grandezze medie associate ad un processo

Lezione 8

Processi stocastici (cont.)

Scopo di questa lezione è presentare:

● grandezze medie associate ad un processo

● processi gaussiani; processi stazionari

● autocorrelazione empirica

● fit di una serie storica tramite SDE

● Fokker-Planck

● fit dinamico di una densità

Grandezze medie associate ad un processo

Dato un processoXt_t≥0, chiamiamo:

● media del processo la funzione mt = EX^t

● varianza del processo la funzione σ²t = VarXt

● autocovarianza del processo la funzione di due variabili t, s ≥ 0 Ct, s = CovX^t, Xs.

(Analogamente: autocorrelazione è ρt, s = CorrX^t, Xs ecc.) Un processo si dice stazionario in senso debole, o in media, se:

● mt, σ²t sono costanti in t (quindi parleremo di m e σ² del processo)

● Ct, s dipende solo dalla distanza temporale |t − s|.

In questo caso la struttura di autocovarianza è descritta dalla funzione di una variabile Ct = CovX^t, X0 = CovXs+t, Xs.

Nota 1. Le stesse definizioni si dannoa tempo discreto.

Nota 2. Per un processoXn_n≥0a tempo discreto ha senso chiedere che sia Cn, m = 0 per ogni n ≠ m. Il white noise ha questa proprietà. A tempo continuo, ha senso imporla solo per processi generalizzati.

Nota 3. Proprietà del tipo

Ct ∼ e^−λt

corrispondono ad una “memoria” breve.

Processi gaussiani

Un processoXt_t≥0si dice gaussiano se, presi t1, ..., tn ≥ 0 qualsiasi, la v.a.

Xt1, ..., Xtn è gaussiana.

- Le v.a. gaussiane n-dimensionali (lezione 5) sono completamente descritte dal loro vettore dei valori medi m e dalla matrice di covarianza Q.

- La Q del vettoreXt1, ..., Xtn ha componenti

Qij = CovXti, Xtj = Cti, tj.

- Idem per m.

- Quindi un processo gaussiano è completamente descritto dalle funzioni mt, Ct, s.

- Un processo gaussiano stazionario è completamente descritto da m, Ct.

Esempi a tempo discreto

Esempio 1. Il white noise (a tempo discreto) è un processo gaussiano stazionario. Vale

m = 0, Cn = 0 per n > 0, C0 = 1.

Esempio 2. La random walk è un processo gaussiano, non stazionario. Vale

m = 0, σ²n = n.

Esempio 3. Più in generale, la soluzione di un’equazione lineare con WN in input, del tipo

Xn = a1Xn−1 + a2Xn−2 + ... + σWn

è un processo gaussiano (dato iniziale deterministico).

Processi fortemente stazionari

Sono quelli per cui la generica v.a.

Xt1+s, ..., Xtn+s ha distribuzione di probabilità indipendente da s.

Ad esempio,

PX_t+s ∈ A|Xs ∈ B

non dipende dal tempo di partenza s, ma solo dal lasso temporale t.

- Fortemente stazionario⇒ debolmente stazionario.

- Debolmente stazionario+ gaussiano ⇒ fortemente stazionario.

- Importanza dei processi fortemente stazionari: se anche ergodici, allora (ad es. a tempo discreto)

lim_n→∞ 1

n

∑

k=1 n

ϕXk = EϕX

per ogni funzione ϕ con un minimo di regolarità. Le medie su ogni singolo cammino tipico convergono alla media statistica. L’enunciato è un po’ vago ma questa è l’idea.

Autocorrelazione empirica di una serie storica

Il softwareRcalcola la funzioneacf, autocorrelazione empirica di una serie storica x1, ..., xn, usando la formula

1

n−k

∑

+

σn−kσn−k

+

dove

mn−k = 1 n − k

∑

i=1 n−k

xi, mn−k

+ = 1

n − k

∑

i=1 n−k

xi+k

σn−k = 1 n − k

∑

i=1 n−k

x_i², σn−k

+ = 1

n − k

∑

i=1 n−k

x_i+k² .

A parte i dettagli, si prendono le stringhe

x1, ..., xn−k e xk+1, ..., xn

e si calcola la loro correlazione. Si cattura ad esempio una periodicità approssimata: se un fenomeno ha cadenza annuale, x1, ..., xn−12 e x13, ..., xnsomigliano.

E’ un’approssimazione di corrXk, X0 se il processo è stazionario ergodico.

Fit di una serie storica

Carichiamo suRla traccia del filetraccia.txte visualizziamola con ts.plot(x.emp):

T im e

x.emp

0 2 0 0 4 0 0 6 0 0 8 0 0 1 0 0 0

-3-2-10123

- Vorremmo costruire un modello in grado di produrre sinteticamente tracce simili a questa. Ad esempio, potrebbe essere la traccia dell’intensità del vento in una ragione, che vogliamo mettere come input di un sistema complesso di calcolo degli sforzi a cui sono sottoposte delle strutture (metodo MC).

