Capitolo 7
Struttura metrica in Rn
Marco Robutti
Facoltà di ingegneria Università degli studi di Pavia
Anno accademico 2017-2018 Tutorato di geometria e algebra lineare
Definizione (Prodotto scalare standard)
Dati due vettori X =
x1 x2
... xn
e Y =
y1 y2
... yn
in Rn, chiamiamo
prodotto scalare standard dei vettori X e Y il seguente numero reale:
hX , Y i = x1y1+ x2y2+ · · · + xnyn= XTY .
Definizione (Norma di un vettore)
La norma di un vettore X ∈ Rn è il seguente numero reale non negativo:
kX k =qhX , X i =qx12+ x22+ · · · + xn2;
un vettore X ∈ Rn è detto versore se kX k = 1.
Se X ∈ Rn, allora Y = kX k1 X è sicuramente un versore.
La distanza tra due vettori X , Y ∈ Rn è il numero positivo:
d (X , Y ) = kX − Y k.
Due vettori X , Y ∈ Rn sono ortogonali se e solo se il loro prodotto scalare è nullo:
Definizione (Angolo convesso tra due vettori)
L’angolo convesso tra due vettori è definito e può essere ricavato dalla seguente relazione:
cos θ = hX , Y i kX k · kY k
Definizione (Sistema ortogonale e sistema ortonormale)
Un insieme di vettori non nulli {Y1, . . . , Yk} , k ≥ 2 , è detto un sistema ortogonale se i vettori sono a due a due ortogonali, cioè:
hYi, Yji = 0, ∀i 6= j;
Un insieme di vettori non nulli {Y1, . . . , Yk} , k ≥ 2 , è detto un sistema ortonormale se è formato da versori a due a due
ortogonali, cioè:
hYi, Yji = 0, ∀i 6= j e hYi, Yii = 1, ∀i = 1, . . . , k.
Definizione (Trovare le coordinate di un vettore in una base ortogonale)
Sia B = {Y1, Y2, . . . , Yh} una base ortogonale di un sottospazio V di Rn. Allora ∀Y ∈ V , Y ammette la seguente scrittura:
Y = hY , Y1i
hY1, Y1iY1+ hY , Y2i
hY2, Y2iY2+ · · · + hY , Yhi hYh, YhiYh=
h
X
i =1
ciYi,
dove i coefficienti ci sono detti coefficienti di Fourier.
Il vettore hYhY ,Yii
i,YiiYi è detto vettore proiezione ortogonale del vettore Y su Span (Yi), per ogni i = 1, . . . , h.
Quindi Y è la somma delle sue proiezioni ortogonali
rispettivamente lungo ciascun vettore Yi della base, i = 1, . . . , h.
NB. Tutto ciò vale solo perché B è orgonale!
Definizione (Trovare le coordinate di un vettore in una base ortonormale)
Sia B = {Y1, Y2, . . . , Yh} una base ortonormale di un sottospazio V di Rn. Allora ∀Y ∈ V , Y ammette la seguente scrittura:
Y = hY , Y1i Y1+ hY , Y2i Y2+ · · · + hY , Yhi Yh.
Algoritmo di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt Dato un insieme di vettori linearmente indipendenti
{X1, . . . , Xh} posso rendere tale insieme di vettori un insieme ortogonale {Y1, . . . , Yh} ottenendo i vari vettori Yi nel modo seguente:
Y1= X1, Y2 = X2−hX2, Y1i
hY1, Y1iY1, Y3 = X3−hX3, Y2i
hY2, Y2iY2, −hX3, Y1i hY1, Y1iY1, ...
Yh= Xh− hXh, Yh−1i
hYh−1, Yh−1iYh−1− · · · −hXh, Y1i hY1, Y1iY1,
Algoritmo di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt ovvero il vettore Yi del nuovo insieme ortogonale si ottiene sottraendo dal vettore Xi dell’insieme di vettori iniziale le sue proiezioni ortogonali lungo Y1, . . . , Yi −1.
Definizione (Matrice ortogonale)
Una matrice Q ∈ GL (n, R) è detta ortogonale se e solo se:
QQT = QTQ = In,
cioè:
QT = Q−1.
NB: Le colonne della matrice formano una base ortonormale di Rn;
NB1: det (Q) = ±1 (C.N.N.S)
Definizione (Complemento ortogonale di un insieme) Sia S ⊂ Rn un sottoinsieme non vuoto. Chiamiamo insieme ortogonale di S l’insieme dei vettori di Rn che sono ortogonali a tutti i vettori di S. In simboli:
S⊥= {Y ∈ Rn| Y ⊥ X , ∀X ∈ S}
= {Y ∈ Rn| hY , X i = 0, ∀X ∈ S}
tale insieme viene detto complemento ortogonale di S in quanto risulta:
Osservazione (Una nota importante...)
Ogni vettore X ∈ Rn può essere decomposto in una parte X0 ∈ V e X00∈ V⊥ così che:
X = X0+ X00;
Da qui possiamo ricavare che le proiezioni ortogonali del vettore X su V e V⊥ sono date da:
X0= X − X00, X00= X − X0,
cioè conoscendo la proiezione ortogonale di un vettore su V , posso ottenere la proiezione di quel vettore su V⊥ e viceversa.
Algoritmo - Trovare le equazioni cartesiane del complemento ortogonale di un insieme
Dato l’insieme V e una sua base BV = {X1, . . . , Xn}, fissato un
generico vettore X =
x1 x2
... xn
∈ Rn, le equazioni cartesiane di V⊥
sono date da:
V⊥ :
hX1, X i = 0 hX2, X i = 0 ... = 0
Teorema (Teorema spettrale)
Sia A ∈ MR(n) una matrice simmetrica di ordine n. Allora esiste una base ortonormale di Rn formata da autovettori di A.
Algoritmo - Trovare una base ortonormale costituita da autovettori
La soluzione di questo problema è contenuta nella dimostrazione del teorema spettrale:
1) Si determinano gli autovalori di A, α1, α2, . . . , αh.
2) Per ciascun autovalore αi si determina una base qualsiasi Dαi del corrispondente autospazio.
3) Con l’algoritmo di Gram-Schmidt si ortogonalizza la base Dαi ottenendo una base ortogonale Bαi di Vαi.
Algoritmo - Trovare una base ortonormale costituita da autovettori
4) Si uniscono tutti questi sistemi di vettori ottenendo una base ortogonale di Rn composta da autovettori di A (infatti gli autospazi di una matrice reale simmetrica sono in somma diretta tra loro e quindi l’unione delle loro basi da una base per Rn...).
5) Infine, se si cerca una base ortonormale, è sufficiente normalizzare i vettori così ottenuti.
