µ Variabili  aleatorie  di  Bernoulli:  

Modelli  di  Variabili  Aleatorie  

µ Variabili  aleatorie  di  Bernoulli:  

Ø

X

 è  di  Bernoulli  di  parametro  

p ∈ 0,1 ( )

 ^se  

^{P X} ( ^{= 1} ) ^{= p}

 ^e  

^{P X} ( ^{= 0} ) ^{= 1− p}

^.  

Ø Proprietà:  

§

E X ( ) ^{:= 1·p}

X

( ) 1 ^{+ 0·p}

X

( ) 0 ^{= p}

^.  

§

Var X ( ) ^{= E X} ( )

²

^{− E X ( )}

²  ma  siccome  

X = X

²  à  

Var X

( )

^{= E X}

( )

^{− E X}

( )

^{2 = p − p2 = p 1− p}

( )

^.  

Ø Notazione:  

X

 è  di  Bernoulli  di  parametro  

p

 

⇔

 

X  B

^e

( ) p

^.   Ø Prove  di  Bernoulli:    

§ esperimenti  casuali,  indipendenti,  binari  (ossia  che  hanno  solo  due  possibili  esiti  che  chiamo   successo  e  fallimento).  

p = P successo ( )

^.  

§ Faccio  

n

 prove  di  Bernoulli  con  probabilità  di  successo  

p ∈ 0,1 ( )

^.  

§ Sia  

X

 numero  di  successi  in  queste  

n

 prove.  

p

_X

( ) k ^{= P X = k} ( )

^.  

§

X = X

1

+ X

2

+ ...+ X

n  à  

X

_k

= 1 se k-esima prova è successo 0 se è fallimento

⎧ ⎨

⎩

^.  

§

E X ( ) ^{= E X} (

1

+ ...+ X

_n

) ^{= E X} ( )

¹

^{+ ...+ E X} ( )

ⁿ

^{= np}

^.  

§

Var X ( ) ^{= Var X} (

1

+ ...+ X

n

) ^{= Var X} ( )

¹

p 1− p( )

+ ...+ Var X ( )

n

^{= np 1− p} ( )

^.  

§

P X ( = k ) ^{= n}

k

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ p

^k

( 1 − p )

^{n− k.}  

•

X

 è  binomiale  di  parametri  

n, p

,  

(

X  Bi

( )

n, p

)

 ^se  

P X ( = k ) ^{= ⎛ ⎝⎜ n k ⎞ ⎠⎟ p}

^k

( ^{1 − p} )

^{n− k}

^{, k} ∈ 0,1,...,n { }

0 altrimenti

⎧

⎨ ⎪

⎩ ⎪

^.  

• Ricordiamo  che  il  coefficiente  binomiale  si  calcola  

n k

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ : = n!

k! n ( − k ) ^!

^.  

§

X  B

ⁱ

( ) n, p ^{, Y  B}

i

( m, p )

 indipendenti:  

•

X  B

ⁱ

( ) n, p ^{⇔ X = X}

1

+ ...+ X

_n,  

X

^k

 B

e

( ) p

 indipendenti.  

•

Y  B

ⁱ

( m, p ) ^{⇔ Y = Y}

1

+ ...+ Y

_m,  

Y

^k

 B

e

( ) p

 indipendenti.  

•

X + Y = X

1

+ ...+ X

n

+ Y

1

+ ...+ Y

m

=

 somma  di  

n + m

.  

B

_e

( ) p

 indipendenti  

⇒

 

X + Y  B

ⁱ

( n + m

_i

, p )

^.  

Ø Utilizzo:  quando  

X

 può  assumere  solo  i  valori  0,1  (successo  o  fallimento).  

 

µ Densità  di  Poisson:  

Ø Ci  sono  in  media  

λ

 impurità  per  unità  di  lunghezza  

= I

_k

= 1 n

^.  

Ø

X =

 numero  di  impurità  sul  segmento.  

E X ( ) ^{= λ}

^,  

^X

k

=

 numero  di  impurità  in  

I

^k

 B

e

( ) p

^.  

Ø

X = X

1

+ ...+ X

n,  

E X ( ) ^{= E X} ( )

1

^{+ ...+ E X} ( )

n

^{= np}

^.  

^{X  B}

ⁱ

^{n, λ}

n

⎛ ⎝⎜ ⎞

⎠⎟

^.  

Ø

P X ( = k ) ^{= n}

k

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

λ n

⎛ ⎝⎜ ⎞

⎠⎟

k

1 − λ n

⎛ ⎝⎜ ⎞

⎠⎟

n− k

= n!

k! n ( − k ) ^{! λ}

k

n

^k

1 − λ n

⎛ ⎝⎜ ⎞

⎠⎟

n

con n→+∞

=e^−λ

1 − λ n

⎛ ⎝⎜ ⎞

⎠⎟

−k

1

=

 

= n n ( − 1 ) ^{... n} ( ^{− k + 1} )

n

^k

→1

1 − λ n

⎛ ⎝⎜ ⎞

⎠⎟

−k

→1

λ

^k

k! 1 − λ

n

⎛ ⎝⎜ ⎞

⎠⎟

n

→ λ

^k

k! e

^−λ.  

