Leçon 230 - Séries de nombres réels ou complexes. Comportement des restes ou des sommes partielles des séries numériques. Exemples.
On se place dans K = R ou C. Les suites sont à valeurs dans K
1. Convergence d’une série. — 1. Généralités. —
– Def : La série de terme général un est la suite des Sn =P
kuk. Si la suite des Sn
cv vers S, alors on dit que la série est convergente de somme S. Elle est divergente sinon.
Sn est la suite des sommes partielles de la série, et Rn = S − Sn est la suite des restes.
– Ex : P
k 1
k(k+1)= 1 − n+11 → 1, et est de reste Rn= n+11
– Pro : Une série géométrique de raison z ∈ K∗ est une série de terme général azn pour un a ∈ K. Si |z| < 1 alors la série converge et S = 1−za et Rn = az1−zn+1. Si
|z| ≥ 1, alors la série diverge et Sn∼ azn si |z| > 1. Si z = 1 on a Sn = a.n.
– Pro : Si une série converge, alors son terme général converge vers 0.
– Contre-ex : On aP
klog(1 +n1) = log(n + 1) donc la série diverge bien que un→ 0.
– Ex : Les séries de terme général sin(a.n) ne sont convergentes que si a ∈ πQ car sinon le terme général ne converge pas vers 0.
– Pro : L’ensemble des suites un tq la série P
nun cv est un K-espace vectoriel.
L’application (un)n→P
nun est une forme linéaire sur cet ev.
– Ex : Si un = an+ ibn, alorsP
nun cv ⇔ P
nan et P
nbn cv.
2. Critère de Cauchy et convergence absolue. — – Théorème : P
nun converge ssi Sn est de Cauchy.
– Ex : Série harmonique : Sn=P
k 1
k. S2n− Sn≥ 12 donc diverge.
On aP
k 1
k ∼ log(n) par décroissance de x 7→ 1x. – Def : P
nun est dite absolument convergente si la sérieP
n|un| converge.
– Pro : L’ensemble des suites dont la série converge absolument est un K-ev noté l1(K).
– Théorème : Toute série absolument convergente est convergente.
– Ex : un= eint 1n2 est absolument convergente ∀t ∈ K.
– Pro : Si (un)n∈ l1alors |Rn| ≤P
k≥n+1|uk|.
– Contre-ex : un= (−1)nn+1 est convergente mais pas absolument convergente.
– Def : Une série qui converge sans être absolument convergente est appelée semi- convergente.
2. Séries à termes réels positifs. — Ici, K = R et un, vn∈ R+. 1. Comparaison de séries. —
– Théorème : P
nun converge ssi Sn est majorée.
– Ex : Sn=P
k 1
k! ≤ 3. On note e =P
n 1 n!.
On a n!Sn< n!e < n!Sn+n1, ce qui permet de montrer que e est irrationnel.
– Premier théorème de comparaison : Supposons un ≤ vn. On note σn et ρn la suite des sommes partielles et des restes de la série de terme général vn, si cela existe.
AlorsP
nvn converge ⇒P
nun converge et Rn≤ ρn. EtP
nun diverge ⇒P
nvn diverge et Sn ≤ σn. – Thm : (Série de Riemann) Soit α > 0. La sérieP
n 1
nα converge si α > 1 et diverge si α ≤ 1.
– Appli : Les séries de Riemann permettent de définir la fonction ζ : s ∈]1, +∞ 7→
P
n 1
ns ∈ R∗+ appelée fonction ζ de Riemann.
– Second théorème de comparaison : Si un∼ vn, alors les séries sont de même nature.
Si elles sont cv, alors Rn∼ ρn. Si elles divergent, alors Sn∼ σn. – Pro : Soit P
n 1
ns une série de Riemann. Si s > 1 alors Rn ∼ (s−1)n1 s−1. Si s < 1 alors Sn∼ n1−s1−s. Si s = 1 alors Sn ∼ log(n).
– Ex : Soit Sn =P
k 1
k − log(n). Cette suite est cv, et on note γ = lim(Sn) appelée constante d’Euler. On a alors Sn= γ +2n1 −12n12 + o(n12).
– Rem : Le reste Rn d’une série de Riemann convergente vérifie n1s = o(Rn). On dit que les séries de Riemann convergent lentement.
Le reste d’une série géométrique de raison 0 < q < 1 vérifie Rn = O(supk≥n(uk)).
On dit que la série converge rapidement.
– Thm : Comparaison à une série de Riemann : Si il existe s > 1 tel que (nsun)n est majorée, alorsP
nun converge.
S’il existe 0 < s < 1 tel que (nsun)nest minorée par un réel > 0, alors la sérieP
nun
diverge.
– Ex : Formule de Stirling : n! = (ne)n.√
2πn(1 +12n1 + o(n1)).
2. Règles usuelles de convergence. —
– Règle de Cauchy : lim sup((un)1/n) < 1 ⇒P
nun convergente.
lim sup((un)1/n) > 1 ⇒P
nun divergente.
– Pro : Si lim sup((un)1/n) < 1, soient 0 < q < 1 et n0 ∈ N tels que (un)1/n ≤ q
∀n ≥ n0. Alors Rn ≤ Sq1−qn+1, ∀n ≥ n0. – Règle de d’Alembert : lim sup(uun+1
n ) < 1 ⇒ P
nun convergente.
lim sup(un+1u
n ) > 1 ⇒P
nun divergente.
– Ex : Pour la série de terme général un = nsqn avec s ∈ R et 0 < q < 1, on a
un+1
un = q(1 +n1)s→ q, donc la série converge.
– Pro : Si lim sup(un+1u
n ) < 1, soient 0 < q < 1 et n0∈ N tels que uun+1n ≤ q ∀n ≥ n0. Alors Rn≤ un1−qq , ∀n ≥ n0.
