Laboratorio di Calcolo Numerico A.A. 2007/2008 – II semestre

(1)

Corso di Laurea Triennale in Matematica Laboratorio di Calcolo Numerico

A.A. 2007/2008 – II semestre

Esercitazione 3

Creare una cartella <cognome> dove verranno salvati i file creati nella sessione di lavoro.

Appena entrati in MATLAB posizionarsi in <cognome>.

Risolvere in ambiente MATLAB i seguenti esercizi.

RISOLUZIONE DI SISTEMI LINEARI: OPERATORE DIVISIONE A SINISTRA Per la soluzione di sistemi lineari in MATLAB si può usare l’operatore \ o divisione a sinistra:

>> x= A \ b

che calcola la soluzione x del sistema Ax=b con il metodo di eliminazione di Gauss con pivoting in generale. Nei casi particolari di sistemi con matrice A triangolare inferiore o superiore risolve con il metodo di sostituzione in avanti o all’indietro rispettivamente.

FATTORIZZAZIONE LU con pivoting

La funzione MATLAB che esegue la fattorizzazione LU con pivoting è [L,U,P]=lu(A). L’output di questa funzione sono le matrici triangolari L ed U ed una matrice di permutazione P tali che PA=LU .

1. Dopo aver scritto i seguenti sistemi lineari

 



 





=

− + +

= +

−

=

− +

−

= +

− +

0 10 5 10 2

0 7 2

0 13 4 3 7 2

0 2 2 6 2

4 3 2

4 2 1

4 3 2 1

4 2 1

x x x

x x x x

x x x

 



= +

− − =

10 5

4 8 15 12

2 1

x x

x

 



 





= +

− +

−

= + + +

= +

− +

= + + +

5 4 5

4 1 2

2 2 1 2 3

2 4 3 2 1

4 3 2 1

x x x x

nella forma matriciale Ax=b, costruire un file script di MATLAB che, presa in input la matrice A dei coefficienti e il vettore b dei termini noti, stabilisca se il sistema ha un’unica soluzione e in caso affermativo, lo risolva con il metodo della divisione a sinistra (utilizzando l’operatore \ che calcola la soluzione con il metodo di eliminazione di Gauss: x = A \b). Provare poi a risolvere il sistema anche negli altri due casi. Cosa si osserva?

2. Assegnato il sistema lineare Ax=b, con

 







 







=

 







 







=

7 . 1

33 . 2

1 . 1 ,

5664 . 73393 8

. 6967 2

. 662

8 . 6967 2

. 662 63

2 . 662 63

6 b A

- trovare il vettore soluzione x;

- perturbare la matrice dei coefficienti della quantità

(2)



 







 





=

0 0 0

0 0 1

* 01 . 0 δ A

quindi calcolare l’errore relativo sulla soluzione e confrontarlo con la perturbazione relativa sui dati di ingresso.

3. Assegnato il sistema lineare Ax=b, con A matrice di Hilbert di ordine 4 e b=[1 1 1 1] ^T , - trovare il vettore soluzione x;

- perturbare il vettore dei termini noti della quantità

 







 







−

= −

1 1

* 01 . 0 δ b

quindi calcolare l’errore relativo sulla soluzione e confrontarlo con la perturbazione relativa sui dati di ingresso.

4. Risolvere il sistema lineare Ax=b con

 



 

= 

 



 



= −

018 . 1

569 . , 1

436 . 2 3454 . 0

5666 . 1 0003 .

0 b

A

nell’aritmetica a 4 cifre con e senza l’uso della strategia pivotale. Confrontare i risultati ottenuti nei due casi. Cosa si osserva?

5. Sia assegnato il sistema lineare Ax=b con

 

 



 +

 =



 



= 

4 , 2

1 1

1 ε

ε b

A

Quando ε=0, tale sistema ha soluzione [2 2] ^T .

Risolvere il sistema senza far uso della strategia pivotale, per valori di ε pari a 10 ^-k con k=2:2:18. Confrontare i risultati ottenuti con le soluzioni trovate per i medesimi valori di ε quando è applicata la strategia pivotale.

6. Costruire una funzione MATLAB per il calcolo della soluzione di una generale equazione AX=B, con X, B matrici, che utilizza la fattorizzazione LU.

Utilizzarla poi per il calcolo dell’inversa A-1 delle seguenti matrici:

(3)

 





 





−

 







 







2 1 0 0 0

1 2 1 0 0

0 1 2 1 0

0 0 1 2 1

0 0 0 1 2

, 11 9 5

4 3 2

7 5 3

Confrontare i risultati con la funzione MATLAB inv(A).

7. Sia assegnato il sistema lineare Ax=b con

 



 



−

= −

 



 

= 

2 9999 . , 0

4 2

9999 . 1

1 b

A

La soluzione esatta di tale sistema è x=[1 -1] ^T .

Calcolare il residuo relativo alla soluzione [-101 50] ^T e commentare i risultati.

8. Calcolare la fattorizzazione LU delle seguenti matrici di coefficienti:

,

2 1 0 0 0

1 2 1 0 0

0 1 2 1 0

0 0 1 2 1

0 0 0 1 2

1 

 









 







−

= A

) 30 ,.

20 , 20 ( 2 sprand A =

30%) al pari nulli non elementi di

densità una

con 20 dimensione di

random sparsa

matrice una

è (A2

n=100;

e=ones(n,1);

b=[e -e 6e -e 2e];

d=[-n/2 -1 0 1 n/2];

A3=spdiags(b,d,n,n);

Osservare la struttura di L ed U per la matrice A1 (simmetrica tridiagonale a diagonale

dominante) e le matrici A2, A3 (sparse).