Ø Definizione:  

X

 è  una  variabile  aleatoria  di  Poisson  di  parametro  

λ

> 0  se  

P X ( = k ) ^{= λ}

k

k! e

^−λ

, k ∈ 0,1,2,... { }

0 altrimenti

⎧

⎨ ⎪

⎩⎪

.  

Ø Legge  del  filo:  

§ La  variabile  aleatoria  di  Poisson  può  essere  utilizzata  come  approssimazione  di  una  binomiale   di  parametri  

( ) n, p

 quando  

n  1 prove di Bernoulli

p  1 probabilità di successo

⎧ ⎨

⎩

^.  

§

Poisson ( ) λ ^{≅ B}

i

n, λ n

⎛ ⎝⎜ ⎞

⎠⎟ = B

i

( ) n, p ≅ Poisson np ( )

^.  

Ø Proprietà:  

§

X  Po(λ) ⇒ E X ( ) ^{= Var X} ( ) ^{= λ}

^.  

§

X  Po λ ( ) ^{,Y  Po µ} ( ) ⇒ X + Y  Po λ + µ ( )

^.  

Ø Utilizzo:  è  un’ottima  approssimazione  di  una  binomiale  di  parametri  

( ) n, p

,  quando  

n

 è  molto   grande  e  

p

 molto  piccolo  ponendo  

λ = np

.  In  altri  termini,  il  totale  dei  “successi”  in  un  gran   numero  

n

 di  ripetizioni  indipendenti  di  un  esperimento  che  ha  una  piccola  probabilità  di  riuscita  

p

,  è  una  variabile  aleatoria  con  distribuzione  approssimativamente  di  Poisson,  con  media  

λ = np

.  

 

µ Variabile  aleatoria  Geometrica:  

Ø Successione  di  prove  di  Bernoulli  con  

p = P successo ( )

 ^e  

^{X =}

 numero  di  prove  necessarie  per   vedere  il  primo  successo.  

§

P X ( = k )

 con  

k ∈ 1,2,... { }

^.  

•

P X ( = 1 ) = P I prova = "successo" ( ) ^{= p}

^.  

•

P X ( = 2 ) ^{= P} I prova = "insuccesso"

II prova = "succeso"

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = p 1− p ( )

^.  

• P X

(

= k

)

^{= p 1− p}

( )

^k−1  perché  prima  del  successo  della  

k

-­‐esima  prova  ci  sono  stati  

k − 1

 insuccessi.  

Ø Definizione:  

X  Geom p ( )

 ^se  

^{P X} ( ^{= k} ) ^{= p 1} ( ^{− p} )

^k−1

^{k ∈ 1,2,...} { }

0 altrimenti

⎧ ⎨

⎪

⎩⎪

.  

Ø

1 = P X ( = k )

∑

k

^{= p 1 ( − p )}

^k−1 k=1

∑

+∞ ,  sia  

q := 1− p ⇔ p = 1− q

 con  

0 < q < 1

 à  

q

^k−1

k=1

∑

+∞

⁼ _{1 − q} ¹

 

à  

q

k=0

∑

+∞

⁼ _{1 − q} ¹

^.  

Ø

m

_X

( ) t ^{= E e} _{⎡⎣ ⎤⎦ = e}

^{tX tk}

( ^{1 − p} )

^k−1

^p

i=1

∑

+∞

^{= e}

^{t k( )−1}

^{( 1 − p )}

^k

^p

k=0

∑

+∞

^{= pe}

^t

⎡⎣ ^e

^t

^{( 1 − p )} ⎤⎦

q k k=1

∑

+∞

^{= e}

^t

^{( 1 − p ) < 1}

⇔ t < − ln 1− p ( )

 

Ø

pe

^t

_⎡⎣ e

^t

( 1 − p ) _⎤⎦

q k k=1

∑

+∞

^{= pe}

^t

_{1 − e}

^t

₍ ^p _{1 − p )} ⁼ _e

^−t

_{− 1− p (} ^p ₎

.  Perché  è  una  serie  geometrica.  

Ø

m

_X

( ) 0 ^{= 1}

^.  

Ø

m ′

_X

( ) t ^{= p e} ( )

^−t

e

^−t

− 1− p ( )

⎡⎣ ⎤⎦

²

= m

_X

( ) t ^e

^−t

e

^−t

− 1− p ( ) ^{= m}

^X

( ) ^{t 1}

1 − e

^t

( 1 − p )

^.  

§

m ′

_X

( ) 0 ^{= 1}

p = E X ( )

^.  

Ø

m

_X

′′ ( ) t ^{= ′ m}

X

( ) t _⎡⎣ ^{1 − e}

^t

( ^{1 − p} ) _{⎤⎦ − −e ⎡⎣}

^t

( ^{1 − p} ) _⎤⎦

1 − e

^t

( 1 − p )

⎡⎣ ⎤⎦

^{2 .}  

§

m ′′

_X

( ) 0 ⁼ 1

p p + 1− p

p

²

= 2 − p

p

²

= E X ( )

^{2 .}  

§

Var X ( ) ^{= E X} ( )

²

^{− E X ( )}

²

^{= 2} _p ^{− p}

²

⁻ _p ¹

²

^{= 1 − p} _p

²

⁼ _p ¹

²

^{− 1} _p

^.  

