Capitolo 1
Vettori applicati e geometria dello spazio
Marco Robutti
Facoltà di ingegneria Università degli studi di Pavia
Anno accademico 2017-2018 Tutorato di geometria e algebra lineare
Definizione (Vettore applicato)
Un vettore applicato nel punto O e avente il secondo estremo nel punto P viene indicato con la scrittura v =−→
OP. Un vettore è caratterizzato da:
una direzione;
un verso;
un modulo (|v|);
O
P
~ v
Figura:Un vettore.
Definizione (Somma tra vettori )
O
A B
C
−→OC
−→OA
−→OB
Figura:La somma di due vettori−→
OAe−→
OB non aventi la stessa direzione si ottiene costruendo il parallelogramma OACB che ha per lati OA e OB; il vettore somma corrisponde a−→
OC, ossia alla diagonale del parallelogramma con un estremo in O e l’altro in C.
Definizione (Moltiplicazione vettore scalare) Il segmento orientato w =−→
OS = α−→
OP = αv, con α ∈ R, ha la stessa direzione di−→
OP e verso concorde a quest’ultimo se α > 0.
O
P
S
~ v
−→OS = α−→
OP
Definizione (Vettore differenza) Il vettore differenza w =−→
OB −−→
OA si ottiene costruendo il parallelogramma avente per lati i vettori−→
OB e −−→
OA. Se trasliamo A di un vettore pari a w, ossia−→
AB, troviamo B; in altre parole, B = A + w.
O A
B C
−A
−→OC
~ w =−→
OC
−→OA
−−→
OA
−→OB
Definizione (Span di un vettore)
Fissato un vettore non nullo u ∈ E3O, possiamo considerare l’insieme di tutti i vettori applicati che si ottengono
moltiplicando u per un numero reale. Indichiamo tale insieme con:
Span (u) =nv ∈ E3O | v = αu, α ∈ Ro
x y
z
~u
~v = α~u
Definizione (Vettori linearmente indipendenti) Due vettori u e v di E3O sono detti:
• linearmente indipendenti, se v /∈ span (u) o viceversa;
• linearmente dipendenti, se v ∈ span (u) o viceversa;
x y
z
~u
~v = α~u
x y
z
~u
~v
Figura:Vettori linearmente dipendenti (a sinistra) e indipendenti (a destra).
Definizione (Equazioni parametriche di una retta)
Una retta r in forma parametrica in E3O è l’insieme di tutti e soli i punti P che possono essere descritti mediante una scrittura del tipo:
P = P0+ tv , t ∈ R
detta equazione parametrica vettoriale per la retta r.
[P] =
x y z
, [P0] =
x0 y0
z0
, [v ] =
v1 v2
v3
,
x y z
=
x0 y0
z0
+ t
v1 v2
v3
=⇒
x = x0+ tv1 y = y0+ tv2 z = z0+ tv3
x y z
r
P0
P = P0+ t · ~v
~v t · ~v
Figura:Una retta passante per il punto P0 e avente come vettore direttore v.
Definizione (Equazioni parametriche di una retta passante per due punti dati)
Dati due punti P0 e P1, l’equazione parametrica della retta r passante per P0 e P1 è data da:
P = P0+ tv , t ∈ R, v = P1− P0
[P] =
x y z
, [P0] =
x0 y0
z0
, [P1] =
x 1 y1
z1
,
x y z
=
x0 y0
z0
+ t
x1− x0 y1− y0 z1− z0
=⇒
x = x0+ t (x1− x0) y = y0+ t (y1− y0) z = z0+ t (z1− z0)
x y z
r
P0
P1
−−−−−→
P1− P0
Figura:Una retta passante per i punti P0 e P1.
Definizione (Equazioni parametriche di un piano)
Un piano π in E3O è l’insieme di tutti e soli i punti P che si possono descrivere nel seguente modo, che chiameremo
rappresentazione (o equazione) parametrica vettoriale del piano:
P = P0+ αu + βv , α, β ∈ R,
[P] =
x y z
, [P0] =
x0 y0
z0
, [u] =
u1 u2
u3
, [v ] =
v1 v2
v3
,
x y z
=
x0
y0
z0
+ α
u1
u2
u3
+ β
v1
v2
v3
=⇒
x = x0+ αu1+ βv1 y = y0+ αu2+ βv2
z = z0+ αu3+ βv3
x y z
x
z
~u
~ v
π
Figura: Un piano avente vettori generatori u e v.
