Controlli Automatici - Prima parte 30 Aprile 2019 - Esercizi
Nome:
Nr. Mat.
Firma:
C.L.: Info. k Elet. k Telec. k Altro.
Si risolvano i seguenti esercizi.
a.1) Calcolare la trasformata di Laplace X(s) dei seguenti segnali temporali x(t):
x1(t) = [t3 + 5 sin(3t)] e−4 t, x2(t) = 5 t4+ 3 δ(t − 2)
Soluzione:
X1(s) = 6
(s + 4)4 + 15
(s + 4)2+ 9, X2(s) = 120
s5 + 3 e−2 s.
a.2) Calcolare la risposta impulsiva g(t) delle seguenti funzioni di trasferimento G(s):
G1(s) = 5 + 4
s(1 + s)(1 + 2s), G2(s) = (s + 2) e−3s (s + 2)2+ 25
Soluzione:
g1(t) = 5 δ(t) + 4 + 4 e−t− 8 e−0.5 t, g2(t) =
0 t < 3
e−2(t−3)cos(5(t − 3)) t ≥ 3 Infatti, per la seconda parte ¯G1(s) della funzione G1(s) si ha:
L-1G¯1(s) = L-1
2
s(s+1)(s+0.5)
= L-1 4 s+ 4
(s + 1)− 8 (s + 0.5)
= 4 + 4 e−t− 8 e−0.5 t.
b) Relativamente allo schema a blocchi riportato in figura, calcolare le funzioni di trasferimento G1(s) e G2(s):
G1(s) = XY(s)
1(s) = 1+AB2D+ABABE2E+CD+CE
G2(s) = XY2(s)(s) = 1+AB−E(1+AB2D+AB22E+CD+CED+CD)
X1(s) -
A
?
?
-- B-
B
C
?
?
- -
D
6
- -6
-
E
6
- 6
Y (s)
X2(s)
c) I diagrammi riportati sotto sono relativi a due sistemi a fase minima G1(s) e G2(s).
Per ciascuno dei due sistemi e nei limiti della precisione consentita dai grafici, calcolare:
c.1) il margine di ampiezza Ma del sistema;
c.2) il margine di fase Mϕ del sistema;
c.3) il guadagno Kϕ per cui il sistema KϕG(s) ha un margine di fase Mϕ = 45◦; c.4) il guadagno Kα per cui il sistema KαG(s) ha un margine di ampiezza Mα = 10;
I parametri richiesti hanno il seguente valore:
-250 -240 -230 -220 -210 -200 -190 -180 -170 -160 -150 -140 -130 -120 -110 Phase [degrees]
-30 -20 -10 0 10 20
Mag [db]
0.82 1 1.2
1.5 1.8 2.2 2.7
3.3 3.9
4.7
Diagramma di Nichols G1(jω)
Mα
Mϕ
Kϕ
Kα
c.1) Ma = 4.08 db = 1.6 c.2) Mϕ = 17.37◦
c.3) Kϕ = −4.95 db db = 0.567 c.3) Kα = −15.92 db db = 0.160
-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
Real -1.5
-1 -0.5 0 0.5 1
Imag
0.5 0.7
0.8 0.85 0.9 0.94 0.96 0.98
1 1.02 1.04
1.06 1.1
1.15 1.2 1.3
1.5
G0 1/Mα
Mϕ
Kϕ
Kα
Diagramma di Nyquist G2(jω)
c.1) Ma= 0.6875 c.2) Mϕ = −21.52◦
c.3) Kϕ = 0.546 ≃ |G(j 0.96)|1 ≃ √−1.312+1.32 c.4) Kα = 0.0687 =
1 Ma
|G(j 1.06)| ≃ 1.450.1 d) Sia dato il seguente sistema retroazionato:
- e(t)-
K -
G(s)
100(s + 0.2)(s − 3) s2(s2+ s + 400)
- 6
r(t) y(t)
d.1) Determinare per quali valori di K il sistema retroazionato `e asintoticamente stabile.
Soluzione.
L’equazione caratteristica del sistema retroazionato `e:
1 + 100K(s + 0.2)(s − 3)
s2(s2+ s + 400) = 0 → s4+ s3+ (400 + 100K)s2− 280K s − 60K = 0.
La tabella di Routh ha la seguente struttura:
4 1 400 + 100K −60K
3 1 −280K
2 400 + 380K −60K
1 −280K(400 + 380K) + 60K
0 −60K
Dalla tabella di Routh si ricavano i seguenti vincoli:
400 + 380K > 0, −K(280(400 + 380K) + 0.6) > 0, −60K > 0.
dai quali si ricava:
K > −400
380 = −1.3132, K >
400 − 60 280
1
380 = −1.0521, K < 0.
