ARITMETICA 26
PROPORZIONI
Si definisce proporzione l’uguaglianza tra due rapporti (a : b = c : d), con b0 e d0.
a, b, c, d si dicono termini della proporzione.
20 : 5 =28 : 7
Una proporzione si dice continua se i due medi o i due estremi sono uguali.
Nel primo caso il termine medio si dice medio proporzionale tra gli estremi e l’ultimo termine si dice terzo proporzionale dopo i primi due.
18 : 6 = 6 : 2 15 : 5 = 45 : 15
16 : 8 = 8 : 4
Proprietà
Proprietà fondamentale: in ogni proporzione il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi.
18 : 6 = 6 : 2
Proprietà dell’invertire: se in una qualsiasi proporzione si scambia ogni antecedente con il suo conseguente si ottiene una nuova proporzione.
21 : 7 = 15 : 5 7 : 21 = 5 : 15
Proprietà del permutare: se in una qualsiasi proporzione si scambiano fra loro i due medi o i due estremi o entrambi si ottiene una nuova proporzione.
8:16=2:4 permuta medi
8:2=16:4 4:2=16:8 permutaestremi 4:16=2:8 permuta entrambi
Proprietà del comporre: in ogni proporzione la somma del primo e del secondo termine sta al primo o al secondo termine come la somma del terzo e del quarto sta al terzo o al quarto termine.
9:3=18:6
(9+3) : 9 = (18+6) : 18 (9+3) : 3 = (18+6) : 6
Proprietà dello scomporre: in ogni proporzione, quando ogni antecedente è maggiore del proprio conseguente, la differenza tra il primo e il secondo termine sta al primo o al secondo termine come la differenza tra il terzo e il quarto sta al terzo o al quarto termine.
9:3=18:6
(9−3) : 9 = (18−6) : 18 (9−3) : 3 = (18−6) : 6
Antecedenti Conseguenti Estremi
Medi
Medio proporzionale
Terzo proporzionale
36
36
ARITMETICA 27
Proprietà della somma degli antecedenti e dei conseguenti: in una proporzione la somma degli antecedenti sta alla somma dei conseguenti come ogni antecedente sta al proprio conseguente.
14:7=8:4
(14+8) : (7+4) = 14 : 7 (14+8) : (7+4) = 8 : 4
Proprietà della differenza degli antecedenti e dei conseguenti: in una proporzione, se il primo antecedente è maggiore del secondo, allora la differenza degli antecedenti sta alla differenza dei conseguenti come un antecedente sta al proprio conseguente.
14:7=8:4
(14−8) : (7−4) = 14 : 7 (14−8) : (7−4) = 8 : 4
Calcolo dell’incognita delle proporzioni
In una proporzione, utilizzando le sue proprietà, si può calcolare un termine incognito.
Se il termine incognito è un estremo, si moltiplicano tra loro i medi e si divide il risultato per l’altro estremo.
Se il termine incognito è un medio, si moltiplicano tra loro gli estremi e si divide il risultato per l’altro medio.
12 : 6 = 10 :
x
𝑥 = 6 ∙ 10
12 = 5
35 : 7 =
x
: 8 𝑥 = 35 ∙ 87 = 40
Per calcolare il medio proporzionale di una proporzione continua si moltiplicano tra di loro i due termini noti e si estrae la radice quadrata del prodotto.
16 :
x
=x
: 4𝑥 = 16 ∙ 4 = 64 = 8