- E’ un po’ come il problema del fit di una densità a partire da un campione.

- Non vogliamo che il modello produca proprio questa particolare traccia (a meno di errori), ma tracce dello stesso tipo.

Facciamo un istogramma ed un Q-Q plot:

Histogram of x.emp[, 1]

x.emp[, 1]

Frequency

-3 -2 -1 0 1 2 3

010203040

-3 -2 -1 0 1 2 3

-3-2-10123

Normal Q-Q Plot

Theoretical Quantiles

Sample Quantiles

Il risultato è abbastanza gaussiano.

Modello banale

Essendomean(x.emp)=0.0468esd(x.emp)=1.1277, generiamo un campione di lunghezzaL<-length(x.emp). Il risultato è

T i m e

x.sint

0 2 0 0 4 0 0 6 0 0 8 0 0 1 0 0 0

-3-2-10123

A prima vista è simile. Per certi scopi può andar bene. Più in dettaglio, sovrapponiamo i primi 100 valori (in rosso la traccia sintetica):

0 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0

-6-4-20246

c(1 , 1 0 0 )

c(-6, 6)

black=true, red=syntetic

Vediamo che la traccia rossa è un white noise, fluttua rapidamente, quella nera è più strutturata. Troppi punti insieme schiacciavano la struttura.

Modello a tempo discreto

Vediamo l’autocorrelazione della serie storica:

0 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0

0.00.20.40.60.81.0

L a g

ACF

S e r ie s x .e m p

La correlazione di un white noise è nulla immediatamente, questa no. Proviamo un modello del tipo (sappiamo che è gaussiano)

Xn = a¹Xn−1 + a²Xn−2 + a³Xn−3 + a⁴Xn−4+ b + σWⁿ. Dobbiamo trovare i coefficienti. Usiamo la regressione multipla

REG <- lm(Y~X1+X2+X3+X4) Giudichiamola col comando

summary(REG)

Dopo un po’ di tentativi si vede che lo stesso risultato si ottiene col modello Xn = a1Xn−1 + σWn

con

a = 0.513, σ = 0.969.

Ecco come appaiono la traccia (nera) ed una sintentica (rossa):

0 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0

-6-4-20246

c (1 , 1 0 0 )

c(-6, 6)

Il risultato è decisamente migliore.

Previsione col modello precedente

Il modello appena visto può essere usato anche per effettuare previsioni: noti i valori fino ad un certo tempo n − 1, si calcola la previsione al tempo n tramite il modello, senza noise.

Eseguiamo una finzione.

- Supponiamo di possedere la serie storica solo per i primi 500 valori.

- Con essi eseguiamo di nuovo un fit del modello, trovando ora:

a = 0.501, σ = 0.965.

- Usiamo questo modello per prevedere il valore al tempo 501.

- Immaginiamo poi che passi il tempo, diventi noto il valore al tempo 501, ed usandolo prevediamo il valore al tempo 502; e così via.

- tracciamo i due grafici:

T i m e

x.emp[501:L]

0 1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0 5 0 0

-3-2-10123

L’effetto a grande scala è abbastanza buono, ma più in dettaglio si vede che il modello è povero:

T i m e

x.emp[501:600]

0 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0

-2-10123

L’indicazione di questa povertà è nel basso coefficiente R² (il quadrato della correlazione tra input ed output).

Fit tramite un’equazione differenziale

Si può anche tentare un fit tramite un’equazione differenziale lineare del tipo dXt

dt = −λX^t + σ dWdt^t

che produce processi gaussiani. Ci aspettiamo però che il risultato sia abbastanza simile al precedente, se si pensa alla discretizzazione di Eulero:

Xtn+1 = Xtn − h ⋅ λXtn + σBtn+1− Btn cioè

Xtn+1 = 1 − h ⋅ λX^tn + σW^tn+1

avendo posto Wtn+1 = Btn+1 − Btn.

Fit nel caso non gaussiano

Assai più difficile è trovare un modello quando i dati non hanno una statistica gaussiana.

Dagli esempi precedenti sono emersi due elementi chiave di una serie storica: le sue proprietà statistiche, la sua struttura di autocorrelazione.

Se decidiamo di soprassedere su un fit preciso delle proprietà statistiche, si possono usare i metodi lineari precedenti anche nel caso non gaussiano, cercando di catturare al meglio la struttura di autocorrelazione.

Se abbiamo una serie storica stazionaria, con autocorrelazione relativamente semplice a memoria breve (come quella precedente, che va a zero dopo pochi valori), ed invece

vogliamo catturare bene le proprietà statistiche non gaussiane, possiamo usare la teoria

delle equazioni di Fokker-Planck. Per un cenno si vedano le dispense “Appunti teorici sulle equazioni differenziali stocastiche ed equazione di Fokker-Planck”.