Ø

X  Geom p ( )

^,  

^{P X} ( ^{> k} ) = P le prime k prove sono insuccessi ( ) ^{= 1− p} ( ) ^{... 1} ( ^{− p} )

k volte

= 1− p ( )

^k  

⇒ P X ≤ k

( )

^{= 1− 1− p}

( )

^k.  

Ø Proprietà  di  assenza  di  memoria:  

§

P X ( > k + h | X > h ) = P X > k ( )

^.  

§ Dimostrazione:  

•

P X ( > k + h | X > h ) ^{= P X} ( > k + h & X > h )

P X ( > h ) ^{= P X} ( ^{> k + h} )

P X ( > h ) ⁼ ( ^{1 − p} )

^k+h

1 − p

( )

^h

⁼

 

= 1− p

( )

^k = P X > k

( )

^.  

§

P a ( < X ≤ b | X > h ) = P a − h < X ≤ b − h ( )

^.  

Ø Utilizzo:  è  utile  quando  vogliamo  sapere  la  probabilità  che  la  

k

-­‐esima  ripetizione  sia  il  primo   successo.  

 

µ Variabile  aleatoria  ipergeometrica:  

Ø Definizione:  una  variabile  aleatoria  

X

 si  dice  ipergeometrica  di  parametri  N, M  e  

n

 se  ha  massa  

di  probabilità  

P X ( = i ) ⁼

N i

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

M n − i

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

N + M n

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

 con  i= 0,1,...,n.  

Ø Utilizzo:  possiamo  capirlo  tramite  un  esempio.  Una  scatola  contiene  

N

 batterie  accettabili  e  

M

  difettose.  Si  estraggono  senza  rimessa  e  in  maniera  casuale  

n

 batterie.  Denotiamo  con  

X

 il   numero  di  batterie  accettabili  contenute  nel  campione  estratto.  

   

µ Variabili  aleatoria  uniforme:  

Ø Se  noi  prendessimo  un  segmento  lungo  

1

 e  un  intervallo  che  va  da  

a

 a  

b

 ivi  contenuto,  se  

x

 è   scelto  casuale  significa  che  la  probabilità  che  

x ∈ a,b [ ]

 dipende  soltanto  dalla  lunghezza  del   segmento  e  non  dalla  sua  posizione.  

Ø L’insieme  

U

 è  uniforme  in  

[ ] 0,1

 se  la  sua  densità  è  

f

_U

( ) u ^{:= 1 u ∈ 0,1} [ ]

0 altrimenti

⎧ ⎨

⎪

⎩⎪

^.  

§ P U

(

∈ u,u + du

[ ] )

^{= du}  con  

u ∈ 0,1 [ ]

^.  

§

P a ( < U ≤ b ) ^{= b − a}

^.  

§

0 < a < b < 1

 

P a ( + h < U ≤ b + h ) ^{= b − a}

 con  

0 < a + h < b + h < 1

.  

Ø Definizione  generale:  una  variabile  aleatoria  continua  si  dice  uniforme  sull’intervallo  

[ ] α,β

,  se  ha   funzione  di  densità  data  da  

f x ( ) ⁼ β − α ¹ se α ≤ x ≤ β

0 altrimenti

⎧

⎨ ⎪

⎩ ⎪

^.  

Ø

U  U 0,1 [ ]

.  I  passi  successivi  quindi  sono  riferiti  ad  un  intervallo  ampio  

1

.  

§

E U ( ) ⁼ ∫

_−∞^+∞

^{uf u} ( ) ^{du = u du}

0

∫

1

^{= u} ₂

² 0,1

= 1 2

^.  

§

E U ( )

²

⁼ _∫

_−∞^+∞

^u

²

^{f u ( ) du = u} _∫

₀^{1 2}

^{du = u} ₃

³

0,1

= 1

3 ⇒ Var U ( ) ^{= 1}

3 − 1

4 = 4 − 3 12 = 1

12

^.  

§

U  U 0,1 [ ]

^{,  FU}

( )

^{u =}

∫

_−∞^+∞fU

( )

x ^dx= 0 x 1

x< 0 0≤ x < 1 x≥ 1

⎧

⎨⎪

⎩⎪ ^.  

Ø

( b − a ) ^{U + a = X}

 con  

b > a

.  

§

U = 1

 à  

( b − a ) ^{1 + a = b}

^.  

§

U = 0

 à  

( b − a ) ^{0 + a = a}

^.  

Ø

X ~ U a,b [ ]

^,  

^{X = b − a} ( ) ^{U + a}

^,  

^{U ~ U 0,1} [ ]

^.  

Ø

E X ( ) ^{= E b − a} _⎡⎣ ( ) ^{U + a} _{⎤⎦ = b − a} ( ) ^{E U} ( ) ^{+ a = b − a}

2 + a = a + b 2

^.   Ø

Var X ( ) = Var b − a _⎡⎣ ( ) ^{U + a} _{⎤⎦ = b − a} ( )

²

^{Var U} ( ) ⁼ ( ^{b − a} )

²

12

^.  

Ø

F

_X

( ) x ^{= P X ≤ x} ( ) ^{= P b − a} ( ( ) ^{,U + a ≤ x} ) ^{= P U ≤ ⎛} _{⎝⎜ b} ^{x − a} _{− a} ^⎞ _⎠⎟ ^{= F}

^U

^⎛ _{⎝⎜ b} ^{x − a} _{− a} ^⎞ _⎠⎟

^.  

