0.0. 7.4 1
Il criterio del cerchio
• Il criterio del cerchio fornisce condizioni sufficienti per la stabilit` a asintotica globale dei sistemi in retroazione non lineari autonomi del seguente tipo:
y(x)
x
−G(s)
x y
• A tale schema ci si riconduce quando il segnale di riferimento r si possa considerare costante.
• Ipotesi per poter applicare il criterio del cerchio: la caratteristica dell’elemento non lineare deve essere ad un sol valore e contenuta in un settore delimitato da due rette passanti per l’origine e aventi rispettivamente pendenze α e β, che si suppongono entrambe positive.
• Noti i parametri α e β, si pu` o costruire il “cerchio critico” (vedi figura).
• Criterio del cerchio. Nell’ipotesi che la funzione di trasferimen-
to della parte lineare del sistema G(s) abbia tutti i poli a parte rea-
le negativa, eccezion fatta per un eventuale polo nell’origine semplice o
doppio, condizione sufficiente perch´ e il sistema in retroazione sia global-
mente asintoticamente stabile ` e che il diagramma polare completo della
funzione G(jω) non circondi n´e tocchi il cerchio critico.
7.4. IL CRITERIO DEL CERCHIO 7.4 2
• Il criterio del cerchio, almeno nella sua enunciazione semplificata sopra ripor- tata, risulta di applicazione molto semplice e si presenta come un’estensione del criterio di Nyquist.
• ` E frequente il caso in cui, tendendo la caratteristica dell’elemento non lineare ad un asintoto orizzontale, come ad esempio in presenza di saturazione netta, occorre assumere α = 0:
Ampiezza
In questo caso il cerchio degenera nel semipiano a sinistra della retta verticale
per il punto −1/β .
7.4. IL CRITERIO DEL CERCHIO. ESEMPI 7.4 1
Esempio. Si consideri il seguente sistema non lineare retroazionato:
- -
G1(s) 8 (s + 2)3
- N.L. -
6
r e x y
- 6
4 8
−4
x 3
2
−2
−3 y
Utilizzando il criterio del cerchio, determinare se il punto di lavoro corrispondente all’in- gresso costante r = 0 `e asintoticamente stabile.
Soluzione. Il guadagno statico della funzione G1(s) `e K1 = 1. Essendo nullo l’ingresso, la retta di carico passa per l’origine ed ha pendenza -1
y = −x
Il punto di lavoro del sistema risulta quindi essere (1, −1):
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
-4 -2 0 2
4 r.c.
α β
x
y(x)
Funzione non lineare y(x)
-4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 -2.5
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
0.1 0.22 0.33 0.47 0.820.68 1.21 1.5 1.8
2.7 4.7
Diagramma di Nyquist
Imag
Real
Cerchio critico
Facendo riferimento a questo punto di lavoro, le pendenze α e β che caratterizzano il criterio del cerchio valgono
α = 1
4, β = 1
Il sistema G1(s) ha un diagramma di Nyquist regolare che interseca il semiasse negativo in σ0 = − 1
K∗ = −1
8, ω0 = √
12 = 2 tanπ 3 Infatti, applicando il criterio di Routh
1 + K 8
(s + 2)3 = 0 ↔ s3 + 6s2 + 12s + 8 + 8K = 0
7.4. IL CRITERIO DEL CERCHIO. ESEMPI 7.4 2
si ottiene:
3 1 12 → ω∗ = √
12
2 6 8 + 8K
1 64 − 8K → K < 8 = K∗
0 8 + 8K → K > −1
Essendo K∗ > β, non vi `e intersezione tra il cerchio critico e il diagramma di Nyquist per cui si pu`o affermare che il punto di lavoro (1, −1) `e globalmente asintoticamente stabile.
Esempio. Si consideri il seguente sistema non lineare retroazionato:
- - e−2s 2
- N.L. -
6
r = 0 e x y
- 6
2 x
3 2
−3 y
Utilizzando il criterio del cerchio, determinare se il sistema retroazionato `e stabile o meno.
Soluzione. Il sistema retroazionato `e stabile. Infatti il diagramma polare del ritardo puro interseca il semiasse negativo in −0.5, mentre il cerchio limite, in questo caso, degenera in un semipiano delimitato da una retta verticale passante per −1.
La posizione relativa della funzione di risposta armonica del ritardo puro e del cerchio critico
`e la seguente:
−3 −2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1
−1.5
−1
−0.5 0 0.5 1 1.5
G(jω) = e−2jω 2