La convergence de la série est rapide.
– Pro : d’Alembert implique Cauchy : Si un+1u
n converge vers L, alors (un)1/n→ L.
– Règle de Raabe-Duhamel : Soit an= n(1 − uun+1
n ).
Si lim inf(an) < 1, alorsP
nun converge. Si lim inf(an) > 1, alorsP
nun diverge.
1
3. Comparaisons séries-intégrales. —
– Pro : Soit f : R+ → R+ décroissante. Alors l’intégrale R
R+f et la série P
nf (n) sont de même nature.
– Ex : Série de Bertrand : P
n 1
nlog(n)s converge si s > 1, et diverge si s ≤ 1.
– Thm : Soit f : R+ → R+ décroissante et intégrable. AlorsP
nf (n) converge et on aR+∞
n+1f (x)dx ≤ Rn≤R+∞
n f (x)dx.
– Ex : Pour calculer ζ(2) avec une marge d’erreur ≤ 10−3, il n’est pas utile de calculer S1000, il suffit de calculer S23 et de prendre pour valeur approchée la somme de Sn
et de la moyenne arithmétique des encadrements intégraux de Rn. – Def : Un ordre moyen de (un)n est g : R → R mesurable telle que P
n≤xun ∼ Rx
0 g(t)dt.
– Dev : Ordre moyen de Φ et σ : Un ordre moyen de σ(n) =P d|nd est x 7→ π62x, et P
n≤xσn=π122x2+ O(xlog(x)).
Un ordre moyen de l’indicatrice d’Euler Φ est x 7→ π62x, et P
n≤xσn = π32x2+ O(xlog(x)).
– Thm : Si au contraire f n’est pas intégrable, alors Sn ∼Rn
0 f (x)dx.
3. Séries à termes quelconques. — 1. Séries alternées. —
– Def : On appelle série alternée toute série de la formeP
n(−1)nun ouP
n(−1)n+1un
avec un∈ R+.
– Thm : Critère des séries alternées. Si un converge en décroissant vers 0, alors P
n(−1)nun est convergente et |Rn| ≤ un+1. – Ex : arctan(x) =P
n(−1)n x2n+12n+1, donc |RN| ≤ x2N +12N +1.
On a π4 = arctan(1). Il faut 500 itérations pour une précision de 10−3.
π
4 = 4arctan(15) − arctan(2391 ) (admis). Il faut 3 itérations pour une précision de 10−3.
2. Transformation d’Abel. —
– Def : Effectuer une transformation d’Abel c’est écrire : P
kukvk = Snvn+Pn−1
k=0Sk(vk− vk−1) (c’est une IPP de séries) – Thm : Chacune des conditions suivantes est suffisante pour queP
nunvnconverge : a) (Sn)n bornée et vn> 0 et converge vers 0 en décroissant.
b)P un converge, vn> 0 et décroissante.
c) (Sn)n bornée, vn→ 0, etP
n|vn− vn+1| convergente.
– Ex : avecP
nancos(s.n) etP
nansin(n.s) 3. Séries entières. —
– Def : Une série entière est une série de fonctions de la formeP
nanzn où z, an∈ C.
– Lemme d’Abel : Soit z0 tq la suite (anzn0)n soit bornée. Alors ∀|z| < |z0|, la série entière est absolument convergente.
– Def : Le rayon de convergence est le sup des r ∈ [0, +∞] tq la série entière converge en r.
– Pro : Pour R le rayon de convergence d’une série entière, on a convergence absolue pour |z| < R et divergence pour |z| > R.
– Ex : P
nnazn a un rayon de convergence de 1. P
nn!zn a un rayon de convergence nul. exp(x) =P
n zn
n! est de rayon de convergence R = +∞.
– Dev : Théorème des Lacunes de Hadamard : Soit (λn)nune suite croissante d’entiers telle qu’il existe α > 1 vérifiant λn+1λ
n ≥ α > 1, pour tous n ≥ 0.
Soit (an)n∈ CN telle que la série entière P
n≥0an.zλn est de rayon de convergence 1.
Alors, la somme de cette série entière n’a aucun point régulier sur ∂D(0, 1).
– App : La somme de la série P
n≥0n.z2n est holom sur D(0, 1), diverge en tout point de ∂D(0, 1), et n’admet aucun prolongement holom. La somme de la série P
n≥0 1
n2.z2n est holom sur D(0, 1), se prolonge continument sur ∂D(0, 1), mais n’admet aucun prolongement holom.
– Théorème d’Abel Angulaire – Théorème taubérien faible
4. Produit de Cauchy de deux séries. —
– Def : On appelle série produit la série des wn=Pn
k=0ukvn−k, aussi appelé produit de convolution des suites (un)n et (vn)n.
– Thm : Si (un)n, (vn)n ∈ l1 alors la série produit est absolument convergente, et (P
nwn) = (P
nun)(P
nvn).
– App : On a ainsi ex+y= ex.ey
– Pro : La série produit de deux séries entières a un rayon de convergenre R ≥ min R0, R1
– Ex : Nombres de Bell. Pour Bn le nombre de partitions de {1, . . . , n}, on a Bn+1= Pn
k=0 n
kBk. En utilisant la série génératriceP
n Bn
n!xn, on montre alors que Bn =
1 e
P
k kn
k!. Références
Amrani : Gros du plan.
Gourdon : Abélisation, Séries alternées, séries entières. Exemples.
Hauchecorne : Contre-Exemple de séries ayant des problèmes.
Tenenbaum : Ordre moyen de Phi et sigma.(Dev) Zuily, Queffélec : Lacunes de Hadamard.(Dev)
June 11, 2017
Vidal Agniel, École normale supérieure de Rennes
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