Ø

F

_X

′ ( ) x ^{= d}

dx F

_U

x − a b − a

⎛ ⎝⎜ ⎞

⎠⎟ = ′ F

_U

x − a b − a

⎛ ⎝⎜ ⎞

⎠⎟

1 b − a = f

U

x − a b − a

⎛ ⎝⎜ ⎞

⎠⎟

1 b − a

^.  

Ø

f

_X

( ) x ^{= b − a 1}

0

0 < x − a b − a < 1 altrimenti

⎧

⎨ ⎪

⎩ ⎪

^.  

§

0 < x − a

b − a < 1 ⇔ 0 < x − a < b − a ⇔ a < x < b

.  

Ø

F

_X

( ) x ^{= F}

U

x − a b − a

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟ = 0

x − a b − a 1

x < a 0 < x − a

b − a < 1 ⇔ a < x < b x ≥ b

⎧

⎨

⎪ ⎪

⎩

⎪ ⎪

.  

Ø Utilizzo:  quando  la  variabile  aleatoria  ha  le  stesse  probabilità  di  cadere  vicino  a  un  qualunque   punto  dell’intervallo.  

 

µ Variabili  aleatorie  normali  o  gaussiane:  

Ø Definizione:  

z

 è  normale  standard  se  la  sua  densità  

f

_Z

( ) z ^{: = 1} _2π ^e

^{−z22 .}  

§ −∞ f_Z

( )

z ^{dz= 1 ⇔ 2}

^π

⁼

∫

_−∞^{+∞e−z22 dz}

∫

+∞ ^.  

§

1

2π e

⁻

s² 2

ds

−∞

∫

z

^{: = Φ z ( ) : = P Z ≤ z ( )}

^.  

§

Φ −z ( ) ^{= 1− Φ z} ( )

^.  

Ø m_Z

( )

t ^{= E e}_{⎡⎣ ⎤⎦ =}^{tZ etZ 1} 2

π

^e

−z² 2 dz

−∞

∫

+∞ ⁼ ₂¹

_π

^e−21

⁽

^z2−2tz+t2

⁾

^+t

2

2 dz

−∞

∫

+∞ ^{= 1}₂

_π

^et

2

2 e⁻

z−t

( )²

2 dz

−∞

∫

+∞

sostituisco  

u = z − t

,  du= dz  à  

m z ( ) ^{= e}

^t22

_2π ¹ ∫

_−∞^+∞

^e

^−u22

^du

=1

= e

^t

2

2 .  

§

m

_Z

( ) 0 ^{= 1}

^.  

§

m

_Z

′ ( ) t ^{= te}

^t22

^{= tm}

Z

( ) t

^.  

•

m

_Z

′ ( ) 0 ^{= 0}

^.  

§

m

_Z

′′ ( ) t ^{= m}

Z

( ) t ^{+ t ′ m}

Z

( ) t

^.  

•

m

_Z

′′ ( ) 0 ^{= m}

^Z

( ) ⁰ + 0 = 1 ⇒ E Z ( ) ^{= 0}

^,  

^{E Z} ( )

²

= 1 = Var Z ( )

^.  

Ø Definizione:  

X

 variabile  aleatoria  con  

E X ( ) ^{= 0}

^,  

^{Var X} ( ) ^{= 1 ⇒ X}

 è  standard.  

Ø Definizione:  

X

 variabile  aleatoria  è  normale  se:  

X = aZ + b

,  

a > 0

,  

b ∈

^,  

Z

 è  normale   standard.  Se  

Z

 è  normale  standard  

⇔

 

−Z

 è  normale  standard.  

Ø Def:  

X

 è  normale  con  media  

µ

 e  varianza  

σ

²  

( X ~ N ( µ,σ

²

) )

 ^se  

^{X = σZ + µ}

^,  

^Z

 normale   standard  

Z ~ N 0,1 ( )

^.  

Ø

X ~ N ( µ,σ

²

)

^,  

^{Y =} α X + β ∈N , ( )

 con  

a ≠ 0

.  

§ Dimostrazione:  

X ~ N ( µ,σ

²

) ^{⇔ X = σZ + µ}

^,  

^{Z ~ N 0,1 ( )}

⇒ Y = α X + β = α σZ + µ ( ) ^{+ β = ασ} ( ) ^{Z + αµ + β}

^.  

§

E Y ( ) ^{= E} ( ^{α X + β} ) ^{= αE X} ( ) ^{+ β = αµ + β}

^.  

§

Var Y ( ) ^{= Var} ( α X + β ) ⁼ α

²

Var X ( )

^.  

Ø

X ~ N ( µ,σ

²

)

,  calcoliamo  la  funzione  di  ripartizione  e  densità.  

§ Con  

X = σZ + µ

,  

F

_X

( ) x ^{= P X ≤ x} ( ) ^{= P} ( ^{σZ + µ ≤ x} ) ^{= P Z ≤ ⎛} _⎝⎜ ^x _σ ^{− µ ⎞} _⎠⎟ ^{= Φ ⎛} _⎝⎜ ^x _σ ^{− µ ⎞} _⎠⎟

 ^à  

F

_X

= Φ x − µ σ

⎛ ⎝⎜ ⎞

⎠⎟

^.  