Quindi il sistema retroazionato `e asintoticamente stabile per:
K∗ = −20
19 = −1.0521 < K < 0.
La pulsazione ω∗ corrispondente al valore limite K∗ `e:
ω∗ =√
−280K∗ = 17.1633.
d.2) Tracciare i diagrammi asintotici di Bode delle ampiezze e delle fasi della funzione G(s).
Soluzione.
I diagrammi “asintotici” di Bode della funzione Gd(s) sono mostrati in Fig. 1. I diagrammi
Diagramma asintotico dei moduli
0.2
-2 o.
3 -1
O.
20 0
2x.
-2 -60.
-40.
-20.
0.
20.
40.
Diagramma a gradoni delle fasi
0.2 o.
3 O.
20 2x.
-180.
-90.
0.
90.
G0(s)
G∞(s) β
γ
ϕ∞
ϕ0
Figura 1: Diagrammi asintotici di Bode della funzione Gd(s).
di Bode delle ampiezze e delle fasi della funzione G(s) sono mostrati in Fig. 2. Le funzioni approssimanti G0(s) e G∞(s) per ω → 0 ed ω → ∞ sono le seguenti:
G0(s) = −0.15
s2 , G∞(s) = 100
s2 . Le corrispondenti fasi ϕ0 e ϕ∞ hanno il seguente valore:
ϕ0 = −2π ≡ 0, ϕ∞ = −π ≡ π.
Sul diagramma asintotico delle ampiezze, il guadagno β in corrispondenza della pulsazione ωn= 0.2 e il guadagno γ in corrispondenza della pulsazione ω = 20 sono:
β = |G0(s)|s=0.2 = 0.15
0.22 = 3.75 = 11.48 db, γ = |G∞(s)|s=20= 100
202 = 0.25 = −12.04 db.
Il coefficiente di smorzamento della coppia di poli stabili `e δ = 1/(2ωn) = 0.025.
d.3) Disegnare qualitativamente il diagramma di Nyquist “completo” della funzione G(s). Cal- colare esattamente la posizione σa di un eventuale asintoto verticale, le eventuali intersezioni σ∗i con l’asse reale e i corrispondenti valori delle pulsazioni ω∗i.
Soluzione. Il diagramma di Nyquist della funzione G(s) `e mostrato in Fig. 3. La fase iniziale del sistema `e ϕ0 = 0. Per ω → 0+ il diagramma parte in anticipo rispetto a tale fase in quanto la somma delle costanti di tempo del sistema `e positiva:
∆τ = 5 − 1 3− 1
400 = 4.6642 > 0.
10-2 10-1 100 101 102 -60
-40 -20 0 20 40 60
Mag (db)
Diagramma dei moduli
10-2 10-1 100 101 102
Frequency [rad/s]
-180 -135 -90 -45 0 45 90 135 180
Phase (deg)
Diagramma delle fasi G0(s)
G∞(s) β
γ
ϕ∞
ϕ0
Figura 2: Diagrammi di Bode della funzione G(s).
-10 -5 0 5 10 15 20
Real -10
-5 0 5 10
Imag
Diagramma di Nyquist
0.1 0.12
0.15 0.220.18
0.330.27 0.47
1 2227 18
Figura 3: Diagramma di Nyquist della funzione G(s) per ω ∈ [0, ∞]: andamento generale e zoom.
Il sistema ´e di tipo 2 per cui non esiste nessun asintoto. La variazione di fase che il sistema subisce per ω ∈]0, ∞[ `e:
∆ϕ = π 2 − π
2 − π = −π
Ne segue che il vettore G(jω) ruota di −π in senso orario per raggiungere la fase finale ϕ∞ = −π.
Esiste una sola intersezione con il semiasse reale negativo. L’intersezione avviene nel punto:
σ∗ = − 1
K∗ = − 1
−1.0521 = 0.9505 in corrispondente della pulsazione ω∗ = 17.1633.
d.4) Calcolare, in funzione di K, l’errore a regime e∞(t) in presenza del segnale di ingresso r(t) = 3 t2.
Soluzione: Il sistema G(s) `e tipo 2 per cui al segnale di ingresso r(t) = 3 t corrisponde il seguente errore a regime e(t):
ea= R0
Ka
= 6
−0.15K = −40 K. e) Sia dato il seguente sistema retroazionato:
- e(t)-
K -
Ge(s) 10(s − 1)2
s(s + 5)2
- 6
r(t) y(t)
e.1) Determinare per quali valori di K il sistema retroazionato `e asintoticamente stabile.
