INGEGNERIA PER L’AMBIENTE E IL TERRITORIO A.A.2010/2011
Geometria
DIARIO DELLE LEZIONI
Prof. Dario Salvitti
20 ottobre 2010 Informazioni sul corso
21 ottobre 2010
Richiami di algebra. Fattorizzazione di polinomi. Teorema di Ruffini. Equazioni con valore assoluto e loro interpretazione geometrica.
25 ottobre 2010
I vettori ordinari. Definizioni e propriet`a. Somma di vettori.
Prodotto di uno scalare per un vettore. Combinazioni lineari di vettori. Dipendenza e indipendenza lineare. Due o pi`u vettori sono linearmente dipendenti se e solo se almeno uno di essi si pu`o esprimere come combinazione lineare degli altri.
Bibliografia: [3]: §§1.1; 1.3; 1.4; 1.5; 1.6
27 ottobre 2010
Parallelismo, complanarit`a di vettori ordinari. Due vettori non nulli sono paralleli se e solo se sono l’uno multiplo dell’altro. Tre vettori sono complanari se e solo se sono linearmente dipendenti.
Propriet`a del prodotto per uno scalare. Spazi vettoriali. Esempi:
R, Rn, Rn[x], R[x].
Bibliografia: [3]: §§1.5; 1.6; 2.1. [2] §2.1
28 ottobre 2010
Sottospazi vettoriali e loro caratterizzazione. Dipendenza e in- dipendenza lineare di vettori. L’insieme delle combinazioni lin- eari di n vettori di uno spazio vettoriale V `e un sottospazio vettoriale diV . Spazi finitamente generati.
Bibliografia: [3]: §§2.2; 2.3; [2] §2.1
3 novembre 2010
Basi di uno spazio vettoriale finitamente generato. Condizione necessaria e sufficiente affinch`e un insieme di vettori costituisca una base `e che ogni vettore si esprima in modo unico come loro combinazione lineare. Coordinate rispetto ad una base. Esercizi.
Bibliografia: [3]: §2.4
4 novembre 2010
Dimensione di uno spazio vettoriale. Sottospazi somma e intersezione. Relazione di Grassmann. Esercizi.
Bibliografia: [3]: §§2.5; 2.6
8 novembre 2010
Somma diretta di sottospazi vettoriali. Matrici: definizioni. Lo spazio vettorialeM(m, n).
Bibliografia: [3]: §§2.6; 3.1; 3.2
15 novembre 2010
Prodotto di matrici e sue propriet`a. Rango di una matrice. Con- dizione per l’indipendenza lineare di vettori. Operazioni ele- mentari sulle righe. Matrici a scalini. Metodo di riduzione di Gauss.
Bibliografia: [3]: §§3.3; 3.4
18 novembre 2010
Permutazioni di un insieme din oggetti. Il determinante di una matrice quadrata: detA =
π∈Sn
(−1)δπa1π(1)a2π(2)...anπ(n). Regola di Sarrus. Propriet`a del determinante. Teorema di Binet.
Bibliografia: [3]: §§3.6; 3.7; 3.8
22 novembre 2010
Minori di una matrice. Caratterizzazione del rango di una matrice tramite i suoi minori. Complemento algebrico di un elemento.
Primo teorema di Laplace. Matrice aggiunta, matrice inversa.
Cambiamento di base in uno spazio vettoriale.
Bibliografia: [3]: §§3.9; 3.10; 3.11; 3.12; 3.13
24 novembre 2010
Esercizi sui cambiamenti di base. Teorema degli orlati e calcolo del rango di matrici con parametro.
Bibliografia:[2]: §1.6; [3]: §3.13;
25 novembre 2010
Sistemi lineari dim equazioni in n incognite. Teorema di Rouch´e- Capelli. Sistemi normali: casi m = n o m < n. Teorema di Cramer. Sistemi non normali. Discussione di un sistema lineare con un parametro.
Bibliografia: [3]: §§4.1; 4.2; 4.3; 4.4
29 novembre 2010
Sistemi lineari omogenei. Sottospazio vettoriale delle soluzioni.
Metodo di eliminazione di Gauss. Dimostrazione del teorema di Rouch´e-Capelli.
Bibliografia: [3]: §§4.5; 4.6
1 dicembre 2010
Prodotto scalare, prodotto vettoriale, prodotto misto.
Bibliografia: [3]: §§6.2; 6.5
2 dicembre 2010
Scomposizione di un vettore nella somma di un vettore paralle- lo e di un vettore ortogonale ad un vettore assegnato. Metodo di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt. Geometria del piano.
Coordinate di un vettore in funzione delle coordinate degli estre- mi di un suo rappresentante. Equazione vettoriale ed equazione parametrica di una retta. Condizione di allineamento di tre punti.
Equazione cartesiana di una retta.
Bibliografia: [3]: §§7.5; 8.2; 8.3; 8.4; 8.5; 8.6
6 dicembre 2010
Equazione sotto forma di rapporti uguali. Condizioni di incidenza e parallelismo tra rette. Distanza punto-retta.
Bibliografia: [3]: §§8.7; 8.8; 8.9
9 dicembre 2010
Fasci di rette (propri, impropri) nel piano. Appartenenza di tre rette ad un fascio. Geometria dello spazio. Riferimento cartesiano affine. Equazioni vettoriali ed equazioni parametriche di un piano.
Complanarit`a di quattro punti.
Bibliografia: [3]: §§8.10; 8.12; 9.1; 9.2; 9.3; 9.4; 9.5
13 dicembre 2010
Equazione cartesiana del piano e sue forme particolari. Stelle di piani. Fasci propri e fasci impropri di piani. Equazioni vettoriali ed equazioni parametriche della retta nello spazio. Condizione di allineamento di tre punti. Equazione in forma di rapporti uguali.
Bibliografia: [3]: §§9.6; 9.7; 9.9; 9.11; 9.12
15 dicembre 2010
Condizione di parallelismo di due piani. Condizione di apparte- nenza di due piani ad uno stesso fascio. Equazione cartesiana di una retta. Parametri direttori di una retta in forma cartesiana.
Equazioni ridotte di una retta.
Bibliografia: [3]: §§9.8; 9.10; 9.13; 9.14
16 dicembre 2010
Parametri direttori ridotti. Condizione di parallelismo di due rette. Condizione di parallelismo tra retta e piano. Complanarit`a di due rette. Rette sghembe.
Bibliografia: [3]: §§9.14; 9.15; 9.16; 9.18
22 dicembre 2010
Nozioni metriche nello spazio. Distanza tra due punti. Coseni di- rettori di una retta orientata. Angolo tra due rette. Ortogonalit`a tra un piano e una retta. Distanza di un punto da un piano. Dis- tanza di un punto da una retta. Distanza tra due rette. Retta di minima distanza.
Bibliografia: [3]: §§11.2; 11.3; 11.4; 11.5; 11.6; 11.7; 11.8; 11.9;
11.12; 11.13
10 gennaio 2011 Esercizi di riepilogo
12 gennaio 2011 Esercizi di riepilogo
13 gennaio 2011 Prova d’esame simulata
Riferimenti bibliografici
[1] Maroscia, Introduzione alla geometria e all’algebra lineare, Zanichelli
[2] Maroscia, Geometria e algebra lineare, Zanichelli [3] Vaccaro, Carfagna, Piccolella, Lezioni di geometria e
algebra lineare, Zanichelli
[4] Carfagna, Piccolella, Complementi ed esercizi di geometria e algebra lineare, Zanichelli