§

P a ( < X < b ) ^{= F}

X

( ) b ^{− F}

X

( ) a

 per  le  variabili  aleatorie  continue.  

P a ( < X < b ) ^{= Φ ⎛} _⎝⎜ ^b _σ ^{− µ ⎞} _⎠⎟ ^{− Φ ⎛} _⎝⎜ ^{a −} _σ ^{µ ⎞} _⎠⎟

^.  

§

f

_X

( ) x ^{= ′ F}

X

( ) x ^{= d}

dx Φ x − µ σ

⎛ ⎝⎜ ⎞

⎠⎟ = ′ Φ x − µ σ

⎛ ⎝⎜ ⎞

⎠⎟

1 σ = f

Z

x − µ σ

⎛ ⎝⎜ ⎞

⎠⎟

1 σ = 1

2π e

−1 2

x−µ σ

⎛⎝⎜ ⎞

⎠⎟

⎡ 2

⎣⎢

⎢

⎤

⎦⎥

⎥

1 σ =

= 1

2πσ

²

e

−(x−µ)²

2σ²

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

.  

Ø

X ~ N ( µ,σ

²

)

^,  

^X _σ ^{− µ ~ N 0,1 ( )}

^.  

§

E X − µ

σ

⎛ ⎝⎜ ⎞

⎠⎟ = E X ( ) ^{− µ}

σ = 0

,  

Var X − µ

σ

⎛ ⎝⎜ ⎞

⎠⎟ = V − 1 σ X − µ

σ

⎛ ⎝⎜ ⎞

⎠⎟ = 1

σ

²

Var X ( ) ^{= 1}

^.  

Ø Teorema:  

X

₁

, X

₂

,..., X

_n  normali  indipendenti  

⇒ X

1

+ ...+ X

n  è  normale.  

§ Dimostrazione:  

X ~ N ( µ,σ

²

)

^.  

^m

^X

^{( ) t = E e} ( )

^tX  ma  siccome  è  normale  sappiamo  che  

∃

 

X = σZ + µ

,  

Z ~ N 0,1 ( )

^.  

m

_X

( ) t = E e ⎡⎣

^{t(σ Z + µ)}

⎤⎦ = E e ⎡⎣

^{( )tσ Z}

e

^tµ

⎤⎦ = e

^tµ

E e

^{( )tσ}

′t

⎡

z

⎣⎢ ⎤

⎦⎥ = e

^tµ

m

_Z

( ) tσ = e

^tµ

e

( )tσ²

2

= e

t²σ² 2 +tµ

⎡

⎣⎢

⎢

⎤

⎦⎥

⎥  à  

m

_X

= e

t²σ² 2 +tµ

⎡

⎣⎢

⎢

⎤

⎦⎥

⎥.  

•

m

_X

1+...+ Xn

= m

_X1

( ) t ^...m

X_n

( ) t ^{= exp t}

²

^σ

¹²

2 + t µ

₁

⎧ ⎨

⎩

⎫ ⎬

⎭ ...exp t

²

σ

²_n

2 + t µ

_n

⎧ ⎨

⎩

⎫ ⎬

⎭ =

exp t

²

σ

²k

2 + tµ

k

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

k=1

∑

n

⎧ ⎨

⎩⎪

⎫ ⎬

⎭⎪ = exp t

²

2 σ

²k

k=1

∑

n

′

( )σ ²

+ t µ

k k=1

∑

n µ '

⎧

⎨ ⎪

⎩ ⎪

⎫

⎬ ⎪

⎭ ⎪ = exp t

²

2 ( ) σ ′

²

+ t ′ µ

⎧ ⎨

⎩

⎫ ⎬

⎭

⇒ X

₁

+ ...+ X

_n

~ N µ

_k

k=1

∑

n

^{, σ}

^2k k=1

∑

n

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

^.  

Ø Utilizzo:  questo  tipo  di  variabile  aleatoria  è  molto  importante  e  utilizzata  grazie  al  teorema  del   limite  centrale  che  tratterremo  più  avanti.  

 

µ Esponenziali:  

Ø Def:  

X

 è  esponenziale  di  parametro  

λ

> 0  

(

X ~ €

( ) λ )

 ^{se  fX}

( )

^{x =}

^λ

^{e−λx x> 0}

0 altrimenti

⎧⎨

⎩ ^.  

Ø

F

_X

( ) x ⁼ ∫

_−∞^x

^f

X

( ) s ^{ds =} 0 x < 0 λe

^−λs

ds

0

∫

x

^{= −e ⎡⎣}

^−λs

^⎤⎦

^x0

^{= 1− e}

^−λx

^{x ≥ 0}

⎧ ⎨

⎪

⎩⎪

.  

Ø Funzione  generatrice  dei  momenti:  

m

_X

( ) t = E e ( )

^tX

⁼ _∫

_−∞^+∞

^e

^tx

^f

^X

^{( ) x dx =} _∫

₀^+∞

^e

^tx

^λe

^−λx

^{ds = λ} _∫

₀^+∞

^e

^{−(λ −tλ ')x}

^dx

 con  

λ

> t  à  

= λ

λ − t

( ) ∫

₀^+∞

( ^{λ − t} ) ^e

^{−(λ −t)x}

^dx

  

=1

 

^.  