Soluzione.
L’equazione caratteristica del sistema retroazionato `e:
1 + 10K(s − 1)2
s(s + 5)2 = 0 → s3+ (10 + 10K)s2+ (25 − 20K)s + 10K = 0.
La tabella di Routh ha la seguente struttura:
3 1 25 − 20K
2 10 + 10K 10K
1 (10 + 10K)(25 − 20K) − 10K
0 10K
Il sistema retroazionato `e stabile quando tutti i coefficienti della prima colonna della tabella di Routh hanno lo stesso segno:
10 + 10K > 0, (10 + 10K)(25 − 20K) − 10K > 0, 10K > 0 da cui si ricava
K > −1, −20K2+ 4K + 25 > 0, K > 0 Il sistema risulta essere stabile per
0 < K < K∗ = 2 +√
4 + 500
20 = 1.2225
La pulsazione ω∗ corrispondente al valore limite K∗ `e : ω∗1 =√
25 − 20K∗ =√
25 − 20 · 1.2225 =√
0.55 ≃ 0.7416
e.2) Tracciare i diagrammi asintotici di Bode delle ampiezze e delle fasi della funzione Ge(s).
Diagramma asintotico dei moduli
1 -1
2O.
5 1
2x.
-1
-40.
-20.
0.
20.
Diagramma a gradoni delle fasi
1 2O.
5 2x.
-540.
-450.
-360.
-270.
-180.
-90.
G∞(s) β
γ
ϕ∞
ϕ0
Figura 4: Diagrammi asintotici di Bode della funzione Gd(s).
10-1 100 101 102
-20 0 20
Mag (db)
Diagramma dei moduli
10-1 100 101 102
Frequency [rad/s]
-450 -360 -270 -180 -90
Phase (deg)
Diagramma delle fasi β
G0(s) γ
G∞(s)
Figura 5: Diagrammi di Bode della funzione Ge(s).
Soluzione.
I diagrammi “asintotici” di Bode della funzione Gd(s) sono mostrati in Fig. 4.
I diagrammi di Bode delle ampiezze e delle fasi della funzione Ge(s) sono mostrati in Fig. 5.
Le funzioni approssimanti G0(s) e G∞(s) per ω → 0 ed ω → ∞ sono le seguenti:
G0(s) = 0.4
s , G∞(s) = 10
s Le corrispondenti fasi ϕ0 e ϕ∞ hanno il seguente valore:
ϕ0 = −π
2, ϕ∞ = −π
2 ≡ −5π 2 .
Sul diagramma asintotico delle ampiezze il guadagno statico β e il guadagno γ alla pulsazione ω = 10 sono:
β = |G0(s)|s=1 = 0.4 = −8 db, γ = |G∞(s)|s=5 = 2 = 6 db.
e.3) Disegnare qualitativamente il diagramma di Nyquist “completo” della funzione Ge(s). Cal- colare esattamente la posizione σa di un eventuale asintoto verticale, le eventuali intersezioni σ∗i con l’asse reale e i corrispondenti valori delle pulsazioni ω∗i.
Soluzione. Il diagramma di Nyquist della funzione Ge(s) `e mostrato in Fig. 6. La fase iniziale
-3 -2 -1 0 1 2 3
Real -1.5
-1 -0.5 0 0.5 1
Imag
Diagramma di Nyquist
0.22 0.27 0.33 0.39 0.47 0.56 0.68 0.82
1 1.2
1.5 1.8
2.2 2.7 3.3
3.9 4.7
5.6 6.8 8.2 10 1512 22 33 68 σa
Figura 6: Diagramma di Nyquist della funzione Ge(s) per ω ∈ [0, ∞].
del sistema `e ϕ0 = −π2. Per ω → 0+ il diagramma parte in ritardo rispetto alla fase iniziale:
∆τ = −2 −2
5 = −2.4 < 0.
Il sistema ´e di tipo 1. L’ascissa σa dell’asintoto ´e:
σa = ∆τK = −2.4 · 0.4 = −0.96 La variazione di fase
∆ϕ = −2π
indica che il vettore G(jω) ruota di −2π in senso orario per raggiungere la fase finale ϕ∞= −5π2 . Esiste una sola intersezione σ∗ con l’asse reale negativo:
σ∗ = − 1
K∗ = − 1
1.2225 = −0.8180 in corrispondenza della pulsazione ω∗ = 0.7416.
d.4) Calcolare, in funzione di K, l’errore a regime e∞(t) in presenza del segnale di ingresso costante r(t) = 5 t.
