Mattia Natali
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Eq. Lineari II Ordine
µ Premesse:
Ø Sia
y''+ ay'+ by = f t ( ) (*)
l’equazione completa ey''+ ay'+ by = 0 (**)
l’equazione differenziale omogenea cona,b ∈, f ∈C I ( )
.Ø Se
y
1, y
2 sono soluzioni di( ) * *
ek
1, k
2∈ ⇒
k
1y
1+ k
2y
2 risolve( ) * *
. Questo è vero solo per le equazioni lineari.Ø Se
y
h risolve( ) * *
ey
p risolve( ) * ⇒
y
h+ y
p risolve( ) *
.Ø Se
y
p, y
q sono soluzioni dell’equazione completa⇒
y
p− y
q risolve( ) *
.µ Passi del metodo risolutivo:
1. Trovare le soluzioni di
y''+ ay'+ by = 0
che chiameremoy
h. 2. Trovare una soluzione particolarey
p dell’equazione completa( ) *
. 3. Sommandoy
h+ y
p si trovano tutte le soluzioni di( ) *
.4. Imporre le eventuali condizioni iniziali per determinare anche le costanti.
µ Primo Passo:
Ø Cerchiamo il polinomio caratteristico, poniamo
y t ( ) = e
λty' t ( ) = λe
λty'' t ( ) = λ
2e
λt, sostituendoli nell’equazione
omogenea otteniamo
λ
2e
λt+ aλe
λt+ be
λt= 0
à( λ
2+ aλ + b ) e
λt= 0
àλ
2+ aλ + b = 0
. ØRadici reali distinte:
§
y''− 3y'+ 2y = 0
, cerchiamo il polinomio caratteristica sostituendoλ
d ady
d nell’equazione omogenea cond
che è il numero della derivata àλ
2− 3λ + 2 = 0
.§ Trovo le radici del polinomio caratteristico:
λ
1= 1, λ
2= 2
.§
y
1( ) t = e
λ1t= e
ty
2( ) t = e
λ2t= e
2t.§
y
h( ) t = c
1y
1( ) t + c
2y
2( ) t = c
1e
t+ c
2e
2t conc
1, c
2∈
. ØCaso complesso:
§ La soluzione del polinomio caratteristico saranno due numeri complessi coniugati:
λ
1= α + iβ
,λ
2= α − iβ
.§
y
h( ) t = e
αt( c
1cos βt + c
2sin βt )
.Ø
Radici reali coincidenti:
§ In questo caso avremo come soluzione caratteristica
λ
1= λ
2.§
y
h( ) t = c (
1+ c
2t ) e
λ1t, in pratica basta aggiungere al secondo monomio unat
come coefficiente.
µ Secondo Passo:
Ø Ricordiamo che la nostra equazione differenziale di partenza è
y''+ ay'+ by = f t ( ) (*)
.Mattia Natali
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Ø Se f t
( )
= Pm( )
t ⋅ eαt ⋅sin( ) β
t oppure cos( ) β
t conP
m( ) t
polinomio di gradom
, possiamo usare il metodo di somiglianza.Ø Prima cosa dobbiamo verificare se
λ
1=α
+ iβ
,λ
2 =α
− iβ
=λ
1 risolve il polinomio caratteristico del primo passo.§ Se
λ
1non è soluzione del polinomio caratteristico
, ossiaλ
12+ aλ
1+ b ≠ 0
, cioèe
αtsin βt, e
αtcosβt
non sono soluzioni dell’equazione omogenea à la soluzione particolare sarà yp( )
t = Qm( )
t eαtsinβ
t+ Rm( )
t eαtcosβ
t conQ
m( ) t
eR
m( ) t
polinomi di gradom
, ossia hanno lo stesso grado del polinomio che incontriamo nel termine noto dell’equazione differenziale iniziale. Nota bene: se, per esempio,m = 3
Qm( )
t = at3+ bt2 + ct + d, in altre parole bisogna avere tutti i gradi fino allo0
.§ Se
λ
1 èsoluzione del polinomio caratteristico
, siaρ
la molteplicità diλ
1, la soluzione particolare sarày
p( ) t = Q ⎡⎣
m( ) t e
αtsin βt + R
m( ) t e
αtcos βt ⎤⎦t
ρ.Ø Trovata la yp
( )
t , facciamo le sue derivate (nel nostro caso fino alla derivata seconda) e inseriamo il tutto nell’equazione iniziale per eliminare le eventuali costanti che troviamo inQ
m( ) t
eR
m( ) t
.µ Terzo passo:
Ø Inizialmente abbiamo detto che se
y
h risolve( ) * *
ey
p risolve( ) * ⇒
y
h+ y
p risolve( ) *
. Quindi la soluzione sarà y t( )
= yh( )
t + yp( )
t .
µ Ultimo passo:
Ø Scriviamo in un sistema la nostra soluzione appena trovata