§

m

_X

( ) t ⁼ _{λ − t} ^λ

^.  

§

m '

_X

( ) t ^{= −λ −1} ( )

λ − t

( )

²

⁼ ( ^{λ − t λ} )

^{2  à}  

^{m ′}

^X

( ) ^{0 =} _λ ^{1 = E X} ( )

^.  

§

m ′′

_X

( ) t ^{= −λ λ − t} ( ) ( ) ⁻¹

λ − t

( )

⁴

⁼ ( ^{λ − t 2λ} )

^{3  à}  

^{m ′′}

^X

( ) ^{0 = 2λ} _λ

3

= 2

λ

²

= E X ( )

^{2 .}  

§

Var X ( ) ⁼ _λ ²

2

− 1 λ

²

= 1

λ

^{2 .}   Ø Assenza  di  memoria:  

§

X ~ € ( ) λ ⇒ P X > t + s | X > t ( ) = P X > s ( )

^.  

§ Dimostrazione:  

P X ( > t + s | X > t ) ^{= P X} ( > t + s & X > t )

P X ( > t ) ^{= P X} ( ^{> t + s} )

P X ( > t ) ⁼

= 1 − F

_X

( t + s )

1 − F

_X

( ) t ^{= e}

−λ t + s( )

e

^−λt

= e

^−λs

= P X > s ( )

,  ricorda  che  

P X ( > z ) ^{= e}

^−λx

^{⇒ F}

X

( ) x ^{= 1− e}

^−λx.  

Ø

cX ~ € λ c

⎛ ⎝⎜ ⎞

⎠⎟

^.    

µ Variabili  aleatorie  di  tipo   Γ :  

Ø Definizione:  

X

 è  

Γ ( ) α,λ

 ^{se  f}X

( )

X ⁼

^λ

α

Γ

( ) α

^{xα −1e−λx x> 0} 0 altrimenti

⎧

⎨⎪

⎩⎪ ^.  

Ø Nota:  

Γ ( ) α

 serve  a  far  sì  che  la  densità  faccia  uno  in  

( −∞,+∞ )

^:  

f

_X

( ) x ^dx

−∞

∫

+∞

^{= 1 =} _Γ ^λ _{( ) α}

^α 0

^x

^{α −1}

^e

^−λx

^dx

∫

+∞

^{⇒ Γ ( ) α = λ}

^α 0

^x

^{α −1}

^e

^−λx

^dx

∫

+∞  facciamo  il  cambiamento  

di  variabili  

y = λx

,  

dy = λdx

 à  

λ

^α

y λ

⎛ ⎝⎜ ⎞

⎠⎟

α −1

e

^{− y}

dy λ

0

∫

+∞

^{= λ} _λ

^αα

∫

^0+∞

^y

^{α −1}

^e

^{− y}

^{dy = Γ ( ) α}

^.  

Ø Γ

( ) α

^:=

∫

₀^{+∞xα −1e− xdx.}  

Ø Gamma  di  Eulero:  Γ 1

( )

⁼

∫

₀^{+∞e− xdx= 1.}  

§ Osservazione:  

Γ 1, ( ) λ ^{= €} ( ) ^λ

^.  

§ Per  mezzo  dell’integrazione  per  parti:

Γ

( ) α

⁼

∫

₀^{+∞yα −1e− ydy= −e− yyα −1 +∞0+}

∫

^0+∞

^{( α}

^{− 1}

⁾

^{y(α −1)−1e− ydy=}

= a − 1

( ) ∫

₀^{+∞y(α −1)−1e− ydy=}

^{( α}

^{− 1}

⁾

^Γ

^{( α}

^{− 1}

⁾

 ^à  

^{Γ ( ) α = ( α − 1 ) Γ ( α − 1 )}

^.  

§

Γ n ( ) ^{= n − 1} ( ) ^{Γ n − 1} ( ) ^{= n − 1} ( ) ( ^{n − 2} ) ^{Γ n − 2} ( ) ^{....Γ 1} ( ) ^{= n − 1} ( ) ^!

^.  

Ø

X ~ Γ a, ( ) λ

.  Funzione  generatrice  dei  momenti:  

§ E e

( )

^{tX =} _Γ

^λ _{( ) α}

^α

_∫

₀^{+∞xα −1e−λxetxdx=} _Γ

^λ _{( ) α}

^α

_∫

₀^{+∞xα −1e−(λ −t)xdx=}

_{( λ} ^λ

_{− t}^α

₎

^α

^{( λ}

_Γ^{− t}

_{( ) α} ⁾

^α

_∫

₀^{+∞xα −1e−(λ −t)dx}

=1

=

= λ

^α

λ − t

( )

^{α .}  

§

m

_X

( ) t ^{= ⎛} _{⎝⎜ λ − t} ^{λ ⎞} _⎠⎟

^α.  

•

m

_X

′ ( ) t ^{= α} _⎝⎜ ^⎛ _{λ − t} ^{λ ⎞} _⎠⎟

^{α −1}

^{−λ −1} ( )

λ − t

( )

²

⎡

⎣ ⎢

⎢

⎤

⎦ ⎥

⎥ = αλ

^α

λ − t

( )

^{α +1  à}  

^{m ′}

^X

( ) ^{0 = α} _λ

^.  

