Funzioni relative a variabili aleatorie in R
In R sono implementate le seguente funzioni relative alle variabili aleatorie pi`u comuni.
• d<nome-var-al>(x,<altri parametri>) densit`a (o funzione di probabilit`a) della v. a. nel punto x
• p<nome-var-al>(x,<altri parametri>) funzione di distribuzione cumulata nel punto x
• q<nome-var-al>(a,<altri parametri>) quantile a-esimo
• r<nome-var-al>(n,<altri parametri>) campione di n elementi estratti secondo la variabile aleatoria
Variabile aleatoria binomiale
Per la variabile aleatoria con legge Binomiale di parametri (n, p)
dbinom(x,n,p) pbinom (x,n,p) qbinom (a,n,p) rbinom (N,n,p)
A fianco sono riportate rappresentazioni grafiche delle funzioni di probabilit`a e di distribuzione cumulata.
Attenzione: non sono propriamente grafici di funzione. Per`o, per comodit`a espositiva, qui e in seguito ci riferiremo a queste rapp- resentazioni come “grafici di”.
n=20 p=0.40 x=seq(0,n) dbinom(x,n,p) pbinom(x,n,p)
cbind(x,round(dbinom(x,n,p),6),round(pbinom(x,n,p),6)) x
[1,] 0 0.000037 0.000037 [2,] 1 0.000487 0.000524 [3,] 2 0.003087 0.003611 [4,] 3 0.012350 0.015961 [5,] 4 0.034991 0.050952 [6,] 5 0.074647 0.125599 [7,] 6 0.124412 0.250011 [8,] 7 0.165882 0.415893 [9,] 8 0.179706 0.595599 [10,] 9 0.159738 0.755337 [11,] 10 0.117142 0.872479 [12,] 11 0.070995 0.943474 [13,] 12 0.035497 0.978971 [14,] 13 0.014563 0.993534 [15,] 14 0.004854 0.998388 [16,] 15 0.001294 0.999683 [17,] 16 0.000270 0.999953 [18,] 17 0.000042 0.999995 [19,] 18 0.000005 1.000000 [20,] 19 0.000000 1.000000 [21,] 20 0.000000 1.000000
0 5 10 15 20
0.000.050.100.15
Binomiale n=20 p=0.4
x
dbinom(x, n, p)
0 5 10 15 20
0.00.20.40.60.81.0
Binomiale n=20 p=0.4
x
pbinom(x, n, p)
1
0 5 10 15 20
0.000.100.200.30
Binomiale n=20 p= 0.1
0 5 10 15 20
0.000.100.200.30
Binomiale n=20 p= 0.3
0 5 10 15 20
0.000.100.200.30
Binomiale n=20 p= 0.5
0 5 10 15 20
0.000.100.200.30
Binomiale n=20 p= 0.9
Grafici della densit`a [probabilit`a] bino- miale per n=10 e per diversi valori della probabilit`a di successo
pr=c(0.10,0.30,0.50,0.90) par(mfrow=c(2,2))
for (i in pr) {
prob_bin= dbinom(x,n,i) plot(x, prob_bin ,type="h",
ylim=c(0,.3),
ylab = " ",xlab = " ",
main=paste("Binomiale n=20 p=",i)) abline(h=0)
}
par(mfrow=c(1,1))
a) Che cosa si osserva? Quale forma hanno le diverse funzioni di probabilit`a? Quale `e la moda?
b) Calcolare la media delle variabili aleatorie binomiali per i valori di probabilit`a scelti a partire dai valori tabulati precedentemente e confrontarli con quelli teorici.
media=rep(0,length(pr)) for (i in 1:length(pr)) { prob_bin= dbinom(x,n,pr[i]) media[i]=sum(prob_bin*x) }; media
c) Calcolare la mediana “teorica” delle variabili aleatorie binomiali per i valori di probabilit`a scelti.
mediana=rep(0,length(pr)) for (i in 1:length(pr))
{ mediana[i]= qbinom(0.50,n,pr[i]) } mediana
ESERCIZI (esulano dalle finalit` a del corso UnigeStat)
1. Si sa che il 70% di una certa variet`a di bulbi fiorir`a. Si piantano alcuni bulbi. Che cosa vuol dire in questo contesto che le variabili campionarie sono i.i.d.????
(a) Si piantano 10 bulbi. Calcolare la probabilit`a che fioriscano: esattamente 3 bulbi; al pi`u 6 bulbi;
almeno 2 bulbi.
(b) Se si piantano 100 bulbi quanto deve valere k affinch´e la probabilit`a che fioriscano almeno k bulbi sia maggiore dell’80%?
2. Un sondaggio ha stimato che il 35% di elettori che votano in un seggio sia favorevole al candidato A. Nel seggio votano 130 elettori. In base alla percentuale di favorevoli del sondaggio, calcolare la probabilit`a che in quel seggio il candidato A abbia non pi`u del 70% di voti. E la probabilit`a che abbia non pi`u del 3. L’incubatrice di un allevamento di polli deve mantenere una temperatura che permetta la schiusa delle
uova; per far ci`o devono funzionare contemporaneamente almeno 5 e non pi`u di 9 apposite resistenze.
Ciascuna resistenza ha una probabilit`a di essere funzionante per tutto il periodo necessario alla schiusa pari a 0.85; le resistenze funzionano l’una indipendentemente dall’altra. Supponiamo inoltre che non intervengano altri fattori che incidano sul funzionamento dell’incubatrice. Si vuole stabilire qual `e il numero minimo di resistenze che occorre attivare per avere una probabilit`a maggiore del 95% che almeno 5 resistenze restino sempre funzionanti.
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