il noise 1/f e’ preminente quando la corrente e’ dovuta ad un piccolo numero di portatori. alto noise 1/f significa bassa qualita’ del dispositivo

Fliker noise nei transistori bipolari e MOSFET Nei transistori bipolari il noise 1/f e’ principalmente dovuto ai difetti nella regione emitter-base.

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i_n² = KI^a f^bδf

Un modello di corrente 1/f ( Van der Ziel)

con K costante ( dipende leggermente da T), I e’ la corrente attraverso il dispositivo,

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δf e’ la bandwidth infinitesima centrata su f, a = costante tra 0.5 e 2 e b circa 1.

Si rappresenta il noise 1/f come un generatore di corrente in parallelo con la giunzione emitter.

Si e’ notato che le giunzioni PNP hanno meno noise 1/f delle NPN, e che dipende dalla orientazione del cristallo.

Nei MOSFET Tipicamente la corrente di drain esibisce fluttuazioni con spettro 1/f.

Cio’ e’ dovuto alle fluttuazioni nel numero di portatori nel canale, dovute ad intrappolamento negli strati superficiali situati tra le interfacce SiO2-Si.

Van der Ziel ha mostrato che per i dispositivi MOSFET la densita’ degli stati superficiali al livello di Fermi e’ l’unica causa del noise 1/f

E’ mostrato che il noise 1/f cresce con il diminuire della temperatura poiche’

la densita’ degli stati superficiali aumenta verso la banda di conduzione.

Popcorn (Burst ) noise

Questo tipo di noise si presenta principalmente in presenza di corrente

attraverso giunzioni altamente drogate. E’ stato osservato nei diodi a tunnel, nei bipolari resistori a film, etc. WE’ associato a contaminazione di atomi metallici durante la fabbricazione o a danni nel cristallo.

Nei bipolari si modella come un generatore di corrente

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I² = KI_BΔf 1 + π²f² / 4a²

con a n. di burst osservati per sec., K costante e IB e’ la corrente di base.

Si presenta come fiotti di noise nella corrente collettore a caso con frequenze molto variabili da centinaia di burst/sec a pochi al minuto.

Il burst noise dipendendo dalla tecnologia ( pulitura delle suprfici) e’ stato quasi eliminato, ancora presente nei dispositivi submicron dovuto a difetti del cristallo.

Avalanche noise

L’origine e’ il processo di moltiplicazione dei portatori dovuto alla ionizzazione nelle giunzioni reverse-biased PN; se si applica una tensione alta i portatori minoritari ( buche nella regione N ed elettroni in quella P) sono accelerati

e collidendo con gli atomi possono ionizzare e innescare un processo a valanga.

Questo processo si sviluppa in una regione di dimensioni tra 1 e 2 micron, che ha una resistivita’ di circa 10 KOhm, corrente bassa , decine di microA.

La corrente di noise avalanche, che e’ un fenomeno complesso, e’ stata modellata come

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S(I) = 2qI₀M² , [A²/ Hz]

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i² = 2qI₀M²Δf

e la densita’ spettrale di corrente

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I₀ = I_p(0) + I_n(w) + qA g(x)dx

0 w

dove ∫

essendo Ip la correente delle buche a x=0, In(w) la corrente degli elettroni a x- w, e g(x) il numero di coppie generate al punto x per unita’ di volume e per secondo ed A l’area della giunzione

Il noise avalanche e’ un noise bianco,