Soluzione: Il sistema G(s) `e tipo 1 per cui al segnale di ingresso r(t) = 5 t corrisponde il seguente errore a regime e(t):
ev = R0
Kv
= 5
0.4 K = 12.5 K .
f) Si faccia riferimento ai diagrammi di Bode della funzione G(s) mostrati in figura. Nei limiti della precisione consentita dal grafico:
f.1) Calcolare la funzione approssimante G0(s) del sistema G(s) quando s → 0 :
G0(s) = −0.16.
f.2) Calcolare la funzione approssiman- te G∞(s) del sistema G(s) quando s → ∞:
G∞(s) = −40 s .
f.3) Ricavare l’espressione analitica della funzione G(s).
G(s) = −40(s − 0.03)2(s + 40) (s2+ 0.6s + 0.62)(s2− s + 52). Stimare in modo approssimato eventuali valori di δ.
10-3 10-2 10-1 100 101 102 103
-30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
Mag (db)
Diagramma dei moduli
10-3 10-2 10-1 100 101 102 103
Frequency [rad/s]
-180 -135 -90 -45 0 45 90 135 180
Phase (deg)
Diagramma delle fasi
f.1) La funzione di trasferimento del sistema `e la seguente:
G(s) ≃ −40(s − 0.03)2(s + 40) (s2 + 0.6s + 0.62)(s2− s + 52).
Il valore K = −40 si determina, per esempio, calcolando il modulo γ dell’approssimante:
G∞(s) = K s in corrispondenza della pulsazione ω = 40:
|G∞(s)|s=40 j =
K s
s=40 j
= |K|
40 = γ ≃ 0 db ≃ 1 → |K| ≃ 40.
e poi notando che la fase finale ϕ∞ della funzione G∞(s) non ´e ϕ∞= −π2, ma ´e ϕ∞ = π2. Il coefficiente di smorzamento δ1 della coppia di zeri complessi coniugati instabili `e δ1 = 1 perch´e in ω = 0.03 la distanza tra diagramma asintotico e diagramma reale ´e di 6 db.
Il coefficiente di smorzamento δ2 della coppia di poli complessi coniugati stabili `e:
δ2 = 1 2Mωn
= 1
2 = 0.5.
perch´e in ω = 0.6 la distanza tra diagramma asintotico e diagramma reale ´e Mωn ≃ 0 db = 1.
Il coefficiente di smorzamento δ3 della coppia di poli complessi coniugati in stabili `e:
δ3 = 1 2Mωn
= 1
10 = 0.1.
perch´e in ω = 5 la distanza tra diagramma asintotico e diagramma reale ´e Mωn ≃ 14 db = 5.
Controlli Automatici - Prima parte 30 Aprile 2019 - Domande
Nome:
Nr. Mat.
Firma:
C.L.: Info. k Elet. k Telec. k Altro.
Si risponda alle seguenti domande.
1. Scrivere, in funzione dei segnali y(t), x1(t) e x2(t), l’equazione differenziale corrispondente alla seguente relazione tra le corrispondenti trasformate di laplace Y (s), X1(s) e X2(s):
Y (s) = (3 s + 1)X1(s)
s2+ 5 s + 2 + 4 X2(s)
s2+ 5 s + 2 → y(t)+5 ˙y(t)+2 y(t) = 3 ˙x¨ 1(t)+x1(t)+4 x2(t) 2. Calcolare il valore dei due parametri a e b della funzione di trasferimento G(s) = (s+b)a che lega,
a regime, il segnale sinusoidale in ingresso x(t) con il segnale segnale sinusoidale y(t):
x(t) = 2 sin(3t)
-
G(s) a
s + b -
y(t) ≃ 6 sin(3t − arctan34)
G(s) = 15 s + 4
I parametri a e b si determinano risolvendo il seguente sistema di due equazioni:
|G(j3)| = a
√32+ b2 = 6
2 = 3, arg[G(j3)] = − arctan3
b = − arctan3 4. Dalla seconda relazione si ricava b = 4 e sostituendo nella prima di ricava a = 15.