Definizione (Equazioni parametriche di un piano contenente 3 punti dati)
Dati tre punti P0, P1 e P2, le equazioni parametriche del piano π contenente i punti dati sono date da:
P = P0+ αu + βv , α, β ∈ R, u = P2− P0, v = P1− P0
[P] =
x y z
, [P0] =
x0 y0 z0
, [P1] =
x1 y1 z1
, [P2] =
x2 y2 z2
x y z
=
x0 y0
z0
+ α
x2− x0 y2− y0 z2− z0
+ β
x1− x0 y1− y0 z1− z0
=⇒
Definizione (Equazioni parametriche di un piano contenente 3 punti dati)
=⇒
x = x0+ α (x2− x0) + β (x1− x0) y = y0+ α (y2− y0) + β (y1− y0) z = z0+ α (z2− z0) + β (z1− z0)
x y z
x
z
P2− P0
P1− P0
P0
P1
P2 π
Figura: Un piano passante per i punti P0, P1, P2.
Definizione (Equazioni cartesiane di una retta)
Una retta scritta sotto forma di equazioni cartesiane è vista come l’intersezione tra due piani distinti contenenti la stessa retta:
r :
(a1x + b1y + c1z + d1 = 0 a2x + b2y + c2z + d2 = 0
Definizione (Retta: passaggio da equazioni parametriche a cartesiane)
Per passare dalle equazioni parametriche di una retta a quelle cartesiane bisogna usare il metodo dell’eliminazione dei
parametri. Secondo tale metodo, una volta che si è proceduto a scrivere le equazioni parametriche in forma di sistema, bisogna esplicitare in una o più equazioni i parametri rispetto alle altre variabili e poi sostituirli a turno nelle altre equazioni allo scopo di ottenere, nelle equazioni in cui si effettua la sostituzione, termini che non dipendono dal parametro ma solo dalle coordinate x, y e z.
Esempio
Troviamo le equazioni cartesiane della seguente retta scritta in forma parametrica:
r :
x = 2 + t y = 1 + t z = 1 + 2t
Usiamo il metodo di eliminazione dei parametri:
r :
x = 2 + t t = y − 1 z = 1 + 2t
r :
x = 2 + (y − 1) t = y − 1
z = 1 + 2 (y − 1)
Esempio
Ora che si è effettuata la sostituzione del parametro nelle altre due equazioni, non è più necessaria l’equazione iniziale, quindi la si può scartare. Risolvendo i calcoli si ottiene:
r :
(x = 1 + y z = −1 + 2y
che riscritto in modo più elegante diventa:
r :
(x − y = 1 2y − z = 1
Queste ultime rappresentano le equazioni cartesiane della retta r.
Definizione (Retta: passaggio da equazioni cartesiane a parametriche)
Per passare dalle equazioni cartesiane di una retta a quelle parametriche bisogna usare il metodo di aggiunta dei parametri.
Secondo tale metodo, bisogna scegliere una tra le coordinate x, y e z e “trasformarla” nel parametro t della retta in forma parametrica. Dopo aver fatto ciò (si tratta semplicemente di rinominare una coordinata chiamandola t anziché x, y o z) si procede a sostituire nelle altre equazioni il parametro t laddove compare la variabile a cui noi abbiamo assegnato il nome t.
Esempio
Troviamo le equazioni parametriche della seguente retta scritta in forma cartesiana:
r :
(x − y = 1 2y − z = 1
Usiamo il metodo di aggiunta dei parametri. Scegliamo per esempio di porre y = t:
r :
y = t
x − y = 1 2y − z = 1
r :
y = t
x − t = 1 2t − z = 1
Esempio
Ora che si è effettuata la sostituzione del parametro, possiamo riordinare le equazioni e scriverle in modo più elegante:
r :
x = 1 + t y = t z = −1 + 2t
Queste ultime rappresentano le equazioni parametriche della retta r. E’ da notare che essendoci molte possibilità nel
scegliere quale coordinata verrà “trasformata” nel parametro t, le varie equazioni parametriche che si possono ottenere possono essere diverse tra di loro: pertanto trovare equazioni
parametriche diverse usando coordinate diverse non vuol dire che si è commesso un errore!
