Derivata di una funzione scalare y = f(t)
y
1= f(t
1) = y(t
1) y
2= f(t
2) = y(t
2) t
2- t
1= t
y
2- y
1= y = y(t
2) - y(t
1)
y y
t t
2 1
2 1
= y t
limt
y y
t
0
2 1
= dy dt
Derivata di un vettore V = f(t)
V
1= f(t
1) V
2= f(t
2) t
2- t
1= t V
2- V
1= V
V2 V1 V
t =
2 t1
t
limt 0 t dt V2 - V1 V
= d
...
E, con notazione cartesiana (nell’ipotesi che il sistema di riferimento sia fisso, cioè i versori i , j , k siano indipendenti dal tempo) :
d dt
dV dt
dV dt
dV dt
x y z
V i j k
Derivata di un vettore a modulo costante.
Sia dato il vettore V (non nullo), in genere variabile nel tempo ma con modulo costante : Vx2 + Vy2 + Vz2 = Cost. [1]
Deriviamo la [1] rispetto al tempo.
2V dV 2 2 0
dt V dV
dt V dV
x dt
x y
y z
z [2]
che, divisa per 2, porta a :
V dV
dt V dV
dt V dV
x dt
x y
y z
z 0 [3]
Il primo membro della [3] rappresenta il prodotto scalare fra il vettore V (di cui Vx , Vy , Vz sono le componenti) ed il vettore dV / dt (di componenti dVx /dt , dVy / dt , dVz / dt ). Essendo dalla [3] il prodotto scalare = 0 , possiamo trarre le seguenti conclusioni:
1) - o il vettore V è nullo (contro l'ipotesi);
2)- o la derivata di V è nulla (vettore costante non solo in modulo ma anche in direzione e verso);
3)- o il vettore V ed il vettore dV / dt sono fra loro perpendicolari.
