PARTE 3: VETTORI APPLICATI

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PARTE 3: VETTORI APPLICATI

3.1 Introduzione

Nello studio della meccanica vengono introdotte grandezze fisiche vettoriali (forze, velocità, etc.), le quali si riferiscono in generale a ben definiti elementi materiali. È quindi naturale rappresentare tali grandezze mediante vettori applicati, cioè vettori aventi l'origine nelle posizioni istantaneamente occupate dagli elementi materiali. La maggior parte delle operazioni introdotte nella prima parte di questo capitolo hanno significato soltanto per vettori liberi. Ciò è particolarmente evidente per l'operazione di somma geometrica, la quale, una volta scelto in maniera arbitraria un punto di partenza P1, per essere effettuata, richiede l'uso di ben determinati rappresentanti dei vettori addendi. Ciò è possibile soltanto quando si abbia a che fare con vettori liberi.

Nella descrizione dei fenomeni meccanici risulta utile considerare i vettori liberi individuati dai vettori applicati di cui trattasi ed applicare a questi le operazioni introdotte nei precedenti paragrafi. Sono definibili, tuttavia, operazioni che hanno senso soltanto per vettori applicati;

di queste vengono di seguito forniti alcuni brevi cenni.

3.2 Momento polare di un vettore applicato Il momento polare &

M_O del vettore applicato (P, &

V ) rispetto al polo O è il vettore libero definito dal prodotto vettore fra i vettori liberi che hanno come rappresentanti i vettori applicati (P, &

V ) ed OP

& &

M_O =OP V× (3.1)

&

M_O si annulla quando OP sia parallelo a &

V oppure quando P≡O. Sia r la retta sovrapposta a (P, &

V ), P' un punto di r distinto da P ed inoltre il punto O non appartenga ad r; risulta

&

M_O(P, &

V )= &

M_O(P', &

V ). Si ha infatti

( )

OP V× =& OP P P+ × =V& OP V× +& P P V× =& OP V×&

' ' ' ' ' (3.2)

ove si è tenuto conto che P'P è parallelo a &

V e quindi che P P V' × =&

0. Si può quindi concludere che il momento polare non muta ove si sposti un vettore lungo la sua retta di applicazione.

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2 3.3 Momento assiale di un vettore

Il MOMENTO ASSIALE del vettore applicato PQ rispetto alla retta orientata r di versore r è la quantità scalare definita dalla relazione

( )

^M^&O r = ±^{d P Q}' ' (3.3) dove P' e Q' sono le proiezioni di P e Q su un piano π ortogonale ad r (Fig. 3.1), d la distanza da r della retta r' sovrapposta ad ÀB'. Si conviene di prendere il segno + se la

retta personificata vede il vettore PQ avvolgersi in senso antiorario attorno ad r ed il segno - in caso contrario. Il momento assiale si annulla quando le rette r ed r' siano fra loro incidenti (d=0) o parallele

(

^{P Q}^{' '} = 0 , in definitiva, quando r ed r' siano COMPLANARI.

)

Si può quindi vericare che la componente del momento polare di un vettore applicato, calcolato rispetto ad un punto O di una retta r, coincide con il momento assiale del vettore rispetto ad r.

3.4 Momento polare ed assiale di un sistema di vettori

Il momento risultante di un sistema di vettori applicati

( )

^{P V}^l^,^&^l rispetto al polo O è il vettore libero somma geometrica dei momenti polari dei singoli vettori

& &

M_O OP V_l _l

l N

= ×

∑

= 1

(3.4)

Nel caso particolare in cui tutti i vettori siano applicati in un medesimo punto T la (3.6) diviene

& & &

M_O OP_l V_l OP R

l N

= × l





 = ×

∑

= 1

(3.5)

nella quale R è il rappresentante applicato in T della somma geometrica dei vettori. Il momento assiale rispetto ad una retta r del sistema di vettori è definito come la somma

Q′ Q

π

P

Fig. 3.1 r

P′

r′ d

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3 algebrica dei momenti assiali dei singoli vettori

M_r d P Q_l _l _l

l N

= ±

∑

=₁ ^(3.6)

La componente secondo r del momento polare risultante calcolata rispetto ad un polo ∈r è uguale alla somma delle componenti dei singoli momenti polari, pertanto dalla (3.6) segue che essa è uguale al momento assiale complessivo.