Esempio
E’ bene stare attenti quando si vuole passare dalle equazioni cartesiane a quelle parametriche che non ci sia nessuna variabile
“bloccata”. Per variabile bloccata si intende una variabile che compare in un equazione in cui c’è solo lei e nella quale le viene assegnato un valore scalare. Per esempio nel seguente caso:
r :
(x = 1
y + z = 1
la variabile x è una variabile bloccata in quanto le è assegnato il valore 1. In questo caso non possiamo porre x uguale al
parametro t in quanto ci troveremmo ad avere la scrittura t = 1 che non ha senso. Quindi, quando si ha una variabile bloccata, è bene sempre ricordare che tale variabile non può essere usata nella fase di assegnamento del parametro: in tal caso bisogna per forza utilizzare una delle altre due variabili (in questo caso y o z).
Definizione (Equazione cartesiana di un piano)
L’equazione cartesiana di un piano si ottiene considerando il piano come l’insieme dei punti dello spazio che soddisfa la seguente condizione:
π = {P ∈ ε |D−→
OP −−−→
OP0, nE= 0}
P =
x y z
, Po =
x0
y0 z0
, n =
a b c
,vettore normale In tal caso il piano può essere scritto equivalentemente in due modi:
a (x − x0) + b (y − y0) + c (z − z0) = 0
Definizione (Equazione cartesiana di un piano)
Oppure in modo equivalente, eseguendo i calcoli nella formula precedente e raccogliendo tutti i fattori che non dipendono da x, y e z:
ax + by + cz + d = 0 con
d = − (ax0+ by0+ cz0)
Definizione (Piano: passaggio da equazioni parametriche a cartesiana)
Per passare dalle equazioni parametriche di un piano a quella cartesiana bisogna usare il metodo dell’eliminazione dei parametri come visto per la retta. L’unica cosa che cambia in questo caso è che i parametri da eliminare sono due (α e β) e quindi i calcoli sono leggermente più elaborati.
Esempio
Troviamo l’equazione cartesiana del seguente piano scritto in forma parametrica:
π :
x = α + β y = β
z = 1 + α + β Usiamo il metodo di eliminazione dei parametri:
π :
x = α + β β = y
z = 1 + α + β
π :
x = α + y β = y
z = 1 + α + y
Esempio
A questo punto la seconda equazione (β = y) non serve più e può essere trascurata. Si procede quindi con il trovare il valore di α.
π :
(α = x − y z = 1 + α + y
Sostituendo la prima equazione nell’ultima e riscrivendo il tutto in maniera ordinata otteniamo l’equazione cartesiana del piano:
π :
(α = x − y
z = 1 + x − y + y π : z = 1 + x
π : x − z = 1
Definizione (Piano: passaggio da equazione cartesiana a parametriche)
Per passare dall’equazione cartesiana di un piano a quelle parametriche bisogna usare il metodo di aggiunta dei parametri.
Secondo tale metodo, bisogna scegliere tra le coordinate x, y e z e “trasformarne” due di esse nei parametri α e β come visto per il caso della retta. Nell’assegnare i parametri alle coordinate vale lo stesso discorso fatto per la retta riguardo alle eventuali
“variabili bloccate”.
Esempio
Troviamo le equazioni parametriche del seguente piano scritto in forma cartesiana:
π : x − z = 1
Usiamo il metodo di aggiunta dei parametri. Scegliamo per esempio di porre y = α e z = β:
r :
y = α
z = β
x − z = 1
r :
y = α
z = β
x − β = 1
Esempio
Quindi infine otteniamo:
r :
x = 1 + β y = α z = β
Definizione (Prodotto scalare)
Il prodotto scalare tra due vettori u e v è definito come:
hu, vi = kuk · kvk · cos θ oppure, in coordinate:
u =
x y z
, v =
x0 y0 z0
hu, vi = xx0+ yy0+ zz0
Definizione (Proiezione ortogonale di un vettore su un altro) Dati due vettori u e v, la proiezione ortogonale di v su u è data dal vettore w così definito:
w = hu, vi hu, uiu
~u
~v
w~
Figura:La proiezione ortogonale del vettore v sul vettore u.
Definizione (Norma di un vettore)
Dato un vettore v = xˆi+ yˆj + zˆk è definita come:
kvk =qhv, vi =qx2+ y2+ z2
Definizione (Distanza tra due punti)
La distanza tra due punti A e B è uguale alla norma del vettore differenza B − A:
d (A, B) = q
(xB − xA)2+ (yB − yA)2+ (zB− zA)2
Definizione (Distanza punto-piano) Dati un punto A =
xA yA
zA
e un piano π : ax + by + cz + d = 0, la distanza tra il punto e il piano è pari a:
d (A, π) = |axA+ byA+ czA+ d |
√a2+ b2+ c2
Definizione (Fascio proprio di piani)
E’ dato dall’insieme zr dei piani contenenti una data retta r. I piani appartenenti al fascio sono tutti e soli quelli la cui
equazione può essere scritta nella forma:
λ (a1x + b1y + c1z + d1) + µ (a2x + b2y + c2z + d2) = 0 (λ, µ) 6= (0, 0)
dove a1x + b1y + c1z + d1= 0 e a2x + b2y + c2z = 0
rappresentano due piani π1 e π2 distinti appartenenti al fascio.
