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6.11 Esercizio. Costruire un problema di programmazione lineare in forma canonica per il quale ˆ x

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Academic year: 2021

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6.11 Esercizio. Costruire un problema di programmazione lineare in forma canonica per il quale ˆ x

j

:= 1, j := 1, . . . , 4, `e ottimo primale e ˆ u

i

:= 1, i := 1, . . . , 4, `e ottimo duale. Indi- care un metodo generale per ottenere un problema di programmazione lineare con soluzioni primali e duali assegnate.

Soluzione. Per i valori indicati un’istanza molto semplice ` e data da una matrice A identica e da vettori b e c con valori unitari.

In generale se ˆ x ∈ R

n

e ˆ u ∈ R

m

sono le soluzioni ottime primali e duali assegnate, sia A una qualsiasi matrice n × m e si calcoli b



:= A ˆ x e c



:= ˆ u A. Poi si definisca

b

i

:=

 b

i

se ˆ u

i

> 0

b

i

− 1 se ˆu

i

= 0 c

j

:=

 c

j

se ˆ x

j

> 0 c

j

+ 1 se ˆ x

j

= 0

(stiamo supponendo che il primale sia un problema di minimo) I valore b

i

− 1 e c

j

+ 1 non sono necessari. Basta che sia b

i

≤ b

i

e c

j

≥ c

j

e la complementarit` a `e comunque soddisfatta.

Se si vuole che la soluzione sia regolare allora deve essere b

i

< b

i

e c

j

> c

j

e quindi il numero 1 pu` o essere sostituito da qualsiasi reale positivo.

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