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Funzioni relative a variabili aleatorie in R In R sono implementate le seguente funzioni relative alle variabili aleatorie pi`u comuni. •

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Academic year: 2021

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(1)

Funzioni relative a variabili aleatorie in R

In R sono implementate le seguente funzioni relative alle variabili aleatorie pi`u comuni.

• d<nome-var-al>(x,<altri parametri>) densit`a (o funzione di probabilit`a) della v. a. nel punto x

• p<nome-var-al>(x,<altri parametri>) funzione di distribuzione cumulata nel punto x

• q<nome-var-al>(a,<altri parametri>) quantile a-esimo

• r<nome-var-al>(n,<altri parametri>) campione di n elementi estratti secondo la variabile aleatoria

Variabile aleatoria binomiale

Per la variabile aleatoria con legge Binomiale di parametri (n, p)

dbinom(x,n,p) pbinom (x,n,p) qbinom (a,n,p) rbinom (N,n,p)

A fianco sono riportate rappresentazioni grafiche delle funzioni di probabilit`a e di distribuzione cumulata.

Attenzione: non sono propriamente grafici di funzione. Per`o, per comodit`a espositiva, qui e in seguito ci riferiremo a queste rapp- resentazioni come “grafici di”.

n=20 p=0.40 x=seq(0,n) dbinom(x,n,p) pbinom(x,n,p)

cbind(x,round(dbinom(x,n,p),6),round(pbinom(x,n,p),6)) x

[1,] 0 0.000037 0.000037 [2,] 1 0.000487 0.000524 [3,] 2 0.003087 0.003611 [4,] 3 0.012350 0.015961 [5,] 4 0.034991 0.050952 [6,] 5 0.074647 0.125599 [7,] 6 0.124412 0.250011 [8,] 7 0.165882 0.415893 [9,] 8 0.179706 0.595599 [10,] 9 0.159738 0.755337 [11,] 10 0.117142 0.872479 [12,] 11 0.070995 0.943474 [13,] 12 0.035497 0.978971 [14,] 13 0.014563 0.993534 [15,] 14 0.004854 0.998388 [16,] 15 0.001294 0.999683 [17,] 16 0.000270 0.999953 [18,] 17 0.000042 0.999995 [19,] 18 0.000005 1.000000 [20,] 19 0.000000 1.000000 [21,] 20 0.000000 1.000000

0 5 10 15 20

0.000.050.100.15

Binomiale n=20 p=0.4

x

dbinom(x, n, p)

0 5 10 15 20

0.00.20.40.60.81.0

Binomiale n=20 p=0.4

x

pbinom(x, n, p)

1

(2)

0 5 10 15 20

0.000.100.200.30

Binomiale n=20 p= 0.1

0 5 10 15 20

0.000.100.200.30

Binomiale n=20 p= 0.3

0 5 10 15 20

0.000.100.200.30

Binomiale n=20 p= 0.5

0 5 10 15 20

0.000.100.200.30

Binomiale n=20 p= 0.9

Grafici della densit`a [probabilit`a] bino- miale per n=10 e per diversi valori della probabilit`a di successo

pr=c(0.10,0.30,0.50,0.90) par(mfrow=c(2,2))

for (i in pr) {

prob_bin= dbinom(x,n,i) plot(x, prob_bin ,type="h",

ylim=c(0,.3),

ylab = " ",xlab = " ",

main=paste("Binomiale n=20 p=",i)) abline(h=0)

}

par(mfrow=c(1,1))

a) Che cosa si osserva? Quale forma hanno le diverse funzioni di probabilit`a? Quale `e la moda?

b) Calcolare la media delle variabili aleatorie binomiali per i valori di probabilit`a scelti a partire dai valori tabulati precedentemente e confrontarli con quelli teorici.

media=rep(0,length(pr)) for (i in 1:length(pr)) { prob_bin= dbinom(x,n,pr[i]) media[i]=sum(prob_bin*x) }; media

c) Calcolare la mediana “teorica” delle variabili aleatorie binomiali per i valori di probabilit`a scelti.

mediana=rep(0,length(pr)) for (i in 1:length(pr))

{ mediana[i]= qbinom(0.50,n,pr[i]) } mediana

ESERCIZI (esulano dalle finalit` a del corso UnigeStat)

1. Si sa che il 70% di una certa variet`a di bulbi fiorir`a. Si piantano alcuni bulbi. Che cosa vuol dire in questo contesto che le variabili campionarie sono i.i.d.????

(a) Si piantano 10 bulbi. Calcolare la probabilit`a che fioriscano: esattamente 3 bulbi; al pi`u 6 bulbi;

almeno 2 bulbi.

(b) Se si piantano 100 bulbi quanto deve valere k affinch´e la probabilit`a che fioriscano almeno k bulbi sia maggiore dell’80%?

2. Un sondaggio ha stimato che il 35% di elettori che votano in un seggio sia favorevole al candidato A. Nel seggio votano 130 elettori. In base alla percentuale di favorevoli del sondaggio, calcolare la probabilit`a che in quel seggio il candidato A abbia non pi`u del 70% di voti. E la probabilit`a che abbia non pi`u del 3. L’incubatrice di un allevamento di polli deve mantenere una temperatura che permetta la schiusa delle

uova; per far ci`o devono funzionare contemporaneamente almeno 5 e non pi`u di 9 apposite resistenze.

Ciascuna resistenza ha una probabilit`a di essere funzionante per tutto il periodo necessario alla schiusa pari a 0.85; le resistenze funzionano l’una indipendentemente dall’altra. Supponiamo inoltre che non intervengano altri fattori che incidano sul funzionamento dell’incubatrice. Si vuole stabilire qual `e il numero minimo di resistenze che occorre attivare per avere una probabilit`a maggiore del 95% che almeno 5 resistenze restino sempre funzionanti.

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