Definizione (Fascio improprio di piani)
E’ dato dall’insieme zn dei piani aventi la stessa direzione normale n. I piani appartenenti al piano sono tutti e soli quelli la cui equazione può essere scritta nella forma:
a0x + b0y + c0z + d = 0,
dove [n] =
a0 b0
c0
6=
0 0 0
, d ∈ R
Definizione (Posizione reciproca tra piani) Dati due piani:
π1 : ax + by + cz = d π0: a0x + b0y + c0z = d0 i due piani possono essere tra loro:
• paralleli;
• coincidenti;
• incidenti.
Definizione (Piani paralleli)
I piani π e π0 sono paralleli se e solo se i vettori normali n e n0 generano la stessa retta, ovvero se e solo se n0∈ Span (n). Quindi esiste un numero reale non nullo k tale che:
a0 = ka, b0 = kb, c0 = kc
x y z
~n n~0
π π0
Figura:Due piani paralleli hanno vettori normali linearmente dipendenti tra loro.
Definizione (Piani coincidenti)
I piani π e π0 sono coincidenti se e solo se sono paralleli e se d0 = kd. Ovvero se:
a0 = ka, b0 = kb, c0= kc, d0 = kd
Definizione (Piani incidenti)
I piani π e π0 sono incidenti se non sono paralleli e non sono coincidenti; allora la loro intersezione è una retta:
r = π ∩ π0
e nessuna delle condizioni precedenti si verifica.
x y z
~n
r n~0
π π0
Figura:Due piani incidenti hanno vettori normali linearmente indipendenti tra loro e definiscono una retta in E3O.
Definizione (Posizione reciproca tra rette)
Due rette r1 e r2 aventi rispettivamente i vettori direttori v1 e v2∈ E3O possono essere tra loro:
• parallele;
• incidenti;
• sghembe;
• complanari.
Definizione (Rette parallele)
Le rette r1 e r2 sono parallele se e solo se hanno la stessa direzione, ovvero se e solo se i loro vettori direttori generano la stessa retta, cioè se e solo se v2∈ Span (v1) (o viceversa).
x y z
r1 r2
v~1
v~2
Figura:Due rette parallele hanno vettori direttori linearmente dipendenti tra loro.
Definizione (Rette incidenti)
Le rette r1 e r2 sono incidenti se e solo se si intersecano in un unico punto r1∩ r2 = {P}.
Esistono due metodi per poter determinare il punto di intersezione P.
x y z
r1
r2 P
Figura:Due rette incidenti hanno un solo punto in comune. Se hanno più di un punto in comune, allora sono coincidenti.
Algoritmo - Metodo 1
Avendo le equazioni cartesiane di r1 e r2, basta metterle a sistema:
((equazioni cartesiane di r1) (equazioni cartesiane di r2)
se il sistema ammette una soluzione, allora le due rette sono incidenti;
se il sistema ammette infinite soluzioni, allora le due rette sono coincidenti;
se il sistema non ammette soluzioni, allora le due rette non sono incidenti;
Algoritmo - Metodo 2
Avendo le equazioni parametriche di r1 e l’equazione cartesiana di r2, si effettuano i seguenti passi:
Considero un generico punto P1 = P01+ t1 appartenente alla retta r1 e lo sostituisco al posto delle coordinate
x y z
nelle equazioni cartesiane di r2:
(a1xP1+ b1yP1+ c1zP1+ d1 = 0 a2xP1+ b2yP1+ c2zP1+ d2 = 0
Risolvo il sistema considerando il parametro t1 come variabile;
Algoritmo - Metodo 2
Se il sistema è risolubile, allora le due rette sono incidenti e il punto di intersezione P può essere trovato
determinandone le coordinate dalla equazioni parametriche di r1, dando al parametro il valore t1= t∗, dove t∗ è la soluzione del sistema; se invece il sistema non è risolubile, allora vuol dire che le due rette non sono incidenti.
