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y''+ ay'+ by = f t( ) (*)

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Academic year: 2021

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Testo completo

(1)

Mattia  Natali  

  1  

Eq.  Lineari  II  Ordine  

µ Premesse:  

Ø Sia  

y''+ ay'+ by = f t ( ) (*)

 l’equazione  completa  e  

y''+ ay'+ by = 0 (**)

 l’equazione   differenziale  omogenea  con  

a,b ∈, f ∈C I ( )

.  

Ø Se  

y

1

, y

2  sono  soluzioni  di  

( ) * *

 e  

k

1

, k

2

∈ ⇒

 

k

1

y

1

+ k

2

y

2  risolve  

( ) * *

.  Questo  è  vero  solo  per   le  equazioni  lineari.  

Ø Se  

y

h  risolve  

( ) * *

 e  

y

p  risolve  

( ) *

 

y

h

+ y

p  risolve  

( ) *

.  

Ø Se  

y

p

, y

q  sono  soluzioni  dell’equazione  completa  

 

y

p

− y

q  risolve  

( ) *

.    

µ Passi  del  metodo  risolutivo:  

1. Trovare  le  soluzioni  di  

y''+ ay'+ by = 0

 che  chiameremo  

y

h.   2. Trovare  una  soluzione  particolare  

y

p  dell’equazione  completa  

( ) *

.   3. Sommando  

y

h

+ y

p  si  trovano  tutte  le  soluzioni  di  

( ) *

.  

4. Imporre  le  eventuali  condizioni  iniziali  per  determinare  anche  le  costanti.  

 

µ Primo  Passo:  

Ø Cerchiamo  il  polinomio  caratteristico,  poniamo  

y t ( ) = e

λt

y' t ( ) = λe

λt

y'' t ( ) = λ

2

e

λt

,  sostituendoli  nell’equazione  

omogenea  otteniamo  

λ

2

e

λt

+ aλe

λt

+ be

λt

= 0

 à  

( λ

2

+ aλ + b ) e

λt

= 0

 à  

λ

2

+ aλ + b = 0

.   Ø

Radici  reali  distinte:  

§

y''− 3y'+ 2y = 0

,  cerchiamo  il  polinomio  caratteristica  sostituendo  

λ

d    ad  

y

d  nell’equazione   omogenea  con  

d

 che  è  il  numero  della  derivata  à  

λ

2

− 3λ + 2 = 0

.  

§ Trovo  le  radici  del  polinomio  caratteristico:  

λ

1

= 1, λ

2

= 2

.  

§

y

1

( ) t = e

λ1t

= e

t

y

2

( ) t = e

λ2t

= e

2t.  

§

y

h

( ) t = c

1

y

1

( ) t + c

2

y

2

( ) t = c

1

e

t

+ c

2

e

2t  con  

c

1

, c

2

∈

.   Ø

Caso  complesso:  

§ La  soluzione  del  polinomio  caratteristico  saranno  due  numeri  complessi  coniugati:  

λ

1

= α + iβ

,  

λ

2

= α − iβ

.  

§

y

h

( ) t = e

αt

( c

1

cos βt + c

2

sin βt )

.  

Ø

Radici  reali  coincidenti:  

§ In  questo  caso  avremo  come  soluzione  caratteristica  

λ

1

= λ

2.  

§

y

h

( ) t = c (

1

+ c

2

t ) e

λ1t,  in  pratica  basta  aggiungere  al  secondo  monomio  una  

t

 come   coefficiente.  

 

µ Secondo  Passo:  

Ø Ricordiamo  che  la  nostra  equazione  differenziale  di  partenza  è  

y''+ ay'+ by = f t ( ) (*)

.  

(2)

Mattia  Natali  

  2  

Ø Se   f t

( )

= Pm

( )

t ⋅ eαt ⋅sin

( ) β

t oppure cos

( ) β

t  con  

P

m

( ) t

 polinomio  di  grado  

m

,  possiamo  usare   il  metodo  di  somiglianza.  

Ø Prima  cosa  dobbiamo  verificare  se  

λ

1=

α

+ i

β

,

λ

2 =

α

− i

β

=

λ

1  risolve  il  polinomio   caratteristico  del  primo  passo.  

§ Se  

λ

1  

non  è  soluzione  del  polinomio  caratteristico

,  ossia  

λ

12

+ aλ

1

+ b ≠ 0

,  cioè  

e

αt

sin βt, e

αt

cosβt

 non  sono  soluzioni  dell’equazione  omogenea  à  la  soluzione  particolare   sarà  yp

( )

t = Qm

( )

t eαtsin

β

t+ Rm

( )

t eαtcos

β

t  con  

Q

m

( ) t

 e  

R

m

( ) t

 polinomi  di  grado  

m

,   ossia  hanno  lo  stesso  grado  del  polinomio  che  incontriamo  nel  termine  noto  dell’equazione   differenziale  iniziale.  Nota  bene:  se,  per  esempio,  

m = 3

 Qm

( )

t = at3+ bt2 + ct + d,  in  altre   parole  bisogna  avere  tutti  i  gradi  fino  allo  

0

.  

§ Se  

λ

1  è  

soluzione  del  polinomio  caratteristico

,  sia  

ρ

 la  molteplicità  di  

λ

1,  la  soluzione   particolare  sarà  

y

p

( ) t = Q ⎡⎣

m

( ) t e

αt

sin βt + R

m

( ) t e

αt

cos βt ⎤⎦t

ρ.  

Ø Trovata  la  yp

( )

t ,  facciamo  le  sue  derivate  (nel  nostro  caso  fino  alla  derivata  seconda)  e  inseriamo   il  tutto  nell’equazione  iniziale  per  eliminare  le  eventuali  costanti  che  troviamo  in  

Q

m

( ) t

 e  

R

m

( ) t

.    

µ Terzo  passo:  

Ø Inizialmente  abbiamo  detto  che  se  

y

h  risolve  

( ) * *

 e  

y

p  risolve  

( ) *

 

y

h

+ y

p  risolve  

( ) *

.  Quindi   la  soluzione  sarà  y t

( )

= yh

( )

t + yp

( )

t .  

 

µ Ultimo  passo:  

Ø Scriviamo  in  un  sistema  la  nostra  soluzione  appena  trovata  

y t ( )

 con  il  problema  di  Cauchy  e  grazie   ad  esso  possiamo  trovare  il  valore  di  

c

1  e  

c

2  che  troviamo  nella  

y

h

( ) t

.  

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