3. Utilizzando i teoremi del valore iniziale e del va- lore finale, disegnare l’andamento qualitativo y1(t) della risposta al gradino del seguente sistema:
G(s) = 3 − 8s 1 + 4s
Calcolare il valore iniziale y0, il valore finale y∞ e il tempo di assestamento Ta della risposta al gradino y1(t):
y0 = −2, y∞ ≃ 3 s, Ta ≃ 12 s. 0 5 10 15 20
Time [s]
-3 -2 -1 0 1 2 3
4 Risposta al gradino
y1(t)
y∞
y∞
4. Disegnare l’andamento qualitativo y1(t) della risposta al gradino unitario del seguente sistema:
G(s) = 50(3 + 0.2s)(s2+ 8s + 100)
(20s + 4)(2s + 5)2(s2+ 4s + 81)(s2+ 12s + 400) Calcolare inoltre:
a) il valore a regime y∞ della risposta al gradino per t → ∞;
b) il tempo di assestamento Tadella risposta al gradino y1(t);
c) il periodo Tω dell’eventuale oscillazione smorzata presente sul segnale y1(t):
y∞ = 0.0046 = 1
216, Ta≃ 0.23 = 15 s, Tω ≃6 ∃
0 5 10 15 20 25 30
Time [s]
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
0.9 Risposta al gradino
y(t)
y∞
Ta
5. Nella scomposizione in fratti semplici, quali sono i modi g1(t), g2(t) e g3(t) corrispondenti ad una coppia di poli complessi coniugati p1,2 = ±2j con grado di molteplicit`a ν = 3:
g1(t) = M1 cos(2t+ϕ1), g2(t) = M2t cos(2t+ϕ2), g3(t) = M3t2 cos(2t+ϕ3) 6. Calcolare il valore iniziale y0 = lim
t→0+y(t) e il valore finale y∞ = lim
t→∞y(t) del segnale y(t) corrispondente alla seguente trasformata di Laplace Y (s):
Y (s) = (3s − 5)(s + 1)
s(s2 + 4) → y0 = 3, y∞ =6 ∃
7. In figura sono mostrati i diagrammi di Bode di un sistema lineare G(s) a fase minima. Nei limiti della precisione del grafico, calcolare:
a) il margine di fase del sistema G(s):
Mϕ ≃ 25.45◦
b) il margine di ampiezza del sistema G(s):
Ma ≃ 16.47 db = 6.66
c) l’errore a regime del sistema retroaziona- to per ingresso a gradino unitario:
ep ≃ R0
1 + 10 = 1
11 ≃ 0.0909 d) la larghezza di banda ωf0 del sistema
retroazionato:
ωf0 ≃ 1.4
10-1 100 101
-30 -20 -10 0 10 20 30
Mag (db)
Diagramma dei moduli
10-1 100 101
Frequency [rad/s]
-210 -180 -150 -120 -90 -60 -30
Phase (deg)
Diagramma delle fasi
8. Enunciare il criterio di Nyquist nella formulazione valida anche per sistemi instabili ad anello aperto. Fornire sia l’ipotesi che la tesi del criterio.
Criterio di Nyquist. Nell’ipotesi che il sistema ad anello aperto non presenti poli immaginari, eccezion fatta per un eventuale polo nullo semplice o doppio, condizione necessaria e sufficiente affinch´e il sistema in retroazione sia asintoticamente stabile `e che il diagramma polare completo della funzioneF (jω) circondi il punto critico −1+j0 tante volte in senso antiorario quanti sono i poli di F (s) con parte reale positiva.
9. La formula di Bode per il calcolo della fase di un sistema a partire dal diagramma delle ampiezze `e una formula approssimata
N `e una formula esatta
`e valida per i sistemi lineari stabili N `e valida per i sistemi a fase minima
10. Calcolare l’evoluzione libera del sistema 5 ˙y(t) + 3 y(t) = 0 partendo dalla condizione iniziale y(0) = 2.
Applicando la trasformata di Laplace si ha:
5 (s Y (s) − 2) + 3 Y (s) = 0 → Y (s) = 2
s + 0.6 → y(t) = 2 e−0.6 t. 11. La pulsazione di risonanza ωR di un sistema del 2◦ ordine `e:
ωR= ωnδ√
1−δ2 N ωR= ωn
√1−2δ2 ωR= ωn
√1−δ2 ωR= ωnδ√ 1−2δ2
12. Scrivere il modulo M (ω) = |G(jω)| e la fase ϕ(ω) = arg G(jω) della funzione di risposta armonica del seguente sistema G(s) supponendo t0 > 0:
G(s) = (2 − 3 s)2
s(s − 3)(2s + 1)e−3 t0s → (M(ω) = ω√9+ω(4+9ω2√2) 1+4ω2
ϕ(ω) = −2 arctan3ω2 − π2 − arctan 2ω − (π − arctanω3) − 3 t0ω