Definizione (Rette sghembe)
Le rette r1 e r2 sono sghembe se non sono parallele e non sono incidenti. In altre parole se non vi nessun piano che le contenga entrambe:
n1∈ span (n/ 2) ∧ r1∩ r2= ∅
x y z r1
r2
Figura:Due rette sghembe hanno come intersezione l’insieme vuoto.
Definizione (Rette complanari)
Le rette r1 e r2 sono complanari se sono parallele o incidenti.
x y z
r1 r2
π
Figura:Due rette parallele (come in figura) o incidenti sono complanari.
Definizione (Posizione reciproca retta-piano)
Una retta r avente vettore direttore v e un piano avente vettore normale n e giacitura {u1, u2} possono essere reciprocamente nelle seguenti posizioni:
• incidenti;
• perpendicolari (la retta r è perpendicolare al piano π);
• paralleli;
• la retta r è contenuta nel piano π.
Definizione (Retta e piano incidenti)
Una retta r e un piano π sonon incidenti se e solo se si intersecano in un unico punto:
r ∩ π = {P}
Esistono tre metodi per poter determinare il punto di intersezione P.
x y
z r
P
π
Figura:Una retta e un piano sono incidenti se hanno un punto in comune.
Algoritmo - Metodo 1
Avendo le equazioni parametriche di r e le equazioni
parametriche di π, si ha che la retta e il piano sono incidenti se e solo se:
v /∈ Span (u1, u2) , cioè se e solo se:
hv, ni 6= 0
Questo metodo è il più comodo per poter determinare se una retta e un piano sono incidenti.
Algoritmo - Metodo 2
Avendo le equazioni cartesiane di r e π,basta metterle a sistema:
((equazioni cartesiane di r) (equazione cartesiana di π)
se il sistema ammette una soluzione, allora il piano e la retta sono incidenti;
se il sistema ammette infinite soluzioni, allora la retta è contenuta nel piano;
se il sistema non ammette soluzioni, allora la retta e il piano sono paralleli;
Algoritmo - Metodo 3
Avendo le equazioni parametriche di r e l’equazione cartesiana di π, si effettuano i seguenti passi:
Considero un generico punto P1 = P01+ t1 appartenente alla retta r1e lo sostituisco al posto delle coordinate
x y z
nell’equazione cartesiana di π:
axP1+ byP1+ czP1+ d = 0
Risolvo l’equazione considerando il parametro t1 come variabile;
Algoritmo - Metodo 3
Se il sistema è risolubile, allora retta e piano sono incidenti e il punto di intersezione P può essere trovato
determinandone le coordinate dalla equazioni parametriche di r1, dando al parametro il valore t1= t∗, dove t∗ è la soluzione dell’equazione; se invece il sistema non è risolubile, allora vuol dire che la retta e il piano sono paralleli.
Definizione (Retta perpendicolare al piano)
La retta r è perpendicolare al piano π se e solo se la direzione di r coincide con la direzione normale al piano, cioè:
v ∈ Span (n)
Esistono tre metodi per poter determinare il punto di intersezione P, e sono gli stessi visti per il caso della retta e piano incidenti.
x y z
~n r
~v
P
π
Figura:Una retta è perpendicolare ad un piano se il vettore direttore della prima è linearmente dipendente al vettore normale del secondo (nella figura vettore direttore e normale sono stati disegnati
rispettivamente sulla retta e sul piano per ragioni di chiarezza espositiva: in realtà si trovano tutti nell’origine O!)
Definizione (Retta e piano paralleli)
La retta r e il piano π sono paralleli se e solo se:
v ∈ Span (u1, u2) ∧ r ∩ π = ∅ La prima condizione equivale a dire che:
v ⊥ n =⇒ hv , ni = 0
x y
z ~n
r
~ v π
Figura:Una retta e un piano sono paralleli se non hanno punti in comune e se il prodotto scalare tra il vettore direttore della retta e il vettore normale del piano è nullo, cioè se tra di loro c’è un angolo di 90°.
Definizione (Retta contenuta nel piano) La retta r è contenuta nel piano π se e solo se:
v ∈ Span (u1, u2) ∧ r ∩ π 6= ∅
x y z
~ u1
~ u2
r
~v
π
Figura:Una retta è contenuta in un piano se il suo vettore direttore appartiene allo Span dei vettori generatori del piano e se esiste almeno un punto che appartiene sia alla retta che al piano. In questo caso nell’immagine i vettori generatori del piano e il vettore direttore della retta sono stati disegnati a partire dall’origine come è giusto che sia...