•

m

_X

′′ ( ) t ^{= − αλ}

^α

( ^{α + 1} ) ( ^{λ − t} )

^α

( ) ¹

λ − t

( )

^{2α +2  à  m′′X}

( )

^{0 =}

^{α α} (

^{+ 1}

)

λ

^{2 .}  

§

E X ( ) ^{= α} _λ

^;  

§ E X

( )

^{2 =}

^{α α (} _λ

^{2+ 1}

⁾

^;  

§

Var X ( ) ^{= α α + 1} ( )

λ

²

− α

²

λ

²

= α

λ

^{2 .}  

Ø Proprietà:  

X ~ Γ ( ) α,λ ^{,Y ~ Γ} ( ) ^β,λ

 indipendenti  

⇒ X + Y ~ Γ ( α + β,λ )

^.  

§ Dimostrazione:  

m

_X+Y

( ) t ^{= m}

X

( ) t ^m

Y

( ) t ^{= ⎛} _{⎝⎜ λ − t} ^{λ ⎞} _⎠⎟

^α

^⎛ _{⎝⎜ λ − t} ^λ _⎠⎟ ^⎞

^β

^{= ⎛} _{⎝⎜ λ − t} ^{λ ⎞} _⎠⎟

^{α +β}

⇒ X + Y ~ Γ ( α + β,λ )

^.  

§ Utilità:  

• Capire  

X,Y ~ € ( ) λ

 indipendenti.  

♦

X ~ € ( ) λ ^{= Γ 1,} ( ) ^λ

Y ~ € ( ) λ ^{= Γ 1,} ( ) ^λ

 ^à  

^{X + Y ~ Γ 2,} ( ) ^λ

^.  

♦ In  generale:  

X

₁

,..., X

_n

~ € ( ) λ

 ^à  

^X

¹

^{+ X}

²

^{+ ...+ X}

ⁿ

^{~ Γ n,} ( ) ^λ

^.  

 

µ Distribuzioni  Chi-­‐quadro:  

Ø

Z

₁²

+ ...+ Z

n

2

~ Γ n

2 , 1 2

⎛ ⎝⎜ ⎞

⎠⎟ = χ

²

( ) n

 chi-­‐quadro  con  

n

 gradi  di  libertà.  

§

X ~ χ

²

( ) n ^{⇔ X ~ Γ n} 2 , 1

2

⎛ ⎝⎜ ⎞

⎠⎟

^.  

§

E X [ ] ⁼

n 2 1 2

= n

.  

§

Var X ( ) ⁼

n 2 1 2

⎛ ⎝⎜ ⎞

⎠⎟

2

= 2n

.  

§

X ~ χ

²

( ) n

^,  

^f

X

( ) x ⁼ 1 2

n 2

1 Γ n

2

⎛ ⎝⎜ ⎞

⎠⎟

x

n 2−1

e

⁻

x

2

x > 0

0 altrimenti

⎧

⎨ ⎪⎪

⎩ ⎪

⎪

.  

§

X ~ χ

²

( ) n ^{,Y ~ χ}

²

( ) ^m

 indipendenti  à  

X + Y = X

₁²

+ ...+ X

_n²

+ Y

₁²

+ ...+ Y

_m²

⇒ X + Y ~ χ

²

( n + m )

^.  

Ø Se  

X

 è  una  chi-­‐quadro  con  

n

 gradi  di  libertà  e  

α

 è  un  reale  compreso  tra  

0

 e  

1

,  si  definisce  la   quantità  

χ

_α,n²  tramite  l’equazione  seguente:  

P X ( ≥ χ

_α,n²

) ^{= α}

^.  

 

µ Distribuzioni  t:  

Ø Se  

Z

 e  

C

_n  sono  variabili  aleatorie  indipendenti,  la  prima  normale  standard  e  la  seconda  chi-­‐

quadro  con  

n

 gradi  di  libertà,  allora  la  variabile  aleatoria  

T

_n  definita  come  

T

_n

: = Z

C

_n

n

 si  dice   avere  distribuzione  

t

 con  

n

 gradi  di  libertà  à  

T

_n

~ t

_n.  Tale  variabile  aleatorie  viene  definita   spesso  

t

 di  Student.  

§

f

_T

( ) t ^{= Γ}

n + 1 2

⎛ ⎝⎜ ⎞

⎠⎟

Γ n 2

⎛ ⎝⎜ ⎞

⎠⎟ nπ 1+ t

²

n

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

n+1 2

 con  

t

 a  

n

 gradi  di  libertà.  

§

E T [ ]

_n

^{= 0}

 con  

n ≥ 2

.  

§

Var T ( )

_n

^{= n}

n − 2

 con  

n ≥ 3

.  

Ø Se  

T

_n

~ t

_α,n  con  

α ∈ 0,1 ( )

 ^à  

^{P T} (

n

≥ t

_α,n

) ^{= α}

^.  

§

T

 è  simmetrica  à  

P T (

_n

≥ −t

_α,n

) ^{= 1− α}

^.  

 

µ Teoremi  e  Teorie:  

Ø Teoria  dell’affidabilità:  

§

T =

 istante  di  rottura.  

T > t ⇔

 all’istante  

t

 il  sistema  funziona.  