3.5 Legge di variazione del momento polare al variare del polo

Siano O e O′ due punti generici dello spazio e

( )

^{P V}^l^,^&^l (l=1,2...N) un sistema di vettori applicati; risulta

( )

& & & & &

M_O OP V_l _l OO O P V OO V O P V

l N

l l

l N

l l l

l N l

= × = + × = × N + ×

= = = =

∑ ∑ ∑ ∑

1 1 1 1

' ' ' ' (3.7)

ossia

& & &

M_O = M_O' +OO R'× (3.8)

ESEMPIO 4. Con riferimento ad una terna cartesiana Oxyz siano dati i vettori: &

V₁ = +i 3k ;

&

V₂ = ; 2j &

V₃ = + +3i rispettivamente applicati nei punti: j k ^P1 ≡ , ,

(

0 1 2 ;

)

^P2 ≡ , ,

(

0 0 1 ;

)

( )

P₃ ≡ , ,0 1 0 . Si calcoli:

a) il momento polare del sistema di vettori rispetto all'origine;

b) il momento assiale rispetto all'asse x;

c) il momento rispetto al punto ^O'^{≡ 1 1}

(

^{, ,}¹

)

d) l'asse centrale.

Soluzione:

a) & & & &

M_O =OP V1× +1 OP2 ×V2 +OP V3× 3 =

2iˆ 2jˆ 4kˆ

1 1 3

0 1 0

kˆ jˆ iˆ 0 2 0

1 0 0

kˆ jˆ iˆ 3 0 1

2 1 0

kˆ jˆ iˆ

− +

= +

+

=

b) ^M^x ⁼ ^M^&^O^{⋅ =}ⁱ

(

²ⁱ⁺²^j⁻⁴^{k i}

)

^{⋅ =}²

(4)

4

c) ^R^& = + +

(

1 0 3

) (

ⁱ+ + +0 2 1

) (

^j+ + +3 0 1

)

^k=4ⁱ+3^j+4^k

( )

&

M i j k

i j k

O'

= 2 +2 −4 +1 1 1 = 4 3 4

( ) ( ) ( )

=2i+2j−4k+ −4 3 i+ −4 4 j+ −3 4 k=3i+2j−5k

3.6 Sistema semplice di due vettori: coppia La coppia è l'insieme di due vettori ( P₁, &

V₁) e ( P₂, &

V₂) opposti ( &

V₁=− &

V₂) (Fig.3.2). Il risultante del sistema è nullo, pertanto il

momento della coppia &

M in base alla (3.8) è indipendente dal polo. Esso può essere calcolato scegliendo un polo qualsiasi, per esempio il punto P₁ ;si ottiene allora

& &

M =P P1 2×V2 (3.9)

&

M è ortogonale sia a P P_{1 2} sia a &

V₂ e quindi al piano dei vettori &

V₁ e &

V₂, il suo verso è tale da vedere il vettore P P_{1 2} ruotare in senso antiorario per sovrapporsi a &

V₂. Il suo modulo è pari all'area del parallelogramma costruito sui vettori P P_{1 2} e &

V₂, ossia al prodotto di &

V₂ per la distanza d (braccio) fra le rette di applicazione di &

V₁ e &

V₂ . Il momento &

M si annulla quando P P_{1 2} è parallelo a &

V₂ , ossia quando i due vettori sono sovrapposti alla medesima retta (coppia di braccio nullo).

π

Fig. 3.2

P₁ d

P₂

&

V₁

− &

V₁

&

M