§

P T ( > t ) ^{= 1− F}

T

( ) t ⁼

 funzione  di  sopravvivenza.  

§ Def:  intensità  di  rischio  o  tasso  di  guasto.  

λ

T

( ) t ^{:= f}

^T

( ) ^t

1 − F

T

( ) t

^.  

§

P T ( ∈(t,t + dt] | T > t ) ^{= P T} ( ∈(t,t + dt]& T > t )

P T ( > t ) ^{= P T} ( ∈(t,t + dt] )

1 − F

T

( ) t ^{ f}

^T

( ) ^{t dt}

1 − F

T

( ) t ^{= λ}

^T

( ) ^{t dt}

 

§

T > 0

 

λ

T

( ) t ^{⇒ f}

T

( ) t

 è  nota.  

§

λ

T

( ) t ^{:= f}

^T

( ) ^t

1 − F

T

( ) t ^{= − dt d ln 1} ( ^{− F}

^T

( ) ^t )

 integrando  il  tutto  à  

λ

_T

( ) s ^ds

0

∫

t

^{= −} ∫

^0t

_ds ^{d ln 1 ( − F}

^T

^{( ) s ) ds} = − ln 1− F _⎡⎣ (

_T

( ) t ) ^{− ln 1− F} (

^T

^{( ) 0} ) _⎤⎦

^,  

λ

_T

( ) s ^ds

0

∫

t

^{= ln 1− F (}

^T

^{( ) 0 )}

   

=0

 

− ln 1− F (

T

( ) t )

 

^{⇒ 1− F}

^T

^{( ) t = e}

⁻

^∫

^{0tλT( )s ds.}  

F

_T

( ) t ^{= 1− exp −} { ∫

₀^t

^λ

T

( ) s ^ds }

.  Ricorda  che:  

f

_T

( ) t ^{= − d}

dt ( 1 − F

_T

( ) t )

^.  

§

λ

T

( ) t ⁼ λ ⇔ T ~ € λ ( )

 ^à  

^F

T

( ) t ^{= 1− exp −} { } ∫

₀^t

^{λ ds = 1− e}

^−λt.  

§

λ

^T

⇒ P T > t + s | T > s ( ) ≤ P T < t ( )

^{,  (}

_

 significa  non  decrescente).  

•

P T ( > t + s | T > s ) ^{= P T} ( > t + s & T > s )

P T ( > s ) ^{= P T} ( ^{> t + s} )

P T ( > s ) ^{= 1 − F}

^T

( ^{t + s} )

1 − F

T

( ) s ⁼

= exp

{

−

∫

₀^{t+ s}

λ

T

( )

u ^du

}

exp

{

−

∫

₀^s

λ

T

( )

u ^du

}

^{= exp −}

{ ( ^∫

^{0t+ s}

^λ

^T

^{( )}

^{u du−}

^∫

^0s

^λ

^T

^{( )}

^{u du}

) }

^{= exp −}

{ ^{( ∫}

^{st+ s}

^λ

^T

^{( )}

^{u du}

⁾ }

 

•

P T ( > t ) ^{= 1− F}

T

( ) t ^{= exp −} { ∫

₀^t

^λ

T

( ) u ^du }

^.  

• Facendo  i  grafici  vediamo  che  

P T ( > t + s | T > s ) ≤ P T < t ( )

 effettivamente  è  vera.  

§

T

 è  Weibull  

⇔ λ

T

( ) t ⁼ αβt

^{β −1.}   Ø Teorema  del  limite  centrale:  

§

X

₁

, X

₂

,...

 variabili  aleatorie  indipendenti,  tutte  con  la  stessa  formula  di  ripartizione,  

E X ( )

₁

^{= E X} ( )

²

^{= ... = µ}

^,  

^{Var X} ( )

¹

^{= Var X} ( )

²

^{= ... = σ}

^2.  

§

1

n X

_k

k=1

∑

n

^{= X}

ⁿ  media  campionaria.  

•

E X ( )

_n

^{= µ}

^.  

•

Var X ( )

_n

^{= σ} _n

^{2 .}  

•

P X (

_n

− µ > ε )

n→∞

^→ 0

 (legge  dei  grandi  numeri).  

•

Var X (

_n

− µ ) ^{= Var X} ( )

ⁿ

^{= σ} _n

^{2 .  Xn }

^µ

^{± k Var X}

( )

^{n =}

^µ

^±

^σ

_n ^.  

§ X_n −

µ



σ

n ^.  

§ Teorema  limite  centrale:  

X

₁

, X

₂

,..

 variabili  aleatorie  indipendenti  con  la  stessa  formula  di   ripartizione  

E X ( )

₁

^{= E X} ( )

2

^{= ... = µ}

^,  

^{Var X} ( )

1

^{= Var X} ( )

2

^{= ... = σ}

²

^{⇒ X}

ⁿ

_σ ^{− µ n}

^.  

nlim→+∞P X_n−

µ

σ

^{n ≤ z}

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = Φ z

( )

^{= 1}

2

π

^e

−u² 2 du

−∞

∫

z ^.  

§

Z

_n

= X

_n

− µ

n1

σ

n ≈ N 0,1 ( )

^{.  X}n = Z_n

σ

n +

µ

,  

X

_n

≈ N µ, σ

²

n

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

^.